放样公式数值分析 高斯—勒让德积分公式

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高斯—勒让德积分公式

摘要
：
高斯—勒让德积分公式可以用较少节点数得到高精度的计算结果,是现在现< br>实生活中经常运用到的数值积分法。然而，当积分区间较大时，积分精度并不理
想。

T
he adva ntage of Gauss-Legendre integral formula is tend to get high-precision
calculational result by using fewer Gauss- points, real life is now often applied
numerical integration method. But the precision is not good when the length of
integral interval is longer.

关键字：

积分计算，积分公式，高斯—勒让德积分公式，MATLAB

Keyword
:

Integral Calculation , Integral formula ,Gauss-Legendre integral formula, Matlab


引言：

众所周知，微积分的两大部分是微分 与积分。微分实际上是求一函数的导
数，而积分是已知一函数的导数，求这一函数。所以，微分与积分互 为逆运算。
实际上，积分还可以分为两部分。第一种，是单纯的积分，也就是已知导
数求原函 数，称为不定积分。
相对而言，另一种就是定积分了，之所以称其为定积分，是因为它积分后
得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。
计算定积分的方法很多，而高斯—勒让德公式就是其中之一。
高斯积分法是精度最高的插值型 数值积分，具有2n+1阶精度，并且高斯积
分总是稳定。而高斯求积系数，可以由Lagrange多 项式插值系数进行积分得到。
高斯—勒让德求积公式是构造高精度差值积分的最好方法之一。他是通过
让节点和积分系数待定让函数f(x)以此取i=0,1,2....n次多项式使其尽可能多的能够精确成立来求出积分节点和积分系数。高斯积分的代数精度是2n-1，而且是最
高的。通常运用 的是（-1，1）的积分节点和积分系数，其他积分域是通过变换
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x=(b-a)t2 +(a+b)2 变换到-1到1之间积分。

1. 现有的方法和理论

1.1高斯 勒让德求积公式
在高斯求积公式(4.5.1)中，若取权函数


我 们知道勒让
多项式，因此，勒让德多项式
德多项式是区间上的正交
，区间为，则得公式
的零点就是求积公式(上式)的高斯点．形如
(上式)的高斯公式特别地称为高斯－勒让德求积 公式．
若取


令它对准确成立，即可定出．这样构造出的一点高斯－勒让
的零点做节点构造求积公式
德求积公式是中矩形公式．再取
式


令它对都准确成立，有
的两个零点构造求积公
．
由此解出，从而得到两点高斯－勒让德求积公式
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．
三点高斯－勒让德求积公式的形式是
．
如表列出高斯－勒让德求积公式的节点和系数．

0
1

0.0000000
0.5773503
0.7745967

2.0000000
1.0000000
0.5555556
0.8888889
0.3478548
0.6521452
0.2369269
0.4786287
0.5688889
2
0.0000000
0.8611363
3
0.3399810
0.9061798
4 0.5384693
0.0000000
公式(4.5.9)的余项由(4.5.8)得
，
这里是最高项系数为１的勒让德多项式，由(3.2.6)及(3.2.7)得
．
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当时，有
．
它比辛普森公式余项还小，且比辛普森公式少算一个函数值．
当积分区间不是[－１，１]，而是一般的区间时，只要做变换

可将化为［－１，１］，这时
．
对等式右端的积分即可使用高斯－勒让德求积公式．

1.2复化Gauss- Legendre求积公式
将被积区间m等分, 记, 作变换

在每个小区间上应用Gauss-Legendre公式, 累加即得复化Gauss- Legendre求积公
式

不妨设
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则有:
Gauss点个数时,

Gauss点个数时,

总结复化Gauss-Legendre求积过程如下:
1. 分割区间, 记录区间端点值；
2. 通过查表或求解非线性方程组, 在所有小区间上, 将Gauss系数和Gauss点
的值代入变量替换后的公式；
3. 将所有区间的结果累加, 即得到整个区间上的积分近似值.

针对Gauss点个数和的复化Gauss- Legendre求积公式编写的一个
简单的MATLAB函数 compgauss() 如下:
function [ ] = compgauss(a, b, n)
% Composite Gauss Integration
% Equation Type: n=2, n=3
% Coded by 2010-05-25
% Step.1 Divide Interval
% Step.2 Calculate
% Step.3 Sum Results
format long
f = @(x) exp(x).*sin(x);
h=(b-a)n;
xk=zeros(n+1,1);
xk(1,1)=a;
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xk(n+1,1)=b;
fk1=zeros(n,1);
fk2=zeros(n,1);
for i=1:n-1
xk(i+1,1)=a+h*i;
end
for j=1:n
fk1(j)=f((xk(j)+xk(j+1))2+(h2)*(-1sqrt(3)))+...
f((xk(j)+xk(j+1))2+(h2)*(1sqrt(3)));
end
for r=1:n
fk2(r)=(59)*f((xk(r) +xk(r+1))2+(h2)*(-sqrt(15)5))+...
(89)*f((xk(r)+xk(r+1))2+(h2)*(0))+...
(59)*f((xk(r)+xk(r+1))2+(h2)*(sqrt(15)5));
end
mysum1=h*sum(fk1)2;
mysum2=h*sum(fk2)2;
disp('Result of 2 Nodes:')
disp(mysum1);
disp('Result of 3 Nodes:')
disp(mysum2);
end

1.3龙贝格，三点，五点以及变步长高斯勒让德求积法
以下是关于龙贝格，三点，五点以及变步长高斯勒让德之间精度的相互比较
#include
#include
#include
#define Precision1 0.
# define e 2.71828183
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#define MAXRepeat 10
double function (double x)
{
double s;
s=1x;
return s;
}
double Romberg(double a,double b,double f(double x))
{
int m,n,k;
double y[MAXRepeat],h,ep,p,xk,s,q;
h=b-a;
y[0] =h*(f(a)+f(b))2.0;计算T`1`(h)=12(b-a)(f(a)+f(b));
m=1;
n=1;
ep=Precision1+1;
while((ep>=Precision1)&&(m{
p=0.0;
for(k=0;k{
xk=a+(k+0.5)*h;
p=p+f(xk);
}
p=(y[0]+h*p)2.0; T`m`(h2),变步长梯形求积公式
s=1.0;
for(k=1;k<=m;k++)
{
s=4.0*s; pow(4,m)
q=(s*p-y[k-1])(s-1.0);
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y[k-1]=p;
p=q;
}
ep=fabs(q-y[m-1]);
m=m+1;
y[m-1]=q;
n=n+n; 2 4 8 16
h=h2.0;二倍分割区间
return q;
}
double ThreePointGaussLegendre(double a,double b,double f(double x))
{
double x,w;
static double X[3]={-sqrt(15)5.0,0,sqrt(15)5.0};
static double L[3]={59.0,89.0,59.0};
w=0.0;
for(int i=0;i<3;i++)
{
x=((b-a)*X[i]+(b+a))2.0;
w=w+f(x)*L[i];
}
return w;
}

double FivePointGaussLegendre(double a,double b,double f(double x))
{
double x,w;
static double X[5]={-0.9061798459,-0.5384693101,0, 0.5384693101,0.9061798
459};
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static double L[5]={0.23 69268851,0.4786286705,0.5688888889,0.4786286705,0. 2
369268851};
w=0.0;
for(int i=0;i<5;i++)
{
x=((b-a)*X[i]+(b+a))2.0;
w=w+f(x)*L[i];每一次小区间利用勒让德公式计算的结果
}
return w;
}
double FivePointPrecisionGaussLegendre(double a,double b,double f(double x))
{
int m,i,j;
double s,p,ep,h,aa,bb,w,x,g;
static double X[5]={-0.9061798459,-0.5384693101,0, 0.5384693101,0.9061798
459};
m=1;
h=b-a;
s=fabs(0.001*h);
p=1.0e+35;
ep=Precision1+1;
while((ep>=Precision1)&&(fabs(h)>s))
{
g=0.0;
for(i=0;i {
aa=a+i*h;
bb=aa+h;
w=0.0;
for(j=0;j<=4;j++)
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{
x=((bb-aa)*X[j]+(bb+aa))2.0;
w=w+f(x)*L[j];
}
g=g+w;各个区间计算结果之和相加
}
g=g*h2.0;
ep=fabs(g-p)(1.0+fabs(g));计算精度
p=g;
m=m+1;
h=(b-a)m;分割区间
}
return g;
}
main()
{
double a,b,s;
cout<<请输入积分下限:
cin>>a;
cout<<请输入积分上限:
cin>>b;
cout<<㏑的真值为:
cout<<
*龙贝格求积*
s=Romberg( a, b, function);
cout<<龙贝格求积公式:
cout<
*三点求积公式*
s=ThreePointGaussLegendre( a, b, function);
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cout<<三点求积公式:
cout<
*五点求积公式*
s=FivePointGaussLegendre( a, b, function);
cout<<五点求积公式
cout< s=FivePointPrecisionGaussLegendre(a, b,function);
cout<<控制精度五点求积公式
cou t< return 0;
}
2. 高斯－勒让德求积的程序

2.1三点高斯勒让德公式的代码
function gl=f(str,a,b)
x=zeros(3,1);
y=zeros(3,1);
x(1)=-sqrt(15)5;
x(2)=0;
x(3)=sqrt(15)5;
for i=1:3
t=(b-a)2*x(i)+(a+b)2;
y(i)=eval(str);%exp(t)*sin(t);%此处为求积的函数,t为自变量
end
gl=59*y(1)+89*y(2)+59*y(3);

上面的代码保存为f.m文件，调用的时候如下

f('t*2',-1,1)

f('exp(t)*sin(t)',1,3)

其中第一个参数为求积分的表达式，第二三个参数分别为

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积分的上下限。

2.2高斯- 勒让德数值积分Matlab代码

function [ql,Ak,xk]=guasslegendre(fun,a,b,n,tol)
if nargin==1
a=-1;b=1;n=7;tol=1e-8;
elseif nargin==3
n=7;tol=1e-8;
elseif nargin==4
tol=1e-8;
elseif nargin==2|nargin>5
error('The Number of Input Arguments Is Wrong!');
end
syms x p=sym2poly(diff((x^2-1)^(n+1),n+1))(2^n*factoria l(n));
tk=roots(p);
Ak=zeros(n+1,1);
for i=1:n+1
xkt=tk;
xkt(i)=[];
pn=poly(xkt);
fp=@(x)polyval(pn,x)polyval(pn,tk(i));
Ak(i)=quadl(fp,-1,1,tol); % 求积系数
end
xk=(b-a)2*tk+(b+a)2;
fun=fcnchk(fun,'vectorize');
fx=fun(xk)*(b-a)2;
ql=sum(Ak.*fx);

3.数值实验

3.1 用4点（n=3）的高斯——勒让德求积公式计算
?

??
?
2
0
xcosxdx
.
2
解：
先将区间
[0,
?
2
]
化为
[?1,1]
，由（1）
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?
??
ba
f(x)dx?
b?a
2
?
1
?1
f(b?a
2
t?
a?b
2
)dt
.（1）
有
?
1
?1
(
?
4
)(1?t)cos
32
?
4
(1?t)dt
.
根据表4-7中n=3的节点及系数值可求得
3
??

?
A
k?0
k
f(x
k
)?0.467402.
（ 准确值
??0.467401?
）


3.2用
n?2,3
的高斯-勒让德公式计算积分
?
解：
I?
3
1
esinxdx.

x
?
3
1
esinxdx.
x

?x?[1,3],
令
t?x?2
，则
t?[?1,1]

用
n?2
的高斯—勒让德公式计算积分
I?0.5555556?[f(? 0.7745967)?f(0.7745967)]?0.8888889?f(0)
?10.948 4

用
n?3
的高斯—勒让德公式计算积分
I?0.347854 8?[f(?0.8611363)?f(0.8611363)]
?0.6521452?[f(?0 .3399810)?f(0.3399810)]
?10.95014



3.2用四个节点的高斯―勒让德求积公式计算定积分
?
1
0
1?x dx
，计算过程保留4位小数．

解 ：
高斯－勒让德求积公式只求积分区间为[－1,1]上的积分问题．需作变换，
令
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x?
u
2
?1
2
，当x=1时，u=1;当x=0时，u=－1．于是，
1

?
1
0
1?xdx
＝
?
2
1
3< br>2
?1
?
u
2
du

3
2?
0.8611
2
?
3
2
?
0.86112
)
1
＝
2
[0.3479?(

)]?0. 6521?(
1
2
3
2
?
0.3400
2
?
3
2
?
0.3400
2


?[0.3479?2.4236?0.6521?2.4455]?1.2189



3. 总结

高斯―勒让德求积公式对定积分的计算拥有高精度的特点， 但是这只存在
于积分区间在[-1,1]上，区间的变大会导致精度的降低。因此，寻找精度更高，加速更快的算法是必要的。











《参考文献》

[1]《数值计算》 张军、林瑛、钟竞辉 清华大学出版社 2008 6 17
[2]《数值分析》 陈晓江、黄樟灿· 科学出版社 2010 7 10
[3]《数值分析原理》吴勃英 科学出版社 2009 7 23
[4] 复化两点Gauss- Legendre求积公式的外推算法 《桂林航天工业高等专科学
校学报》2007年03期


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