奖金公式微积分公式大全

第一讲

函数、连续与极限

一、理论要求
1.函数概念与性质 函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）
几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）
2.极限 极限存在性与左右极限之间的关系
夹逼定理和单调有界定理
会用等价无穷小和罗必达法则求极限
3.连续 函数连续（左、右连续）与间断
理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）
二、题型与解法
A.极限的求法 （1）用定义求
（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）
（3）变量替换法
（4）两个重要极限法
（5）用夹逼定理和单调有界定理求
（6）等价无穷小量替换法
（7）洛必达法则与Taylor级数法
（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）
1.（
等价小量与洛必达
）
2. 已知

（
洛必达
）
3. （
重要极限
）
4.已知a、b为正常数，
（
变量替换
）
5.
解：令
6. （
变量替换
）
7.已知在x=0连续，求a
解：令
三、补充习题（作业）
（
连续性的概念
）
1. （
洛必达
）
2. （
洛必达或Taylor
）
第二讲

导数、微分及其应用


一、理论要求
1.导数与微分 导数与微分的概念、几何意义、物理意义
会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）
会求平面曲线的切线与法线方程
2.微分中值定理 理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理
会用定理证明相关问题
3.应用 会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图
会计算曲率（半径）
二、题型与解法
A.导数微分的计基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导
算
1.决定，求
2.决定，求
解：两边微分得x=0时，将x=0代入等式得y=1
3.决定，则
B.曲线 切法线问5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足
题 f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。
解：需求，等式取x->0的极限有：f(1)=0

C.导数应用问题
6.已知，
，求点的性质。
解：令，故为极小值点。
7.，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。
解：定义域

8.求函数的单调性与极值、渐进线。
解：

D.幂级数展开问
10.求
题
，

解：
=
E.不等式的证明
11.设

，

证：1）令

2）令
F.中值定理问题
12.设函数

具有三阶连续导数，且，
，求证：在（-1，1）上存在一点
证：
其中
将x=1，x=-1代入有
两式相减：

13.，求证：
证：
令
令
（关键：构造函数）
三、补充习题（作业）
1.
2.曲线
3.
4.证明x>0时,
证：令