成本收入比计算公式定积分计算公式和性质.

第二节 定积分计算公式和性质
一、变上限函数

设函数在区间上连续，并且设x为上的任一点，于是，在区间
上的定积分为

这里x既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为

如果上限x在区
x值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在
数
记为
图
5-10

，我们把称为函数

在区间
间上任意变动，则对 于每一个取定的
上定义了一个以x为自变量的函
上变上限函数
从几何上看，也很显然 。因为X是上一个动点，从而以线段为底的曲边梯
形的面积，必然随着底数端点的变化而变化，所以阴影 部分的面积是端点x的函数（见图
5-10）
定积分计算公式

利用定义计 算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积
分的简便方法。
我们知道：如果物体以速度作直线运动，那么在时间区间上所经过的
路程s为
图 5-11







另一方面，如果物体经过的路程s是时间t的函数
所经过的路程应该是（见图5-11）

即

由导数的物理意义可知：
，应先求出被积函数
即可。
如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分
设函数
则

这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。
为了使用方便，将公式写成


牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函
数的原函数 在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供
了计算定积分有效而简便的 方法，从而使定积分得到了广泛的应用。
例1 计算
在闭区间上连续，是
的一般方法：
的一个原函数，即，
即
的原函数
是
，再求
一个原函数，因此，为了求出定积分
在区间上的增量
，那么 物体从t=a到t=b
因为是的一个原函数所以
例
图形面积A(5-12)
解 这个图形的面积为

图
5-12



二、定积分的性质

2 求曲线 和直线x=0、x= 及y=0所围成

设
单性质：
、在相应区间上连续，利用前面学过的知识，可以得到定积分以下几个简
性质1 被积函数的常数因子可以提到定积分符号前面，即
(A为常数)
性质2 函数的代数和的定积分等于它们的定积分的代数和，即

这个性质对有限个函数代数和也成立。
性质3 积分的上、下限对换则定积分变号，即

以上性质用定积分的定义及牛顿-莱布尼兹公式均可证明，此处证明从略。
性质4 如果将区间分成两个子区间及那么有

这个于区间分成有限个的情形也成立。
下面用定积分的几何意义，对性质4加以说明。
当a
图 5-13a

:

图 5-13b







因为

即性质4成立。
当a

显然，性质4也成立。
总之，不论c点在内还是外，性质4总是成立的。
例3 求

例 4 求
解 =
所以

例 5 求
解


所以


例 6 求
解
于是，






例 7 设
解 因为
所以
求



=
==
例8 火车以v=72kmh的速度 在平直的轨道上行驶，到某处需要减速停车。设火车以
加速度a=-5m刹车。问从开始刹车到停车，火 车走了多少距离？
解 首先要算出从开始刹车到停车经过时间。当 时火车速度
刹车后火车减速行驶。其速度为
当火车停住时，速度，故从
解得
于是在这段时间内，火车走过的距离为

=
即在刹车后，火车需走过40m才能停住。

习题 5-2

1 求下列定积分：

（1） (2)

(3) (4)

(5) （6）

(7)

(8) (9)
(11)设

2.求由与直线x=1,x=2及x轴所成的图形的面积。

(10)