函数公式求和数值计算方法教案数值积分(20200511215237)

计算方法课程中学习数值积分内容的心得和体会
计算方法又称 数值分析”。是为各种数学问题的数值解答研究提供最有效的算法。主要内容为函数逼
近论，数值微分，数值积分，误差分析等。常用方法有迭代法、差分法、插值法、有限元素法等。现代的
计算方法还要求适应电子计算机的特点。 数值分析即 计算方法”下面来谈谈学习了计算方法中学习数值积 分内容
的心得与体会。
首先了解一下数值积分的内容:
b
c

(1)针对定积分
I
二
f xdx
，若 f x =x,a=0,b=1，即有
I
二
L
a
5
1 6
1
5
门

1

*■ 0
X
J，但当
x dx =—
0
6
6
f x
= -
, f x二sinx
, ........
，时，很难找到其原函数。
2
Sinx
x
(2)被积函数并没有具体的解析形式，即 f x仅为一数表。
b
定积分
I f x dx
的几何意义为，在平面坐标系中I的值即为四条曲线所围图形的面
a
积，这四条曲线分别是y = f x ，y=0, x=a，x=b
b
二

a b
a

f x dx
：
b -a
f
-

其几何意义为用以下矩形面积替代曲边梯形面积
以及梯形公式
I = [ f (x )dx
化七卫
f (a )+ f (b )]
梯形公式的几何意义是，用以下梯形面积替代曲边梯形的面积:
2


再来是辛普森公式 l=J f (x )dx Wl? ] f (a
)
+4f |兰辿〕十f (b )
」
a
6 「 I 2丿 J
RZ
辛普生公式的几何意义为，阴影部分的面积为抛物线曲边梯形，该抛物线由
(a, f (a) >
1
卑卫,f '卑卫j ,(b, f (b))三点构成。
I
2
I
2
丿丿
a a+b b
2
b
n

A
k

f x
k
，其中
x
k
称为节点，
A
称为求积系数，或
k=0
从而到处其一般公式为
f x dx
a
权。
衡量一个积分公式的好坏，要用具体的函数来衡量，寻找怎样的函数来衡量呢？简单的
多项式 函数是一个理想的标准。若某积分公式对于x
k
(k=0,1,|H,m)均能准确成立，但对 于
x
m41

不能准确成立。则称该公式具有m次代数精度。代数精度只是衡量积分公式好坏的1种标准。
***研究中矩形公式
f x dx “ b - a f
口的代数精度及几何意义
I
2
丿
b b
【解】当f x =x
0
=1时，公式左边
a a
f x dx 1dx=b-a
，公式右边二b-a，左=
右;
b
b

当f X =X
1
时，公式左边二&
f X dX
二，
xdx
丄
b —
, 2 2
a
2
2
.2 2
公式右边二甘
b - - a
，左=右;
2
当
f
（
X ） = X
2
时，公式左边
=L f
（
X ）dx=
J
a

X
=
=
dx
X
3
.3
b - a
3
3
3
2
公式右边二
，左=右;

故中矩形公式具有1次代数精度。
从定积分的几何意义可以看出，当被积函数为一条直线时，中矩形公式是严格成立的,
面积与梯形面积相等，如下图所示。
其次是研究几种计算方法:
首先是待定系数法。
例1.构造一个至少具有一次代数精度的积分公式。
分析：构造一次代数精度的公式，即当 fx=1及fx=x时，公式严格成立，故有 2
个约束条件，于是可以确定具有 2个参数的积分公式。
b
解：设积分公式为：.
f x dx
：
、
A
o
f ai'A b
a
中矩形



针对f Xi
；
= 1及f Xj=X，代入积分公式的左边和右边，有:
b -a = A
。
*A
i
1
2 2
-b -a i-A
o
a A
—
b
2
b
1 1

，解得
A
o=
— b-a
，
A
i=
—b-a
2
b —a
f a
2

2
于是有积分公式：
a
f x dx
该公式即为梯形求积公式。
例2.构造一个至少具有2次代数精度的求积公式。
解：设积分公式为
& f x dx
A
0

f a i
亠人
f i
：
' A
2
f b
。
针对f x =1，f x =x及f x =x
2
，代入积分公式的左边和右边，有:
b - a = A
o

A
1
2 2

-b-a
二
A
o
a
1
3




A
2

a
亠
b
A
?
b
2
A
* A
屮
12 1
，解得：
A
o
b-a
，
A b-a
，
A
2
6 3
b-a
6
ba
-
3 3

2

积分公式为：I

=」
xdx
If
4f ab f b
2

2次，而是3次的
I lk(x)dx
a
该公式即为辛普生公式，需要注意的是，该公式的代数精度并不是
方法二，插值法(插值型求积公式)，即过函数f(x)的n+1节点x0，x1
，
.............. ， xn，作
n
n次多项式函数R x，根据拉格朗日公式：

b
n
b
P
n
X
「
Tk X f X
k
,则有
k=0
n
k± a
f (x )dx
彩
J R (x )dx = W 1J I
k
(x)dx f (X
k
)=送
A
k
f (X
k
)，其中，
A
k =
a a
丄
a
」
km
t
b
代数精度的分析：若被积函数 f x是次数小于n的多项式函数，那么由其曲线上的 n+1 节点
构成的n次多项式函数P
n
x即是被积函数f x本身。贝插值型积分公式具有至少 n 次代数精度。
若f x是一条直线，那么过其曲线上3个点构造的抛物线F
2
x = a
0
a
1
x a
2
x
2
，其中必 有
a
2

=0
，即 F
2
x ]= f x
同理，若f x是一条抛物 线，那么过其曲线 上4个点构造的3次多项式函数
P
3
x
；
ua
0
- a
1
x - a
2
x
2
- a
3
x
3
，其中必有 a
3

=0
，即 P
3
x[=
：
f x
。

再来是牛顿- 柯特斯公式:
I f x dx
：
b - a f
a
b
几何意义为，用以下矩形面积替代曲边梯形面积。