word表格乘法公式数学分析不定积分

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第八5章 不定积分
教学要求：
1.积分法是微分法的逆运算。要求学生： 深刻理解不定积分的概念，掌握原
函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法则 ，熟练掌
握不定积分的基本积分公式。
2.换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重 要的地位。要求学生：
牢记换元积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地选取替换函< br>数（或凑微分），熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式，知道求哪些函
数的不定积分运用 分部积分公式，并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积，
熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定 数量的不定积分练习题，从而逐步达
到快而准的求出不定积分。
3.有理函数的不定积分是求 无理函数和三角函数有理式不定积分的基础。要
求学生：掌握化有理函数为分项分式的方法；会求四种有 理最简真分式的不定积
分，知道有理函数的不定积分（原函数）还是初等函数；学会求某些有理函数的< br>不定积分的技巧；掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法，
从理论上认识到这 些函数的不定积分都能用初等函数表示出来。
教学重点：深刻理解不定积分的概念；熟练地应用换元积分公式；熟练地应
用分部积分公式；
教学时数：18学时
.. .
..
§ 1 不定积分概念与基本公式
（ 4学时 ）
教学要求： 积分法是微分法的逆运算。要求学生：深刻理解不定积分的概

念，掌握原函数与不定积分的概 念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法
则，熟练掌握不定积分的基本积分公式。
教学重点：深刻理解不定积分的概念。
一、新课引入： 微分问题的反问题，运算的反运算.
二、讲授新课：
（一）不定积分的定义:
1.原函数：
例1 填空: (
;
.
定义. 注意

是

的一个原函数.
原函数问题的基本容：存在性，个数，求法.
原函数的个数:
Th 若

是

在区间

上的一个原函数, 则对

，

都是

在区间

上的原函数；
若

也是

在区间

上的原函数，则必有

. ( 证 )
可见，若

有原函数

，则

的全体原函数所成集合为

{

│

Ｒ}.
原函数的存在性: 连续函数必有原函数. ( 下章给出证明 ).
可见, 初等函数在其定义域有原函数; 若

在区间

上有原函数, 则

在区
间

上有介值性.
例2. 已知

为

的一个原函数, =5 . 求

.
2.不定积分—— 原函数族：定义； 不定积分的记法；几何意义.
.. .
..
例3 .
（二）不定积分的基本性质: 以下设

和

有原函数.
⑴ .
(先积分后求导, 形式不变应记牢！).
⑵

.
(先求导后积分, 多个常数需当心！)
⑶

时，
（被积函数乘系数，积分运算往外挪！）
⑷
由⑶、⑷可见, 不定积分是线性运算, 即对

, 有



( 当

时,上式右端应理解为任意常数. )
例4 . 求 . (


=2 ).
（三）. 不定积分基本公式: 基本积分表. [1]P180—
例5 .

（四）．利用初等化简计算不定积分:
例6

. 求

.
例7 .

例8 .

例9 .

例10 ⑴ ⑵


例11 .
例12 .
三、小结
.. .
公式1—14.
..
§2

换元积分法与分部积分法
（1 0 学时 ）

教学要求： 换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位。
要求学生：牢记换元 积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地
选取替换函数（或凑微分），熟练地应用换元 积分公式；牢记分部积分公式，知
道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式，并能恰当地将被积表达式 分成两部
分的乘积，熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题，
从而逐 步达到快而准的求出不定积分。
教学重点：熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式；

一、新课引入：由直接积分的局限性引入
二、讲授新课：
（一）. 第一类换元法 ——凑微分法：

由




引出凑微公式.


Th1 若 连续可导, 则

该定理即为：若函数

能分解为

就有


.


例1 .
.. .
..
例2 .
例3
常见微分凑法：
凑法1
例4



例5



例6





例7





由例4—7可见，常可用初等化简把被积函数化为型，然后用凑法1.
例8 ⑴ . ⑵
.
凑法2 . 特别地, 有
.

和 .

例9 .

例10
例11 .
例12
=.

.. .
..
凑法3


例13 ⑴ ⑵

例14
例15 .
例16
凑法4



.

例17



凑法5

例18



凑法6


.
例19




其他凑法举例:

.
例20



例21



.
.. .
..
例22



.
例23 .
例24 .

例25
例26 .
三、小结
（二）第二类换元法 —— 拆微法：
从积分出发，从两个方向用凑微法计算，即




= =

=


引出拆微原理.
Th2 设

是单调的可微函数,并且

又

具有原函数. 则有换元公式

(证)
常用代换有所谓无理代换, 三角代换, 双曲代换, 倒代换, 万能代换,
Euler代换等.
我们着重介绍三角代换和无理代换.
1. 三角代换:
.. .
..
⑴ 正弦代换: 正弦代换简称为“弦换”. 是针对型如 的根式施行的, 目
的是去掉根号. 方法是: 令

, 则




例27





解法一 直接积分; 解法二 用弦换.
例28



例29


.




.
⑵ 正切代换: 正切代换简称为“切换”. 是针对型如

的根式施行的, 目
的是去掉根号. 方法是: 利用三角公式

即

令

. 此时有 变量还原

时, 常用所谓辅助三角形法.
例30

.

解 令 有

. 利用例22的结果, 并用辅助三角形, 有
=

=


例31
⑶正割代换: 正割代换简称为“割换”. 是针对型如

的根式施行的, 目
的是去掉根号. 方法是: 利用三角公式

令

有变量还愿时, 常用辅助三角
形法.
例32



解



.
例33

.

.. .
..
解法一 （ 用割换 ）

解法二 （ 凑微 ）
2.

无理代换:
若被积函数是

的有理式时, 设

为

的最小公倍数,作代换

, 有

.可化被积
函数为 的有理函数.
例34 .

例35
.
若被积函数中只有一种根式

或可试作代换

或

. 从中解出

来.
例36 .

例37

例38 (给出两种解法)

例39


本题还可用割换计算, 但较繁.
.
3.

双曲代换: 利用双曲函数恒等式 , 令 , 可去掉型如 的根式. . 化
简时常用到双曲函数的一些恒等式, 如:


.. .



..
例40



.


3.
本题可用切换计算,但归结为积分, 该积分计算较繁. 参阅后面习题课例

例41



解
.
例42

.

解



4.

倒代换: 当分母次数高于分子次数, 且分子分母均为“因式”时, 可
试用倒代换

例43






.
5.

万能代换: 万能代换常用于三角函数有理式的积分(参[1]P261).
令，

就有 ，
，

.. .
..




例44

.

解法一 ( 用万能代换 ) .
解法二 ( 用初等化简 ) .
解法三 ( 用初等化简, 并凑微 )


例45

解 =
.
代换法是一种很灵活的方法.
三、小结
（三）. 分部积分法:导出分部积分公式.介绍使用分部积分公式的一般原
则.
1. 幂
X
型函数的积分:

分部积分追求的目标之一是: 对被积函数两
因子之一争取求导, 以使该因子有较大简化, 特别是能降幂或变成代数函数.
代价是另一因子用其原函数代替( 一般会变繁 ), 但总体上应使积分简化或能
直接积出. 对“幂

” 型的积分, 使用分部积分法可使“幂”降次, 或对“

”
求导以使其成为代数函数.
例46 (幂对搭配，取对为u)

例47 (幂三搭配，取幂为u)
例48 (幂指搭配，取幂为u)
.. .
..
例49 (幂指搭配，取幂为u)
例50

例51 (幂反搭配，取反为u)

例52

2

建立所求积分的方程求积分: 分部积分追求的另一个目标是: 对被积
函数两因子之一求导, 进行分部积分若干次后, 使原积分重新出现, 且积分前
的符号不为 1. 于是得到关于原积分的一个方程. 从该方程中解出原积分来.
例53
例54 求和

解 解得
例55
解 =
=
（参阅例41）
解得

例56
，
解得 .
例57
=

=

=,

解得 .
.. .
..
三、小结

§ 3 有理函数和可化为有理函数的积分
( 2学时 )

教学要求：有理函数的不定积分 是求无理函数和三角函数有理式不定积分的
基础。要求学生：掌握化有理函数为分项分式的方法；会求四 种有理最简真分式
的不定积分，知道有理函数的不定积分（原函数）还是初等函数；学会求某些有
理函数的不定积分的技巧；掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分
的方法，从理论上认识 到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来。
教学重点：使学生掌握化有理函数为分项分式的方法 ；求四种有理最简真分
式的不定积分，学会求某些有理函数的不定积分的技巧；求某些简单无理函数和< br>三角函数有理式不定积分的方法，从理论上认识到这些函数的不定积分都能用初
等函数表示出来。
一、新课引入：由积分应用的广泛性引入
二、讲授新课：
（一）有理函数的积分:
1. 代数知识: [1]P190
例1 [1]P190，
2. 部分分式的积分: [1]P192
例2 [1]P192
例3 [2]P260 E3.
（二）. 三角函数有理式的积分: [1]P194 万能代换.
例4—5 [1]P195——
（三）某些无理函数的积分: [1]P195——198
.. .
..
（四）一些不能用初等函数有限表达的积分:
等.


习 题 课
( 2学时 )
一. 积分举例 :
例1 .
例2 .
例3
例4 已知 求
例5 求
例6 设

且具有连续导函数. 计算积分

例7 , 求积分
二.

含有二次三项式的积分:
例8

=
.
例9
=

=
=
.
.. .