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第八5章 不定积分
教学要求:
1.积分法是微分法的逆运算。要求学生: 深刻理解不定积分的概念,掌握原
函数与不定积分的概念及其之间的区别;掌握不定积分的线性运算法则 ,熟练掌
握不定积分的基本积分公式。
2.换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重 要的地位。要求学生:
牢记换元积分公式和选取替换函数(或凑微分)的原则,并能恰当地选取替换函< br>数(或凑微分),熟练地应用换元积分公式;牢记分部积分公式,知道求哪些函
数的不定积分运用 分部积分公式,并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积,
熟练地应用分部积分公式;独立地完成一定 数量的不定积分练习题,从而逐步达
到快而准的求出不定积分。
3.有理函数的不定积分是求 无理函数和三角函数有理式不定积分的基础。要
求学生:掌握化有理函数为分项分式的方法;会求四种有 理最简真分式的不定积
分,知道有理函数的不定积分(原函数)还是初等函数;学会求某些有理函数的< br>不定积分的技巧;掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法,
从理论上认识到这 些函数的不定积分都能用初等函数表示出来。
教学重点:深刻理解不定积分的概念;熟练地应用换元积分公式;熟练地应
用分部积分公式;
教学时数:18学时
.. .
..
§ 1 不定积分概念与基本公式
( 4学时 )
教学要求: 积分法是微分法的逆运算。要求学生:深刻理解不定积分的概
念,掌握原函数与不定积分的概 念及其之间的区别;掌握不定积分的线性运算法
则,熟练掌握不定积分的基本积分公式。
教学重点:深刻理解不定积分的概念。
一、新课引入: 微分问题的反问题,运算的反运算.
二、讲授新课:
(一)不定积分的定义:
1.原函数:
例1 填空: (
;
.
定义. 注意
是
的一个原函数.
原函数问题的基本容:存在性,个数,求法.
原函数的个数:
Th 若
是
在区间
上的一个原函数, 则对
,
都是
在区间
上的原函数;
若
也是
在区间
上的原函数,则必有
. ( 证 )
可见,若
有原函数
,则
的全体原函数所成集合为
{
│
R}.
原函数的存在性: 连续函数必有原函数. ( 下章给出证明 ).
可见, 初等函数在其定义域有原函数; 若
在区间
上有原函数, 则
在区
间
上有介值性.
例2. 已知
为
的一个原函数, =5 . 求
.
2.不定积分—— 原函数族:定义; 不定积分的记法;几何意义.
.. .
..
例3 .
(二)不定积分的基本性质: 以下设
和
有原函数.
⑴ .
(先积分后求导, 形式不变应记牢!).
⑵
.
(先求导后积分, 多个常数需当心!)
⑶
时,
(被积函数乘系数,积分运算往外挪!)
⑷
由⑶、⑷可见, 不定积分是线性运算, 即对
, 有
( 当
时,上式右端应理解为任意常数. )
例4 . 求 . (
=2 ).
(三). 不定积分基本公式: 基本积分表. [1]P180—
例5 .
(四).利用初等化简计算不定积分:
例6
. 求
.
例7 .
例8 .
例9 .
例10 ⑴ ⑵
例11 .
例12 .
三、小结
.. .
公式1—14.
..
§2
换元积分法与分部积分法
(1 0 学时 )
教学要求: 换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位。
要求学生:牢记换元 积分公式和选取替换函数(或凑微分)的原则,并能恰当地
选取替换函数(或凑微分),熟练地应用换元 积分公式;牢记分部积分公式,知
道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式,并能恰当地将被积表达式 分成两部
分的乘积,熟练地应用分部积分公式;独立地完成一定数量的不定积分练习题,
从而逐 步达到快而准的求出不定积分。
教学重点:熟练地应用换元积分公式;熟练地应用分部积分公式;
一、新课引入:由直接积分的局限性引入
二、讲授新课:
(一). 第一类换元法 ——凑微分法:
由
引出凑微公式.
Th1 若 连续可导, 则
该定理即为:若函数
能分解为
就有
.
例1 .
.. .
..
例2 .
例3
常见微分凑法:
凑法1
例4
例5
例6
例7
由例4—7可见,常可用初等化简把被积函数化为型,然后用凑法1.
例8 ⑴ . ⑵
.
凑法2 . 特别地, 有
.
和 .
例9 .
例10
例11 .
例12
=.
.. .
..
凑法3
例13 ⑴ ⑵
例14
例15 .
例16
凑法4
.
例17
凑法5
例18
凑法6
.
例19
其他凑法举例:
.
例20
例21
.
.. .
..
例22
.
例23 .
例24 .
例25
例26 .
三、小结
(二)第二类换元法 —— 拆微法:
从积分出发,从两个方向用凑微法计算,即
= =
=
引出拆微原理.
Th2 设
是单调的可微函数,并且
又
具有原函数. 则有换元公式
(证)
常用代换有所谓无理代换, 三角代换, 双曲代换, 倒代换, 万能代换,
Euler代换等.
我们着重介绍三角代换和无理代换.
1. 三角代换:
.. .
..
⑴ 正弦代换: 正弦代换简称为“弦换”. 是针对型如 的根式施行的, 目
的是去掉根号. 方法是: 令
, 则
例27
解法一 直接积分; 解法二 用弦换.
例28
例29
.
.
⑵ 正切代换: 正切代换简称为“切换”. 是针对型如
的根式施行的, 目
的是去掉根号. 方法是: 利用三角公式
即
令
. 此时有 变量还原
时, 常用所谓辅助三角形法.
例30
.
解 令 有
. 利用例22的结果, 并用辅助三角形, 有
=
=
例31
⑶正割代换: 正割代换简称为“割换”. 是针对型如
的根式施行的, 目
的是去掉根号. 方法是: 利用三角公式
令
有变量还愿时, 常用辅助三角
形法.
例32
解
.
例33
.
.. .
..
解法一 ( 用割换 )
解法二 ( 凑微 )
2.
无理代换:
若被积函数是
的有理式时, 设
为
的最小公倍数,作代换
, 有
.可化被积
函数为 的有理函数.
例34 .
例35
.
若被积函数中只有一种根式
或可试作代换
或
. 从中解出
来.
例36 .
例37
例38 (给出两种解法)
例39
本题还可用割换计算, 但较繁.
.
3.
双曲代换: 利用双曲函数恒等式 , 令 , 可去掉型如 的根式. . 化
简时常用到双曲函数的一些恒等式, 如:
.. .
..
例40
.
3.
本题可用切换计算,但归结为积分, 该积分计算较繁. 参阅后面习题课例
例41
解
.
例42
.
解
4.
倒代换: 当分母次数高于分子次数, 且分子分母均为“因式”时, 可
试用倒代换
例43
.
5.
万能代换: 万能代换常用于三角函数有理式的积分(参[1]P261).
令,
就有 ,
,
.. .
..
例44
.
解法一 ( 用万能代换 ) .
解法二 ( 用初等化简 ) .
解法三 ( 用初等化简, 并凑微 )
例45
解 =
.
代换法是一种很灵活的方法.
三、小结
(三). 分部积分法:导出分部积分公式.介绍使用分部积分公式的一般原
则.
1. 幂
X
型函数的积分:
分部积分追求的目标之一是: 对被积函数两
因子之一争取求导, 以使该因子有较大简化, 特别是能降幂或变成代数函数.
代价是另一因子用其原函数代替( 一般会变繁 ), 但总体上应使积分简化或能
直接积出. 对“幂
” 型的积分, 使用分部积分法可使“幂”降次, 或对“
”
求导以使其成为代数函数.
例46 (幂对搭配,取对为u)
例47 (幂三搭配,取幂为u)
例48 (幂指搭配,取幂为u)
.. .
..
例49 (幂指搭配,取幂为u)
例50
例51 (幂反搭配,取反为u)
例52
2
建立所求积分的方程求积分: 分部积分追求的另一个目标是: 对被积
函数两因子之一求导, 进行分部积分若干次后, 使原积分重新出现, 且积分前
的符号不为 1. 于是得到关于原积分的一个方程. 从该方程中解出原积分来.
例53
例54 求和
解 解得
例55
解 =
=
(参阅例41)
解得
例56
,
解得 .
例57
=
=
=,
解得 .
.. .
..
三、小结
§ 3 有理函数和可化为有理函数的积分
( 2学时 )
教学要求:有理函数的不定积分 是求无理函数和三角函数有理式不定积分的
基础。要求学生:掌握化有理函数为分项分式的方法;会求四 种有理最简真分式
的不定积分,知道有理函数的不定积分(原函数)还是初等函数;学会求某些有
理函数的不定积分的技巧;掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分
的方法,从理论上认识 到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来。
教学重点:使学生掌握化有理函数为分项分式的方法 ;求四种有理最简真分
式的不定积分,学会求某些有理函数的不定积分的技巧;求某些简单无理函数和< br>三角函数有理式不定积分的方法,从理论上认识到这些函数的不定积分都能用初
等函数表示出来。
一、新课引入:由积分应用的广泛性引入
二、讲授新课:
(一)有理函数的积分:
1. 代数知识: [1]P190
例1 [1]P190,
2. 部分分式的积分: [1]P192
例2 [1]P192
例3 [2]P260 E3.
(二). 三角函数有理式的积分: [1]P194 万能代换.
例4—5 [1]P195——
(三)某些无理函数的积分: [1]P195——198
.. .
..
(四)一些不能用初等函数有限表达的积分:
等.
习 题 课
( 2学时 )
一. 积分举例 :
例1 .
例2 .
例3
例4 已知 求
例5 求
例6 设
且具有连续导函数. 计算积分
例7 , 求积分
二.
含有二次三项式的积分:
例8
=
.
例9
=
=
=
.
.. .
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