截面积的计算公式数学分析 不定积分

数学分析 不定积分
第八5章 不定积分
教学要求:
1、积分法 就是微分法的逆运算。要求学生:深刻理解不定积分的概念,掌握
原函数与不定积分的概念及其之间的区 别;掌握不定积分的线性运算法则,熟练
掌握不定积分的基本积分公式。
2、换元积分公式与 分部积分公式在本章中处于十分重要的地位。要求学生:
牢记换元积分公式与选取替换函数(或凑微分) 的原则,并能恰当地选取替换函数
(或凑微分),熟练地应用换元积分公式;牢记分部积分公式,知道求 哪些函数的不
定积分运用分部积分公式,并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积,熟练地
应 用分部积分公式;独立地完成一定数量的不定积分练习题,从而逐步达到快而
准的求出不定积分。 3、有理函数的不定积分就是求无理函数与三角函数有理式不定积分的基础。
要求学生:掌握化有理 函数为分项分式的方法;会求四种有理最简真分式的不定
积分,知道有理函数的不定积分(原函数)还就 是初等函数;学会求某些有理函数
的不定积分的技巧;掌握求某些简单无理函数与三角函数有理式不定积 分的方法,
从理论上认识到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来。
教学重点:深刻理解不定积分的概念;熟练地应用换元积分公式;熟练地应用
分部积分公式;
教学时数:18学时
- 1 -
数学分析 不定积分
§ 1 不定积分概念与基本公式
( 4学时 )
教学要求: 积分法就是微分法的逆运算。要求学生:深刻理解不定积分的概

念,掌握原函数与不定积分的 概念及其之间的区别;掌握不定积分的线性运算法
则,熟练掌握不定积分的基本积分公式。
教学重点:深刻理解不定积分的概念。
一、新课引入: 微分问题的反问题,运算的反运算、
二、讲授新课:
(一)不定积分的定义:
1、原函数:
例1 填空: (
;
、
定义、 注意

就是

的一个原函数、
原函数问题的基本内容:存在性,个数,求法、
原函数的个数:
Th 若

就是

则必有

就是

在区间

上的一个原函数, 则对

也就是

,

都
在区间

上的原函数;若

、 ( 证 )
在区间

上的原函数,
- 2 -
数学分析 不定积分
可见,若

{

│

有原函数

Ｒ}、
,则

的全体原函数所成集合为

原函数的存在性: 连续函数必有原函数、 ( 下章给出证明 )、
可见, 初等函数在其定义域内有原函数; 若

则

在区间

上有介值性、
在区间

上有原函数,
例2、 已知

为

的一个原函数, =5 、 求

、
2、不定积分—— 原函数族:定义; 不定积分的记法;几何意义、
例3 、
(二)不定积分的基本性质: 以下设

与

有原函数、
⑴
(先积分后求导, 形式不变应记牢！)、
⑵
、

、
(先求导后积分, 多个常数需当心！)
⑶

时,
(被积函数乘系数,积分运算往外挪！)
⑷
由⑶、⑷可见, 不定积分就是线性运算, 即对


- 3 -
, 有

数学分析 不定积分
( 当

例4

时,上式右端应理解为任意常数、 )
、 求 、 (

=2 )、
(三)、 不定积分基本公式: 基本积分表、 [1]P180— 公式1—14、
例5

、
(四).利用初等化简计算不定积分:
例6

、 求、

例7

、
例8

、
例9

例10 ⑴
、
; ⑵


例11 、
例12
三、小结
、
§2

换元积分法与分部积分法
(1 0 学时 )

- 4 -
数学分析 不定积分
教学要求: 换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的 地位。要
求学生:牢记换元积分公式与选取替换函数(或凑微分)的原则,并能恰当地选取
替换 函数(或凑微分),熟练地应用换元积分公式;牢记分部积分公式,知道求哪些
函数的不定积分运用分部 积分公式,并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积,
熟练地应用分部积分公式;独立地完成一定数量 的不定积分练习题,从而逐步达
到快而准的求出不定积分。
教学重点:熟练地应用换元积分公式;熟练地应用分部积分公式;
一、新课引入:由直接积分的局限性引入
二、讲授新课:
(一)、 第一类换元法 ——凑微分法:

由





引出凑微公式、
Th1 若


连续可导, 则

该定理即为:若函数

能分解为

就有
- 5 -
数学分析 不定积分




、
、

例1
例2 、
例3
常见微分凑法:
凑法1


例4



例5





例6




例7





由例4—7可见,常可用初等化简把被积函数化为型,然后用凑法1、
例8 ⑴ 、 ⑵
- 6 -
数学分析 不定积分
、
凑法2 、 特别地, 有
、



例9 、
与 、

例10
例11 、
例12
=

凑法3
、


例13 ⑴

⑵
例14
- 7 -
数学分析 不定积分
例15 、
例16
凑法4



例17



凑法5

例18






、

凑法6
、
例19




其她凑法举例:

、
例20



、
例21




例22



- 8 -

数学分析 不定积分
、
例23 、
例24 、
例25
例26
三、小结
、
(二)第二类换元法 —— 拆微法:
从积分


出发,从两个方向用凑微法计算,即


= =

=

引出拆微原理、
Th2 设

就是单调的可微函数,并且

又

具有

原函数、 则有换元公式

(证)
- 9 -
数学分析 不定积分
常用代换有所谓无理代换, 三角代换, 双曲代换, 倒代换, 万能代换,
Euler代换等、
我们着重介绍三角代换与无理代换、
1、 三角代换:
⑴ 正弦代换: 正弦代换简称为“弦换”、 就是针对型如
的根式施行的, 目的就是去掉根号、 方法就是: 令







, 则
例27





解法一 直接积分; 解法二 用弦换、
例28



例29


、




、
⑵ 正切代换: 正切代换简称为“切换”、 就是针对型如

的根式施行的, 目的就是去掉根号、 方法就是: 利用三角公式

即



例30



、
令

、 此时有
变量还原时, 常用所谓辅助三角形法、
- 10 -
数学分析 不定积分
解 令
形, 有
有

、 利用例22的结果, 并用辅助三角
=


=


例31
⑶正割代换: 正割代换简称为“割换”、 就是针对型如
的根式施行的, 目的就是去掉根号、 方法就是: 利用三角公式

令

常用辅助三角形法、
有


变量还愿时,
例32




解




、
例33



解法一 ( 用割换 )
、

解法二 ( 凑微 )
- 11 -
数学分析 不定积分
2、

无理代换:
若被积函数就是

公倍数,作代换

数、
, 有

的有理式时, 设

为

的最小
、可化被积函数为 的有理函
例34

、
例35
、
若被积函数中只有一种根式

或

可试作代换

或
、 从中解出

来、
例36

、
例37


例38

(给出两种解法)
例39
- 12 -
数学分析 不定积分


本题还可用割换计算, 但较繁、
3、

双曲代换: 利用双曲函数恒等式
去掉型如
式, 如:



的根式、
、
, 令 , 可
、 化简时常用到双曲函数的一些恒等


例40





、
本题可用切换计算,但归结为积分
题课例3、

, 该积分计算较繁、 参阅后面习
例41




解
、
例42



、
- 13 -
数学分析 不定积分
解



4、

倒代换: 当分母次数高于分子次数, 且分子分母均为“因式”时, 可
试用倒代换

例43



、

5、

万能代换: 万能代换常用于三角函数有理式的积分(参[1]P261)、
,
就有 ,
,




例44

、

解法一 ( 用万能代换 ) 、
- 14 -
令



数学分析 不定积分
解法二 ( 用初等化简 ) 、
解法三 ( 用初等化简, 并凑微 )


例45
解 =
、
代换法就是一种很灵活的方法、
三、小结
(三)、 分部积分法:导出分部积分公式、介绍使用分部积分公式的一般原则、
1、 幂
X
型函数的积分:

分部积分追求的目标之一就是: 对被积函数
两因子之一争取求导, 以使该因子有较大简化, 特别就是能降幂或变成代数函
数、 代价就是另一因子用其原函数代替( 一般会变繁 ), 但总体上应使积分简
化或能直接积出、 对“幂

对“

” 型的积分, 使用分部积分法可使“幂”降次, 或
”求导以使其成为代数函数、
(幂对搭配,取对为u) 例46

例47 (幂三搭配,取幂为u)
例48 (幂指搭配,取幂为u)
- 15 -
数学分析 不定积分
例49 (幂指搭配,取幂为u)
例50


例51

(幂反搭配,取反为u)
例52


2

建立所求积分的方程求积分: 分部积分追求的另一个目标就是: 对被
积函数两因子之一求导, 进行分部积分若干次后, 使原积分重新出现, 且积分
前的符号不为 1、 于就是得到关于原积分的一个方程、 从该方程中解出原积分
来、
例53
例54 求

与


解 解得
例55
解 =
=

- 16 -
(参阅例41)
数学分析 不定积分
解得

例56

=
,
解得 、
例57


=

=,


解得
三、小结
、

§ 3 有理函数与可化为有理函数的积分
( 2学时 )

教学要求:有理函数的不定积分就是求无理函数与三角函数有理式不定积分的基础。要求学生:掌握化有理函数为分项分式的方法;会求四种有理最简真分式
的不定积分,知道 有理函数的不定积分(原函数)还就是初等函数;学会求某些有
理函数的不定积分的技巧;掌握求某些简 单无理函数与三角函数有理式不定积分
的方法,从理论上认识到这些函数的不定积分都能用初等函数表示 出来。
教学重点:使学生掌握化有理函数为分项分式的方法;求四种有理最简真分
式的不定积 分,学会求某些有理函数的不定积分的技巧;求某些简单无理函数与
- 17 -
数学分析 不定积分
三角函数有理式不定积分的方法,从理论上认识到这些函数的不定积分都能用初
等函 数表示出来。
一、新课引入:由积分应用的广泛性引入
二、讲授新课:
(一)有理函数的积分:
1、 代数知识: [1]P190
例1 [1]P190,
2、 部分分式的积分: [1]P192
例2 [1]P192
例3 [2]P260 E3、
(二)、 三角函数有理式的积分: [1]P194 万能代换、
例4—5 [1]P195——
(三)某些无理函数的积分: [1]P195——198
(四)一些不能用初等函数有限表达的积分:






等、
习 题 课
( 2学时 )
一、 积分举例 :
例1 、
例2 、
- 18 -
数学分析 不定积分
例3
例4 已知 求
例5 求
例6 设


且具有连续导函数、 计算积分

例7 , 求积分
二、

含有二次三项式的积分:
例8

=
=
、
例9
=

=
、
- 19 -