小学所有数学公式浅谈利用高斯公式计算积分

浅谈利用高斯公式计算积分
【摘要】高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分与其 边界曲面上的曲面积
分之间的关系,本文通过对高斯公式计算积分的常用方法介绍,加深对高斯公式运< br>用的思考和理解。

【关键词】高斯公式 封闭曲面 曲面法向量 曲面的侧 方向余弦



高斯公式:设Ω是一空间中的有界闭域,其边界面分片光滑,函数、、在Ω
上具有一阶连续偏导数,则有 其中是Ω的正向边界曲面,当是简单封闭区间外
侧时为正(内侧为负)。

1.封闭曲面存在直接计算。如果空间有向曲面S是封闭的,那么,直接运用
高斯公式计算。

例1、计算曲面积分,其中∑为柱面及平面、所围成的空间闭区域Ω的整
个边界曲面的外侧。

解:因

,,

利用高斯公式把所给曲面积分化为三重积分,再利用柱面坐标计算三重
积分

得:

2.构造封闭曲面再计算。如果空间有向曲面S不是封闭的,那么需添加辅
助的有 向曲面S0,使S与S0构成定向的封闭曲面,再运用高斯公式进行计算。

注:添补的辅 助曲面S0的法线矢量的方向应选为使封闭曲面S+S0的法线
方向或者都向外,或者都向内。

例2、计算,∑为曲面,夹在z=1及z=2的下侧部分。

解:构造辅助平面∑1:z=2取上侧,∑2:z=1取下侧。

则由高斯公式得

在∑1:z=2,dz=0,则8


在∑2:z=1,dz=0,则

所以原式

例3、设S是以xoy 平面上椭圆L:为边界曲线的任意光滑凸曲面的上侧,
且位于xoy平面的上方,求。

解:根据高斯公式构造有向辅助曲面

显然,S0在xoy平面上的投影区域Dxy就是本身,且,引入广义极坐标,,则,
且有

然后,利用高斯公式,计算封闭曲面S+S0上的曲面积分

于是,所求的曲面积分

3.封闭曲面存在的特殊情形。如果所给的有向曲面是封闭的,但 是不满足
高斯公式所要求的函数、、在S所包围的有界闭区域V上连续,且具有连续的一阶
偏导 数的条件,那么,可以先把S的方程代入该曲面积分,若后者曲面积分已满足高
斯公式条件,则用高斯公 式把它化为三重积分计算。

例4、设曲面S为夹于z=0与z=1之间部分,其法线向内,求第二类曲面积
分

解:把曲面S的方程代入积分I,得

现构造辅助平面,取上侧,易求得0

构造辅助平面,取下侧,得:= ==

由高斯公式得

其中,因V分别关于面yoz,xoz对称,故=0,=0

则所求的积分。

如果封闭空间曲面S的方程代入某曲面积分后。在S所围的区域V内仍
然存在某些 点或子区域使其不满足高斯公式条件,而在其它地方P,Q,R都连续,且
具有连续的一阶偏导数,又有 ,则构造一个有规则的封闭曲面使其偏导数不连续的
那些点或区域包含在S0内部,且S0的法矢量与S 的法矢量一致,于是在S上的曲
面积分等于在S0上的曲面积分,即有

例5、计算积分,其中∑是椭球面的外侧。


解:作以原点为球心,()为半径的球面∑1:,使其位于椭球面内,则有

(令,此时∑1的方向余弦,,由两类曲面积分的联系,有)

则=4π

4.运用高斯公式时有关曲面侧的问题。运用高斯公式计算曲面积分的时
候,曲面的有向性是 至关重要的,而往往封闭曲面侧的判断正误与否也决定了解题
过程是否正确。

注 :(1)当曲面光滑且具有双侧时,有向曲面侧“上侧、前侧、右侧”取“”,“下
侧、后侧、左侧”取 “-”

(2)高斯公式中的“Ω”是整个边界闭区域的外侧

例6、计算曲面积分,∑:,其法向量与OZ轴正向夹角为锐角。

解:取辅助平面,使曲面构成封闭曲面

:,方向向下

则

(注:此封闭曲面是整个闭域的内侧,运用高斯公式时添“-”号,有向曲面方
向 向下,计算积分时也应添“-”号)

参考文献

1 卲剑、李大侃.高等数学专题梳理与解读[M].同济大学出版社,2008

2 王式安、蔡燧林、胡金德、程杞元.考研数学标准全书[M].对外经贸大学出
版社,2008

3 马菊霞、吴云天.高等数学[M].国防工业出版社,2007

4 同济大学数学系.高等数学[M].高等教育出版社,2007