资金成本计算公式利用定积分计算不定积分

1 11

变限积分法
由牛顿莱布尼兹公式，可用不定积分求定积分 。那么能否反过来，用定积分求不定积分呢？
当然能！当f(t)确定时，仅与a和b有关。若将b替换 为x，则得到变上限积分函数
。积分结果当然是F(x)-F(a)，然后对其求导，必然有F’(x) =f(x)。所以，求得不定积分
，其中-F(a)已经换成积分常数c。这就是变限积分法。（17世 纪出现此法）

例1：已知当x>0时，求当x<0时的。
解：对于任意x<0，必然存在a，满足x由定积分的定义可知。
由的中心对称性可知。
所以。
因为x-a>0，符合已知条件中的积分公式。
所以。
将-ln(-a)换成积分常数c，得到当x<0时。
经过检验：对不定积分求导能得到被积函数，并且不定积分与被积函数都满足x<0。
综合上述，当x>0时，当x<0时，整合
其实，如果ln(-1)有意义，且适用原来的运算法则，则lnx- lna=ln(xa)=ln(-x-a)=ln(-x)-ln(-a)
如果扩充至复数领域，则

例2：求，其中a>0。
，不用也不能添加绝对值符号。
解法1，换元积分法。
1 11

2 11

因为-a则，dx=acostdt，t=arcsin(xa)。

经过检验：对不定积分求导能得到被积函数，且不定积分和被积函数都满足-a去 端点原理：因为去掉区间端点后不影响积分，且函数在区间端点处不可导，所以求积分和
求导一样都应该 忽略区间端点。即，求积分或求导时，应该视所有闭区间为开区间。此原理
可用积分定义与导数定义证明 。
解法2，变限积分法。
如下图，a>|OT|=t>0，|OP|=|OQ|=a，，。



2 11

3 11



经过检验：对不定积分求导能得到被积函数，且不定积分和被积函数都满足-a
例3：已知
解法1，换元积分法。
设。（）
，求，其中a>0。
则，。
因为，所以在下面的计算中，必然cost>0，1-sint>0，1+sint>0。
特别地，因为，所以。
所以下面的对数式中的真数不必加绝对值符号。
如果扩充至 复数领域，因为在整个复平面内解析，所以该函数的积分仅决定于起点
和端点，其不定积分中的对数式中 的真数不用也不能添加绝对值符号。

经过检验：对不定积分求导能得到被积函数，并且该等式在整个实数域内成立。

解法2，变限积分法。
3 11

4 11


曲线上有点和点，t>0。则，

射线OR平分第一象限，，。则， < br>坐标系绕原点旋转π4，则曲线f(x)变成曲线
因为，所以
，射线OR变成x轴的正半 轴。
，所以


经过检验：对不定积分求导能得到被积函数，并且该等式在整个实数域内成立。

使 用换元积分法，例2和例3都难在换元，例3还难在裂项。使用变限积分法，例2和例3
都难在求积分。 所以各种积分方法只是各有千秋，不存在绝对最优或最劣的积分方法。

例4：以例3的积分公式为依据，计算
4 11

，其中a>0
5 11

解法1，直接积分法。（最优解法。）
引入，再套用例3的积分公式，得

经过检验：对不定积分求导能得到被积函数，并且不定积分与被积函数都满足x<-a或x>a。 虽然引用了虚数，但是变量仍然是实数，这始终是实变函数。有时候，解决实变函数的问题
时，引用 虚数，可能会更方便。

解法2，变限积分法。（次优解法。）

曲线上有点，，
与点

以y=x做镜像线，将f(x)做镜像变换，得曲线


经过检验：对不定积分求导能得到被积函数，并且不定积分与被积函数都满足x<-a或x>a。

解法3，换元积分法与分部积分法。（最劣解法。）
因为x<-a或x>a，并且 asint<-a或asint>a。不妨令x=asint。其中
则，

5 11

6 11


经过检验：对不定积分求导能得到被积函数，并且不定积分与被积函数都满足x<-a或x>a。

将例3与例4的积分公式整合，得


至于引用虚数解决实变函数的应用，此处再举一例。

例5：计算

解法1，直接积分法。（最优解法。）
已知微分公式

由此逆推得出积分公式

经过检验：对不定积分求导能得到被积函数，并且该等式在整个实数域内成立。

解法2，引用虚数，使用换元积分法。（最劣解法。）

6 11

7 11

经过检验：对不定积分求导能得到被积函数，并且该等式在整个实数域内成立。
如果积分结果包含对数，并且真数是虚数，则真数不能添加绝对值符号。

以上例子 都检验不定积分，其实是检验区间是否缩小，任何积分方法都有可能缩小区间。如
果不定积分的可导区间 小于被积函数的可积区间，则积分公式还需要继续完善。不同的积分
方法缩小区间的原因不同。具体原因 如下：
（1） 直接积分法。
由微分公式逆向推出积分公式，然而这两个公式中的f(x)
，未必相同（表达式相同，定义域不同），以致积分计算出错。例如：微分公式
因为导函数的定 义域不可能大于被导函数的定义域（由导函数的定义证明），所以这里的1x
与lnx一样都是x>0。 然而由此逆推的积分公式
积，不定积分lnx+c却只在x>0处可导。直接积分法出错。
（2） 分部积分法。
，被积函数1x在x≠0处可

计算dU(x)则限 制x在U(x)的可微区间内，可能小于U(x)V’(x)的可积区间，以致出错。例如：

其中，W(x)是魏尔斯特拉斯函数。如果这样计算：
个实数域内可积却在x<0时不可微。分部积分 法出错。
（3） 换元积分法。
若设g(t)=x，则。如果g(t)的值域小于f(x) 的定义域，则计算出错。
。然而f(x)在整
例2、例3、例4在换元前都检查了区间变化。有 时必须进行不恰当换元，换元积分法出错。
（4） 变限积分法。

积分限默认了x>a，但是f(x)在x
（1）和（2）已经给出了具体的例子，（3）和（4）的具体的例子在下面给出。

例6：以例3的积分公式为依据，求

解法1，变限积分法。
曲线
7 11

上有点，以y=x为镜像线，镜像变换，曲线上有点
8 11




经过检验，该等式仅在x>0时成 立，然而被积函数在x<-1时也可积。出错原因在于积分限
默认了t>0。引入虚数，假设t<-1时 上述计算仍然成立，则：

因为t是积分下限，所以将t换成x后，积分结果还必须加负号，也就是：

经过检验，该等式在x<-1时成立。将x<-1与x>0两部分整合，得：

解法2，换元积分法。
令
8 11


，则
9 11


经过检验，该等式仅在x>0时成立，然而被积函数在x <-1时也可积。出错原因在于换元不
恰当，。但是这样换元能套用例3的积分公式，积分便利，这样换 元是必需的。
，则满足x<-1，， 至于x<-1的部分则需要另外换元。令t>1且

整合这两部分，得：

例7：以以上积分公式为依据，求

解法1，变限积分法。
例7与例6的被积函数关于y轴对称，找-a>-t>0，则a

以上是x<0的部分，至于x>1的部分，则找t>a>1，则-t<-a<-1，然后：


9 11

10 11

整合这两部分，得：

解法2，换元积分法。


整合例6与例7，得：


例8：以以上积分公式为依据，计算


解法1，换元积分法。
令，则。（0
解法2，变限积分法。

构造函数f(x)，显然f(x)是偶函数。对于任意0

10 11

11 11

例2、例3、例4、例6、例7、例8，这六个积分公式其实是等价的，例如以例3推导例2。

各种积分方法总结：
直接积分法：

分部积分法：

换元积分法：

变限积分法：

变限积分法的介绍就到此结束了，谢谢各位阅读。更多的例子，就由各位以后挖掘了。再见！
11 11