分率公式(完整版)鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解

鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解
【鸡兔问题公式】
（1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少：
（总脚数- 每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）
=兔数；
总头数-兔数=鸡数。
或者是（每只兔脚数×总头数-总脚数）÷（每只兔脚数-每只鸡脚数）
=鸡数；
总头数-鸡数=兔数。
例如，“有鸡、兔共36只，它们共有脚100只，鸡、兔各是多少只？”
解一 （100-2×36）÷（4-2）=14（只）………兔；
36-14=22（只）……………………………鸡。
解二 （4×36-100）÷（4-2）=22（只）………鸡；
36-22=14（只）…………………………兔。
（答 略）
（2）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚
数多时，可用公式
（每只鸡脚数×总头数-脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的
脚数）=兔数；
总头数-兔数=鸡数
或（每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+
每只免的脚数）=鸡数；
总头数-鸡数=兔数。（例略）
（3）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数
多时，可用公式。
（每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+
每只兔的脚数）=兔数；
总头数-兔数=鸡数。
或（每只兔的脚数×总头数- 鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+
每只兔的脚数）=鸡数；
总头数- 鸡数=兔数。（例略）
（4）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法，可以用下面的公
式：
（1只合格品得分数×产品总数-实得总分数）÷（每只合格品得
分数+每只不合格品扣分数）=不合格 品数。或者是总产品数-（每只
不合格品扣分数×总产品数+实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。
例如，“灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资 。每生产
一个合格品记4分，每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除15分。
某工人生产了 1000只灯泡，共得3525分，问其中有多少个灯泡不合
格？”
解一 （4×1000-3525）÷（4+15）
=475÷19=25（个）
解二 1000-（15×1000+3525）÷（4+15）
＝1000-18525÷19
=1000-975=25（个）（答略）
（“得失问题”也称“运玻璃器皿问题” ，运到完好无损者每只给
运费××元，破损者不仅不给运费，还需要赔成本××元……。它的
解 法显然可套用上述公式。）
（5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔
各多少的问题），可用下面的公式：
〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数和）+（两次总脚数之差）
÷（每只鸡兔脚数之差 ）〕÷2=鸡数；
〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数之和）-（两次总脚数之
差） ÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷2=兔数。
例如，“有一些鸡和兔，共有脚44只，若将鸡数与兔数互换，则
共有脚52只。鸡兔各是多少只？”
解 〔（52+44）÷（4+2）+（52-44）÷（4-2）〕÷2
=20÷2=10（只）……………………………鸡
〔（52+44）÷（4+2）-（52-44）÷（4-2）〕÷2
=12÷2=6（只）…………………………兔（答略）


鸡兔同笼

目录 1总述 2假设法 3方程法 一元一次方程 二元一次方
程
4抬腿法 5列表法 6详解 7详细解法
基本问题 特殊算法 习题
8鸡兔同笼公式
1总述
鸡兔同笼是中国古代的数学名题之一。大约在1500年前 ，《孙子算经》
中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，
上有三十五 头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：
有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有 35个头,从下面数，有
94只脚。问笼中各有几只鸡和兔？
算这个有个最简单的算法。
（总脚数-总头数×鸡的脚数）÷（兔的脚数-鸡的脚数）=兔的只数
（94－35×2）÷2=12(兔子数) 总头数（35）－兔子数（12）=鸡数
（23）
解释：让兔子和鸡同时抬起两只脚，这样笼子里的脚就减少了头数×
2只，由于鸡只有2只脚， 所以笼子里只剩下兔子的两只脚，再除以
2就是兔子数。虽然现实中没人鸡兔同笼。
2假设法
假设全是鸡：2×35=70（只）
鸡脚比总脚数少：94－70=24 （只）
兔：24÷(4-2)=12 （只）
鸡：35－12=23（只）
假设法（通俗）
假设鸡和兔子都抬起一只脚，笼中站立的脚：
94-35=59（只）
然后再抬起一只脚，这时候鸡两只脚都抬起来就摔倒了，只剩下用 两
只脚站立的兔子，站立脚：59-35=24（只） 兔：24÷2=12（只） 鸡：
35-12=23（只）
3方程法
一元一次方程
解：设兔有x只，则鸡有(35-x）只。
4x+2(35-x)=94
4x+70-2x=94
2x=94-70
2x=24
x=24÷2
x=12
35-12=23(只）
或 解：设鸡有x只，则兔有（35-x）只。
2x+4(35-x)=94
2x+140-4x=94
2x=46
x=23
35-23=12(只）
答：兔子有12只，鸡有23只。
注：通常设方程时， 选择腿的只数多的动物，会在套用到其他类似鸡
兔同笼的问题上，好算一些。
二元一次方程
解：设鸡有x只，兔有y只。
x+y=35
2x+4y=94
（x+y=35)×2=2x+2y=70
(2x+2y=70)-(2x+4y=94)=(2y=24)
y=12
把y=12代入（x+y=35)
x+12=35
x=35-12（只）
x=23（只）。
答：兔子有12只，鸡有23只
4抬腿法 法一 假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起2只脚，还有94除以2=47只脚。笼
子里的兔就比鸡的头数多1 ，这时，脚与头的总数之差47-35=12，就
是兔子的只数。
法二
假如鸡与兔子都抬起两只脚，还剩下94－35×2=24只脚 ， 这时鸡
是屁股坐在地上， 地上只有兔子的脚，而且每只兔子有两只脚在地上，
所以有24÷2=12只兔子，就有35－12=2 3只鸡
5列表法
腿数
鸡（只数）
兔（只数）
6详解 中国古代《孙子算经》共三卷，成书大约在公元5世纪。这本书浅显
易懂，有许多有趣的算术题，比 如“鸡兔同笼”问题：
今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
题目中给出雉兔共有35只，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，
看作是一只脚，两只后脚也用绳子捆 起来，看作是一只脚，那么，兔
子就成了2只脚，即把兔子都先当作两只脚的 鸡。鸡兔总的脚数是
35×2=70（只），比题中所说的94只要少94-70=24（只）。 < br>现在，我们松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数就会增加2只，即
70+2=72（只），再松开 一只兔子脚上的绳子，总的脚数又增加2，2，
2，2……，一直继续下去，直至增加24，因此兔子数 ：24÷2=12（只），
从而鸡有35-12=23（只）。
我们来总结一下这道 题的解题思路：如果先假设它们全是鸡，于
是根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得 到的脚
数与题中给出的脚数相比较，看看差多少，每差2只脚就说明有1只
兔，将所差的脚数除 以2，就可以算出共有多少只兔。概括起来，解
鸡兔同笼题的基本关系式是：兔数=（实际脚数- 每只鸡脚数×鸡兔总
数）÷（每只兔子脚数-每只鸡脚数）。类似地，也可以假设全是兔子。
我们也可以采用列方程的办法：设兔子的数量为x，鸡的数量为y
那么：x+y=35那么4x+2y=94 这个算方程解出后得出：兔子有12只，
鸡有23只。
7详细解法
基本问题
鸡兔同笼是一类有名的中国古算题。最早出现在《孙子算经》
中.许多小学算术应用题 都可以转化成这类问题，或者用解它的典型
解法--假设法来求解。因此很有必要学会它的解法和思路.
例1 有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔
各有多少只

解：我们设想，每只鸡都是金鸡独立一只脚站着；而每只兔子都用
两条后腿，像人 一样用两只脚站着。现在，地面上出现脚的总数的一
半，·也就是
244÷2=122（只）.
在122这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算 了两次。
因此从122减去总头数88，剩下的就是兔子头数
122-88=34（只），

有34只兔子.当然鸡就有54只。
答：有兔子34只,鸡54只。
上面的计算，可以归结为下面算式：
总脚数÷2-总头数=兔子数. 总头数- 兔子数=鸡数
特殊算法
上面的解法是《孙子算经》中记载的。做一次除法和一次减法，马上
能求出兔子数，多简单！能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别
是4和2,4又是2的2倍 .可是，当其他问题转化成这类问题时，脚
数就不一定是4和2，上面的计算方法就行不通。因此，我们 对这类
问题给出一种一般解法.
还说例1.
如果设想88只都是兔子，那么就有4×88只脚，比244只脚多了
88×4-244=108（只）.
每只鸡比兔子少(4-2)只脚，所以共有鸡

(88×4-244)÷(4-2)= 54（只）.
说明我们设想的88只兔子中，有54只不是兔子。而是鸡.因此可以
列出公式
鸡数=（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）.
当然，我们也可以设想88只都是鸡那么共有脚2×88=176（只），
比244只脚少了
244-176=68（只）.
每只鸡比每只兔子少(4-2)只脚，
68÷2=34（只）.
说明设想中的鸡有34只是兔子，也可以列出公式
兔数=（总脚数-鸡脚数×总头数）÷（兔脚数-鸡脚数）.
上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去
减，就知道另一个数。
假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，有人称为假设
法
现在，拿一个具体问题来试试上面的公式。
例2 红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0. 11元，两种铅笔共买了16
支，花了2.80元。问红，蓝铅笔各买几支？
解：以分作为 钱的单位.我们设想，一种鸡有11只脚，一种兔子
有19只脚，它们共有16个头，280只脚。
现在已经把买铅笔问题，转化成鸡兔同笼问题了.利用上面算兔数公
式，就有
蓝笔数=(19×16-280)÷(19-11)
=24÷8
=3（支）.
红笔数=16-3=13（支）.
答：买了13支红铅笔和3支蓝铅笔。
对于 这类问题的计算，常常可以利用已知脚数的特殊性.例2中的脚
数与11之和是30.我们也可以设想1 6只中，8只是兔子只是
鸡根据这一设想，脚数是
8×(11+19)=240（支）。
比280少40.
40÷(19-11)=5（支）。
就知道设想中的8只鸡应少5只，也就是鸡蓝铅笔）数是3.
30×8比19×16或11×16要容易计算些。利用已知数的特殊性，靠
心算来完成计算.
实际上，可以任意设想一个方便的兔数或鸡数。例如，设想16只中，
兔数为10,鸡数为6， 就有脚数
19×10+11×6=256.
比280少24.
24÷(19-11)=3,
就知道设想6只鸡要少3只。
要使设想的数，能给计算带来方便，常常取决于你的心算本领.
下面再举四个稍有难度的例子。
例3 一份稿件，甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需 10小时完成，
现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时。甲
打字用了多 少小时？
解：我们把这份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍数），甲
每小时 打30÷6=5（份），乙每小时打30÷10=3（份）.
现在把甲打字的时间看成兔头数，乙打 字的时间看成鸡头数，总
头数是7.兔的脚数是5,鸡的脚数是3，总脚数是30，就把问题转
化成鸡兔同笼问题了。
根据前面的公式
兔数=(30-3×7)÷(5-3)
=4.5,
鸡数=7-4.5
=2.5,

也就是甲打字用了4.5小时，乙打字用了2.5小时。
答：甲打字用了4小时30分.
例4 今年是1998年，父母年龄（整数）和是78岁，兄弟的年龄和
是17岁。四年后(2 002年）父的年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄是
兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍 时，是公元哪一
年？
解：4年后，两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=2 5，父
母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作鸡头数，弟的年龄
看作兔头数。 25是总头数是总脚数根据公式，兄的年龄是
(25×4-86)÷(4-3)=14（岁）.
1998年，兄年龄是
14-4=10（岁）.
父年龄是
(25-14)×4-4=40（岁）.
因此，当父的年龄是兄的年龄的3倍时，兄的年龄是
(40-10)÷(3-1)=15（岁）.
这是2003年。
答：公元2003年时，父年龄是兄年龄的3倍.
例5蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对 翅膀，蝉有6条腿和1对翅
膀。现在这三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀.每种小虫各几只？
解：因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫
分成条腿与 条腿两种。利用公式就可以算出8条腿的
蜘蛛数=(118-6×18)÷(8-6)
=5（只）.
因此就知道6条腿的小虫共
18-5=13（只）.
也就是蜻蜓和蝉共有13只，它们共有20对翅膀。再利用一次公式
蝉数=(13×2-20)÷(2-1)=6（只）.
因此蜻蜓数是13-6=7（只）.
答：有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蝉。
例6 某次数学考试考五道题，全班52人参加，共 做对181道题，已
知每人至少做对1道题，做对1道的有7人，5道全对的有6人，做
对2道 和3道的人数一样多，那么做对4道的人数有多少人？
解：对2道，3道，4道题的人共有
52-7-6=39（人）.
他们共做对
181-1×7-5×6=144（道）.
由于对2道和3道题的人数一样多，我们就可以 把他们看作是对2.5
道题的人（(2+3)÷2=2.5).这样
兔脚数=4，鸡脚数=2.5,
总脚数=144，总头数=39.
对4道题的有
(144-2.5×39)÷(4-2.5)=31（人）.
答：做对4道题的有31人。
以例1为例 有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和
兔各有多少只？
以简单的X方程计 算的话，我们一般用设大数为X，那么也就是设
兔为X，那么鸡的只数就是总数减去鸡的只数，即（88 -X）只。
解：设兔为X只。则鸡为（88-X）只。
4X+2×（88-X）=244
上列的方程解释为：兔子的脚数加上鸡的脚数，就是共有 的脚数。4X
就是兔子的脚数，2×（88-X）就是鸡的脚数。
4X+2×88-2X=244
2X+176=244
2X+176-176=244-176
2X=68
2X÷2=68÷2
X=34
即兔子为34只，总数是88只，则鸡：88-34=54只。
答：兔子有34只，鸡有54只。
习题一
1．龟鹤共有100个头，350只脚.龟，鹤各多少只 ？
2．学校有象棋，跳棋共26 副，恰好可供120个学生同时进行活动。
象棋2人下一副棋，跳棋6人下一副.象棋和跳棋各有几副？
3．一些2分和5分的硬币，共值2.99元，其中2分硬币个数是5分
硬币个数的4倍，问5 分硬币有多少个 ？
4．某人领得工资240元，有2元，5元，10元三种人民币，共50张，< br>其中2元与5元的张数一样多。那么2元，5元，10元各有多少张？
5．一件工程，甲单独 做12天完成，乙单独做18天完成，现在甲做
了若干天后，再由乙接着单独做完余下的部分，这样前后 共用了16
天.甲先做了多少天 ？

6．摩托车赛全程长281千米，全程被划 分成若干个阶段，每一阶段
中，有的是由一段上坡路(3千米），一段平路(4千米），一段下坡路(2
千米）和一段平路(4千米）组成的；有的是由一段上坡路(3千米），
一段下坡路(2千米） 和一段平路(4千米）组成的。已知摩托车跑完
全程后，共跑了25段上坡路.全程中包含这两种阶段各 几段？
7．用1元钱买4分，8分，1角的邮票共15张，问最多可以买1角
的邮票多少张？
二、两数之差的问题
鸡兔同笼中的总头数是两数之和如果把条件换成两数之差又应
该怎样去解呢
例7 买一些4分和8分的邮票，共花6元8角。已知8分的邮票比4
分的邮票多40张，那么两种邮票各买了 多少张？
解一：如果拿出40张8分的邮票，余下的邮票中8分与4分的张数
就一样多.
(680-8×40)÷(8+4)=30（张），
这就知道，余下的邮票中，8分和4分的各有30张。
因此8分邮票有
40+30=70（张）.
答：买了8分的邮票70张，4分的邮票30张。
也可以用任意假设一个数的办法.
解二：譬如，假设有20张4分，根据条件分比4分多4 0张那么
应有60张8分。以分作为计算单位，此时邮票总值是
4×20+8×60=560.
比680少，因此还要增加邮票。为了保持差是40，每增 加1张4
分，就要增加1张8分，每种要增加的张数是
(680-4×20-8×60)÷(4+8)=10（张）.
因此4分有20+10=30（张），8分有60+10=70（张）.
例8 一项工程，如果全是晴天，15天可以完成。倘若下雨，雨天比
晴天多3天，
工程要多少天才能完成
解：类似于例3，我们设工程的全部工作量是150份，晴天每天完 成
10份，雨天每天完成8份.用上一例题解一的方法，晴天有
(150-8×3)÷(10+8)= 7（天）.
雨天是7+3=10天，总共
7+10=17（天）.
答：这项工程17天完成。
请注意，如果把雨天比晴 天多3天去掉，而换成已知工程是17天
完成，由此又回到上一节的问题.差是3，与和是17，知道其 一，就
能推算出另一个。这说明了例7，例8与上一节基本问题之间的关系.

总脚数是两数之和如果把条件换成两数之差又应该怎样去解呢
例9 鸡与兔共100只，鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只？
解一：假如再补上28只鸡脚， 也就是再有鸡28÷2=14（只），鸡与
兔脚数就相等，兔的脚是鸡的脚4÷2=2（倍），于是鸡的 只数是兔的
只数的2倍。兔的只数是
(100+28÷2)÷(2+1)=38（只）.
鸡是 100-38=62（只）.
答：鸡62只，兔38只。
当然也可以去掉兔28÷4=7（只）.兔的只数是
(100-28÷4)÷(2+1)+7=38（只）.
也可以用任意假设一个数的办法。
解二：假设有50只鸡，就有兔100-50=50（只）.此时脚数之差是
4×50-2×50=100,
比28多了72.就说明假设的兔数多了（鸡数少了）.为 了保持总数是
100，一只兔换成一只鸡，少了4只兔脚，多了2只鸡脚，相差为6
只（千万注 意，不是2).因此要减少的兔数是 (100-28)÷(4+2)=12（只）.
兔只数是50-12=38（只）.
另外，还存在下面这样的问题：总头数换成两数之差总脚数也换成
两数之差
例10 古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四
句诗，每句都是七个字。有一诗选集，其中 五言绝句比七言绝句多
13首，总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少首？
解一：如果去掉13首五言绝句，两种诗首数就相等，此时字数相差
13×5×4+20=280（字）.
每首字数相差 7×4-5×4=8（字）.
因此，七言绝句有 280÷(28-20)=35（首）.

五言绝句有35+13=48（首）.
答：五言绝句48首，七言绝句35首。
解二：假设五言绝句是23首，那么根据相差13首，七言绝句是10
首.字数分别是20×23=4 60（字），28×10=280（字），五言绝句的字
数，反而多了
460-280=180（字）.与题目中少20字相差180+20=200（字）.
说 明假设诗的首数少了。为了保持相差13首，增加一首五言绝句，
也要增一首七言绝句，而字数相差增加 8.因此五言绝句的首数要比假
设增加 200÷8=25（首）.五言绝句有23+25=48（首）.
七言绝句有 10+25=35（首）.
在写出鸡兔同笼公式的时候，我们假设都是兔，或者都是鸡，对于
例7，例9和例10三个问题，当然也可以这样假设。现在来具体做
一下，把列出的计算式子与鸡兔同笼 公式对照一下，就会发现非常
有趣的事.
例7，假设都是8分邮票，4分邮票张数是
(680-8×40)÷(8+4)=30（张）.
例9，假设都是兔，鸡的只数是
(100×4-28)÷(4+2)=62（只）.
10，假设都是五言绝句,七言绝句的首数是
(20×13+20)÷(28-20)=35（首）.
首先，请读者先弄明白上面三个算式的由来， 然后与鸡兔同笼公式
比较，这三个算式只是有一处成了其奥妙何在呢
当你进入初中，有了负数 的概念，并会列二元一次方程组，就会明白，
从数学上说，这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事。
例11 有一辆货车运输2000只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数
目计算，每只2角，如 有破损，破损瓶子不给运费，还要每只赔偿1
元.结果得到运费379.6元，问这次搬运中玻璃瓶破损 了几只？
解：如果没有破损，运费应是400元。但破损一只要减少1+0.2=1.2
（元 ）.因此破损只数是 (400-379.6)÷(1+0.2)=17（只）.
答：这次搬运中破损了17只玻璃瓶。
请你想一想，这是鸡兔同笼同一类型的问题吗
例12 有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错（包
含不答）1题倒扣1分；第二次15道题 ，答对1题8分，答错或不
答1题倒扣2分，小明两次测验共答对30道题，但第一次测验得分
比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分？
解一：如果小明第一次测验24题全对， 得5×24=120（分）.那么第
二次只做对30-24=6（题）得分是 8×6-2×(15-6)=30（分）.
两次相差 120-30=90（分）.
比 题目中条件相差10分，多了80分。说明假设的第一次答对题数多
了，要减少.第一次答对减少一题， 少得5+1=6（分），而第二次答对
增加一题不但不倒扣2分，还可得8分，因此增加8+2=10分 。两者
两差数就可减少6+10=16（分）.
(90-10)÷(6+10)=5（题）.

因此第一次答对题数要比假设（全对）减少5题，也就是第一次答对
19题，第二 次答对30-19=11（题）.
第一次得分5×19-1×(24- 19)=90.
第二次得分8×11-2×(15-11)=80.
答：第一次得90分，第二次得80分。
解二：答对30题，也就是两次共答错
24+15-30=9（题）.
第一次答错 一题，要从满分中扣去5+1=6（分），第二次答错一题，
要从满分中扣去8+2=10（分）.答错 题互换一下，两次得分要相差
6+10=16（分）.
如果答错9题都是第一次，要从满分 中扣去6×9.但两次满分都是120
分。比题目中条件第一次得分多10分要少了6×9+10.因此 ，第二
次答错题数是
(6×9+10)÷(6+10)=4（题）·
第一次答错9-4=5（题）.
第一次得分5×(24-5)-1×5=90（分）.
第二次得分8×(15-4)-2×4=80（分）.
习题二
1．买语文书3 0本，数学书24本共花83.4元。每本语文书比每本数
学书贵0.44元。每本语文书和数学书的价 格各是多少 ？
2．甲茶叶每千克132元，乙茶叶每千克96元，共买这两种茶叶12
千克 .甲茶叶所花的钱比乙茶叶所花钱少354元。问每种茶叶各买多
少千克？
3．一辆卡车运 矿石，晴天每天可运16次，雨天每天只能运11次.一
连运了若干天，有晴天，也有雨天。其中雨天比 晴天多3天，但运的
次数却比晴天运的次数少27次.问一连运了多少天 ？
4．某次数学测 验共20道题，做对一题得5分，做错一题倒扣1分，
不做得0分。小华得了76分.问小华做对了几道 题？

5．甲，乙二人射击，若命中，甲得4分，乙得5分；若不中，甲失
2分， 乙失3分。每人各射10发，共命中14发.结算分数时，甲比乙
多10分。问甲，乙各中几发 ？

6．甲，乙两地相距12千米.小张从甲地到乙地，在停留半小时后，
又从乙地返 回甲地，小王从乙地到甲地，在甲地停留40分钟后，又
从甲地返回乙地。已知两人同时分别从甲，乙两 地出发，经过4小时
后，他们在返回的途中相遇.如果小张速度比小王速度每小时多走1.5
千 米，求两人的速度。？

三、从三到二

鸡和兔是两种东西，实际上还 有三种或者更多种东西的类似问题.
在第一节例5和例6就都有三种东西。从这两个例子的解法，也可以
看出，要把三种转化成二种来考虑.这一节要通过一些例题，告诉
大家两类转化的方法。

例13 学校组织新年游艺晚会，用于奖品的铅笔，圆珠笔和钢笔共232
支，共 花了300元.其中铅笔数量是圆珠笔的4倍。已知铅笔每支0.60
元，圆珠笔每支2.7元，钢笔每 支6.3元。问三种笔各有多少支

解：从条件铅笔数量是圆珠笔的4倍这两种笔可并成一 种笔，四支
铅笔和一支圆珠笔成一组，这一组的笔，每支价格算作

（0.60×4+2.7)÷5=1.02（元）.

现在转化成价格为1.02和6.3两种笔。用鸡兔同笼公式可算出，钢
笔支数是

(300-1.02×232)÷(6.3-1.02)=12（支）.

铅笔和圆珠笔共

232-12=220（支）.

其中圆珠笔

220÷(4+1)=44（支）.

铅笔

220-44=176（支）.

答：其中钢笔12支，圆珠笔44支，铅笔176支。

例14 商店出售大，中 ，小气球，大球每个3元，中球每个1.5元，
小球每个1元。张老师用120元共买了55个球，其中 买中球的钱与
买小球的钱恰好一样多.问每种球各买几个

解：因为总钱数是整数 ，大，小球的价钱也都是整数，所以买中球的
钱数是整数，而且还是3的整数倍。我们设想买中球，小球 钱中各出
3元.就可买2个中球，3个小球。因此，可以把这两种球看作一种，
每个价钱是

(1.5×2+1×3)÷(2+3)=1.2（元）.

从公式可算出，大球个数是

(120-1.2×55)÷(3-1.2)=30（个）.

买中，小球钱数各是

(120-30×3)÷2=15（元）.

可买10个中球，15个小球。

答：买大球30个，中球10个，小球15个.

例13是从两种东西的个数之间倍数关系，例14是从两种东西的总钱
数之间相等 关系（倍数关系也可用类似方法），把两种东西合井成一
种考虑，实质上都是求两种东西的平均价，就把 三转化成二了。

例15是为例16作准备.

例15 某人去时上坡速度为每小时走3千米，回来时下坡速度为每小
时走6千米，求他的平均速度是多少

解：去和回来走的距离一样多。这是我们考虑问题的前提.

平均速度=所行距离÷所用时间
去时走1千米，要用20分钟；回来时走1千米，要用10 分钟。来回
共走2千米，用了30分钟，即半小时，平均速度是每小时走4千米.
千万注意，平均速度不是两个速度的平均值：每小时走(6+3)÷2=4.5
千米。
例16 从甲地至乙地全长45千米，有上坡路，平路，下坡路.李强上
坡速度是每小时3千米 ，平路上速度是每小时5千米，下坡速度是每
小时6千米。从甲地到乙地，李强行走了10小时；从乙地 到甲地，
李强行走了11小时.问从甲地到乙地，各种路段分别是多少千米
解：把来回路程 45×2=90（千米）算作全程。去时上坡，回来是下
坡；去时下坡回来时上坡.把上坡和下坡合并成 一种路程，根据例
15，平均速度是每小时4千米。现在形成一个非常简单的鸡兔同笼
问题.头 数10+11=21，总脚数90，鸡，兔脚数分别是4和5.因此平路
所用时间是 (90-4×21)÷(5-4)=6（小时）.
单程平路行走时间是6÷2=3（小时）.
从甲地至乙地，上坡和下坡用了10-3=7（小时）行走路程是：
45-5×3=30（千米）.
又是一个鸡兔同笼问题。从甲地至乙地，上坡行走的时间是：
(6×7-30)÷(6-3)=4（小时）.
行走路程是3×4=12（千米）.
下坡行走的时间是7-4=3（小时）.行走路程是6×3=18（千米）.
答：从甲地至乙地，上坡12千米，平路15千米，下坡18千米。
做两次鸡兔同笼的解法，也可以叫两重鸡兔同笼问题例16是非
常典型的例题。
例17 某种考试已举行了24次，共出了426题.每次出的题数，有25
题，或者16题， 或者20题。那么，其中考25题的有多少次
解：如果每次都考16题，16×24=384，比426少42道题.
每次考25道题，就要多25-16=9（道）.
每次考20道题，就要多20-16=4（道）.
就有
9×考25题的次数+4×考20题的次数=42.
请注意，4和42都是偶数，9×考25 题次数也必须是偶数，因此，
考25题的次数是偶数，由9×6=54比42大，考25题的次数，只能
是0,2,4这三个数。由于42不能被4整除，0和4都不合适.只能是考
25题有2次（考 20题有6次）.
答：其中考25题有2次。
例18 有50位同学前往参观，乘电车前 往每人1.2元，乘小巴前往每
人4元，乘地下铁路前往每人6元。这些同学共用了车费110元，问< br>其中乘小巴的同学有多少位
解：由于总钱数110元是整数，小巴和地铁票也都是整数，因此 乘电
车前往的人数一定是5的整数倍.
如果有30人乘电车，
110-1.2×30=74（元）.
还余下50-30=20（人）都乘小巴钱也不够。说明假设的乘电车人数少
了.
如果有40人乘电车
110-1.2×40=62（元）.
还余下50-40= 10（人）都乘地下铁路前往，钱还有多(62>6×10).说明
假设的乘电车人数又多了。30至4 0之间，只有35是5的整数倍.
现在又可以转化成鸡兔同笼了：
总头数50-35=15,
总脚数110-1.2×35=68.
因此，乘小巴前往的人数是
(6×15-68)÷(6-4)=11.
答：乘小巴前往的同学有11位。
在“三转化为二时，例13，例14，例16是一种类型 .利用题目中
数量比例关系，把两种东西合并组成一种。例17，例18是另一种类
型.充分利 用所求个数是整数，以及总量的限制，其中某一个数只能
是几个数值。对几个数值逐一考虑是否符合题目 的条件.确定了一个
个数，也就变成二的问题了。在小学算术的范围内，学习这两种类
型已足够 了.更复杂的问题，只能借助中学的三元一次方程组等代数
方法去求解。
习题三
1．有100枚硬币，把其中2分硬币全换成等值的5分硬币，硬币总
数变成79个，然后又把其中的 1分硬币换成等值的5分硬币，硬币
总数变成63个.求原有2分及5分硬币共值多少钱 ？
2．京剧公演共出售750张票得22200元。甲票每张60元，乙票每
张30元，丙票每张18元 .其中丙票张数是乙票张数的2倍。问其中
甲票有多少张？
3．小明参加数学竞赛，共做2 0题得67分.已知做一题得5分，不答
得2分，做错一题倒扣3分。又知道他做错的题和没答的题一样 多.
问小明共做对几题 ？
4．1分，2分和5分硬币共100枚，价值2元，如果其中2 分硬币的
价值比1分硬币的价值多13分。问三种硬币各多少枚？
注：此题没有学过分数运算的同学可以不做.
5．甲地与乙地相距24千米。某人从甲地到 乙地往返行走.上坡速度
每小时4千米，走平路速度每小时5千米，下坡速度每小时6千米。
去 时行走了4小时50分，回来时用了5小时.问从甲地到乙地，上坡，
平路，下坡各多少千米？

6．某学校有12间宿舍，住着80个学生。宿舍的大小有三种：大的
住8个学生， 不大不小的住7个学生，小的住5人.其中不大不小的
宿舍最多，问这样的宿舍有几间 ？

测验题

1．松鼠妈妈采松籽，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个。
它一连几天采了112个松籽，平均每天采14个. 问这几天当中有几
天有雨？

2．有一水池，只打开甲水龙头要24分钟注满水池，只打开乙水龙头
要36分钟才注满水池。 现在先打开甲水龙头几分钟，然后关掉甲，
打开乙水龙头把水池注满.已知乙水龙头比甲水龙头多开26 分钟。问
注满水池总共用了多少分钟 ？

3．某工程甲队独做50天可以完成， 乙队独做75天可以完成.现在两
队合做，但是中途乙队因另有任务调离了若干天。从开工后40天才< br>把这项工程做完.问乙队中途离开了多少天？

4．小华从家到学校，步行一段路后 就跑步。他步行速度是每分钟600，
跑步速度是每分钟140米.虽然步行时间比跑步时间多4分钟， 但步
行的距离却比跑步的距离少400米。问从家到学校多远？

5．有16位教 授，有人带1个研究生，有人带2个研究生，也有人带
3个研究生.他们共带了27位研究生。其中带1 个研究生的教授人数
与带2,3个研究生的教授人数一样多.问带2个研究生的教授有几
人 ？

6．某商场为招揽顾客举办购物抽奖。奖金有三种：一等奖1000元，
二等奖2 50元，三等奖50元.共有100人中奖，奖金总额为9500元。
问二等奖有多少名？

7．有一堆硬币，面值为1分，2分，5分三种，其中1分硬币个数是
2分硬币个数的11倍. 已知这堆硬币面值总和是1元，问5分的硬币
有多少个？

四、 答案

习题一

1．龟75只，鹤25只。

2．象棋9副，跳棋17副.

3．2分硬币92个，5分硬币23个。

应将总钱数2.99元分成2×4+5=13（份），其中
（份），5分钱数占5份。

4．2元与5元各20张，10元有10张.

2元与5元的张数之和是

(10×50-240)÷[10-(2+5)÷2]=40（张）.
2分钱数占2×4=8

5．甲先做了4天。

提示：把这件工程设为36份，甲每天做3份，乙每天做2份.

6．第一种路段有14段，第二种路段有11段。

第一种路段全长13千米，第 二种路段全长9千米，全赛程281千米，
共25段，是标准的鸡兔同笼

7．最多可买1角邮票6张。

假设都买4分邮票，共用4×15=60（分）， 就多余100-60=40（分）.
买一张1角邮票，可以认为4分换1角，要多6分。40÷6=6… …4，
最多买6张.最后多余4分，加在一张4分邮票上，恰好买一张8分
邮票。

习题二

1．语文书1.74元，数学书1.30元。

设想语文书每本便宜0.44元，因此数学书的单价是

(83.4-0.44×30)÷(30+24).

2．买甲茶3.5千克，乙茶8.5千克。

甲茶数=(96×12-354)÷(132+96)=3.5（千克）

3．一连运了27天。

晴天数=(11×3+27)÷(16-11)=12（天）

4．小华做对了16题.

76分比满分100分少24分。做错一题少6分，不做少5分.24分只
能是6×4.

5．甲中8发，乙中6发。

假设甲中10发，乙就中14-10= 4（发）.甲得4×10=40（分），乙得5
×4-3×6= 2（分）.比题目条件甲比乙多10分 相差(40-2)-10=28（分），
甲少中1发，少4+2=6（分），乙可增5+3=8（分）.

28÷(6+8)=2.

甲中10-2=8（发）.

习题三

1．295分

解：每2.5个2分可换1个5分 ，即每换1个5分，个数就减少1.5
个。已知减少了100-79=21个，所以换成的5分的个数= 21÷1.5=14
个。也就是说，是用5×14=70分钱换成了5分，所以2分币是70÷
2=35个。同理，每5个1分可换1个5分，即每换1个5分，个数
就减少4个。已知减少了79-6 3=16个，所以换成的5分的个数=16
÷4=4个。也就是说，用5×4=20分换成了5分，所以 1分币是20
÷1=20个。原有2分及5分硬币共价值：35×2+45×5=295分。

8鸡兔同笼公式

公式1：（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=
鸡的只数

总只数－鸡的只数=兔的只数

公式2：（ 总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）
=兔的只数

总只数－兔的只数=鸡的只数

公式3：总脚数÷2—总头数=兔的只数

总只数—兔的只数=鸡的只数

公式4：鸡的只数=(4×鸡兔总只数-鸡兔总脚数）÷2 兔的只数=鸡兔
总只数-鸡的只数

公式5：兔总只数=（鸡兔总脚数-2×鸡兔总只数）÷2 鸡的只数=鸡
兔总只数-兔总只数

公式6：（头数x4-实际脚数）÷2=鸡

公式7 ：4×+2（总数－x）=总脚数 （x=兔，总数－x=鸡数，用于
方程）

公式8：鸡的只数：兔子的只数=兔子 的脚数-（总脚数÷总只数）：（总
脚数÷总只数）-鸡的脚数