年化利率计算公式第二节 简单几何体的表面积和体积

第二节 简单几何体的表面积和体积

[选题明细表]
知识点、方法
几何体的侧面积与表面积
几何体的体积
与球有关的面积、体积问题
综合问题
一、选择题
1.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( B )
题号
10
1,2,3,5,6
7,8,12
4,9,11,13,14,15

(A) (B) (C)1 (D)
解析:由三视图知,几何体右边是三棱锥,其底面为腰长为1的等腰直
角三角形,高为1,其体积为V< br>1
=××1×1×1=;左边为直三棱柱,其
底面为腰长为1的等腰直角三角形,高为1 ,其体积为V
2
=×1×1×
1=.
所以该几何体的体积为V=V
1
+V
2
=+=.
故选B.
2.若某几何体的三视图如图所示,其中侧视图是一个边长为2的正三
角形,则这个几何体的体 积是( B )

(A)2 (B) (C)3 (D)3

解析:由题中三视图得直观图如图,
即四棱锥高为,底面为梯形,其面积为
所以四棱锥体积为××3=.
故选B.
3.(2018·浙江嘉兴模拟)某几何体的三视图如图(单位:m),则该几何
体的体积是( A )
=3,

(A) m
3
(B) m
3
(C)2 m
3
(D)4 m
3

解析:由三视图可得,该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,底面
的底边长为2 m,底面的高,即为三视图的宽1 m,故底面面积S=×
2×1=1(m
2
),棱锥的高即为三视图的高,故h=2 m,故棱锥的体积V=Sh=
×1×2=(m
3
),故选A.
4.(20 18·全国Ⅰ卷)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.
圆柱表面上的点M在正视图上的对 应点为A,圆柱表面上的点N在左
视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路
径的长度为( B )

(A)2 (B)2 (C)3 (D)2
解析:先画出圆柱的直观图,根据题图的三视图可知点M,N的位置如
图①所示.

圆柱的侧面展开图及M,N的位置(N为OP的四等分点)如图②所示,连
接MN,则图中MN 即为M到N的最短路径.ON=×16=4,OM=2,
所以|MN|===2.故选B.
5.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北张家山出土,这是我国现
存最早的有系统的数学典籍,其中 记录求“囷盖”的术:置如其周,令
相乘也,又以高乘之,三十六成一,该术相当于给出了圆锥底面周长 L
与高h,计算其体积V的近似公式V≈L
2
h,它实际上是将圆锥体积公
式 中的圆周率π近似取为3,那么,近似公式V≈L
2
h相当于将圆锥体
积公式中的π近 似取值为( B )
(A) (B) (C) (D)
解析:圆锥的体积公式V=πR
2
h,
又L=2πR,故R=,
所以V=π()
2
h=L
2
h,
由题设≈,
所以π≈,故选B.
6.(2019·绍兴模拟)一个几何体的三视图及尺寸如图所示,其中 正视
图是直角三角形,侧视图是半圆,俯视图是等腰三角形,则该几何体的
体积为( A )

(A) (B) (C)4π (D)8π
解析:根据几何体的 三视图,得该几何体是平放的半圆锥体,且半圆锥
体的底面半径为2,高为4,所以该半圆锥体的体积为 V=××π×
2
2
×4=π.所以A选项是正确的.
7.已知正三角形A BC三个顶点都在半径为2的球面上,球心O到平面
ABC的距离为1,点E是线段AB的中点,过点E 作球O的截面,则截面
面积的最小值是( C )

(A)π (B)2π
(C)π (D)3π
解析:所作的截面与OE垂直时,截面圆的面积最小.
设正三角形ABC的高为3a,
则4a
2
+1=4,解得a=,
此时OE
2
=1
2
+=,截面圆半径r
2
=2
2< br>-=,
故截面面积的最小值为.故选C.
8.(2019·暨阳联考)在阿基米德的 墓碑上刻着一幅“圆柱容球”的几
何图形,它的三视图如图所示,记球的体积为V
1
, 圆柱的体积为V
2
,球
的表面积为S
1
,圆柱的全面积为S
2
,则下列结论正确的是( B )

(A)V
1
=V
2
,S
1
=S
2
(B)V=V
2
,S
1
=S
2

(C)V
1
=V
2
,S
1
=S
2
(D)V
1
=V
2
,S
1
=S
2

解析:根据三视图,画出几何体的直观图如图所示,设球的半径为R,则
圆柱体的底面半径为R,高为 2R,所以球的体积为V
1
=R
3
,圆柱的体积
为V
2=πR
2
·2R=2πR
3
,

球的表面积为S
1
=4πR
2
,
圆柱的全面积为S
2
=2πR·2R+2πR
2
=6πR
2
,
所以V
1
=V
2
,S
1
=S
2
.
故选B.
二、填空题
9.有一根长为3π cm,底面直径为2 cm的圆柱形铁 管,用一段铁丝在
铁管上缠绕2圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,
则铁丝的 最短长度为 cm.

解析:把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开,在平面 上得到矩形ABCD(如
图),由题意知BC=3π cm,AB=4π cm,点A与点C分别是铁丝的起、
止位置,故线段AC的长度即为铁丝的最短长度.
AC==5π(cm),
故铁丝的最短长度为5π cm.
答案:5π
10.(2019·金华十校模拟)某几何体的三视图如图所示,正视图为腰
长为1的等腰直角三角形, 侧视图、俯视图均为边长为1的正方形,
则该几何体的表面积是 ,体积是 .

解析:由三视图在棱长为1的正方体内画出该几何体为多面体ABCHE,
其 可以看作是由棱长为1的正方体截去一个直三棱柱BEF-CHG和三棱
锥H-ACD后剩余的部分,则 其体积为1-×1×1×1-××1×1×1=,
表面积为3××1×1+1×+×()
2=++.

答案:++
11.(2019·湖州三校模拟)某几何体的三视 图如图所示(单位:cm),则
该几何体的体积为 cm
3
,表面积为 cm
2
.

解析:根据题意,图中几何体是从棱长为2 cm的正方体中去掉一个高
为2 cm、底面是正方形且边长为2 cm的正四棱锥后的几何体,该几< br>何体体积为2×2×2-×2×(2×2)=(cm
3
)
因去掉的正四棱锥的侧面底边上的高为=(cm),
则该几何体表面积为5×(2×2)+4×(×2×)=(20+4)(cm
2
).
答案: (20+4)
12.如图,在四面体ABCD中,AB⊥平面BCD,底面BCD是 边长为6的等
边三角形.若AB=4,则四面体ABCD的外接球的表面积为 .

解析:将此三棱锥补成正三棱柱,则其外接球的球心O和正三棱柱的
中心重合,△BCD的外接 圆的半径为 2,O到平面BCD的距离为2,从
而球的半径R=
答案:64π
13 .如图,在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和
线段AC上的 点D,满足PD=DA,PB=BA,则四面体PBCD体积的最大值
是 .
=4,球的表面积S=4πR
2
=64π.

解析:设PD=DA=x,
在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,
所以AC=
=
=2,
所以CD=2-x,且∠ACB=(180°-120°)=30°,
所以S
△BCD
=BC·DC·sin∠ACB
=×2×(2-x)×
=(2-x).


要使四面体体积最大,当且仅当点P到平面BCD的距 离最大,而P到平
面BCD的最大距离为x.
则V
四面体PBCD
=×(2-x)x=[-(x-)
2
+3],
由于0故当x=时,V
四面体PBCD
取最大值为×3=.
答案:
三、解答题
14.如图,已知某几何体的三视图如图(单位:cm):
(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法);
(2)求这个几何体的表面积及体积.

解:(1)这个几何体的直观图如图所示.

(2)这个几何体可看成是 正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
及直 三棱柱B
1
C
1
Q-A
1
D
1
P
的组合体.
由PA
1
=PD
1
= cm,A
1
D
1
=AD=2 cm,
可得PA
1
⊥PD
1
.
故所求几何体的表面积
S=5×2
2
+2×2×+2××()
2
=(22+4)(cm
2< br>),
体积V=2
3
+×()
2
×2=10(cm
3
).
15.如图1,在直角梯形ABCD中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2,
将△ADC沿AC折起,使平面ADC⊥平面ABC,得到几何体DABC,如图2
所示.

(1)求证:BC⊥平面ACD;
(2)求几何体D-ABC的体积.
(1)证明:在题图1中,
可得AC=BC=2,
从而AC
2
+BC
2
=AB
2
,
故AC⊥BC.
又平面ADC⊥平面ABC,平面ADC∩平面ABC=AC,
所以BC⊥平面ACD.
(2)解:由(1)可知,BC为三棱锥B- ACD的高,BC=2,S
△ACD
=2,
所以==S
△ACD
·BC
=×2×2=.