o的公式小升初 的表面积与体积的计算

简单几何体的表面积与体积的计算

一、四种常见几何体的平面展开图
1.正方体
沿正方体的某些棱将正方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图，这一展开
图是由六个全等的正方形组成的，见图6―1。

图6─l只是正方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略）。
2.长方体
沿长方体的某些棱将长方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图。这一展开
图是六个两两彼此全等的长 方形组成的，见图6―2。图6―2只是长方体平面展开
图的一种画法，还有别的画法（从略）。

3.（直）圆柱体沿圆柱的一条母线和侧面与上、下底面的交线将圆柱剪开铺平，
就得到圆柱体的平面展开图。它由一个长方形和两个全等的圆组成，这个长方形的
长是圆柱底面圆的周 长，宽是圆柱体的高。这个长方形又叫圆柱的侧面展开图。图
6―3就是圆柱的平面展开图。

4.（直）圆锥体
沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平， 就得到圆锥
的平面展开图。它是由一个半径为圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长
的 扇形和一个圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。具体图形见图6―4。

二、四种常见几何体表面积与体积公式
1.长方体
长方体的表面积=2×（a×b+b×c+c×a）
长方体的体积=a×b×c（这里a、b、c分别表示长方体的长、宽、高）。
2.正方体
正方体的表面积=6×a
2
正方体的体积=a（这里a为正方体的棱长）。
3
3.圆柱体
圆柱体的侧面积=2πRh
圆柱体的全面积=2πRh+2πR=2πR（h+R）
2
圆柱体的体积=πRh（这里R表示圆柱体底面圆的半径，h表示圆柱的高）。
2
4.圆锥体
圆锥体的侧面积=πRl
圆锥体的全面积=πRl+πR
2


母线长与高）。
三、例题选讲
例1 图6 ―5中的几何体是一个正方体，图6―6是这个正方体的一个平面展开图，
图6―7（a）、（b）、（ c）也是这个正方体的平面展开图，但每一展开图上都有
四个面上的图案没画出来，请你给补上。
分析与解：从图6―5和图6―6中可知：
相处于相对面的位置上。只要在图6―7
与；与；与互

（a）、（b）、（c）三个展开图中，判定谁与谁处在互为对面的位置 上，则标
有数字的四个空白面上的图案便可以补上。
先看图6―7中的（a），仔细观察可知，1与4，3与
上。
处在互为对面的位置
再看图6―7中的（b），同上，1与3，2与处在互为对面的位置上。
最后再看图6―7中的（c），同上，1与，2与4处在互为对面的位置上。
图6―7（a）、（b）、（c）标有数字的空白面上的图案见图6―8中的（a）、
（b）、（c）。

例2 图6―9中的几何体是一个长方体，四边形APQC是长方体的一个截面（即过长方体上四点A、P、Q、C的平面与长方体相交所得到的图形），P、Q分别为棱A
1
B< br>1
、
B
1
C
1
的中点，请在此长方体的平面展图上， 标出线段AC、CQ、QP、PA来。

分析与解：只要能正确画出图6―9中长方体的平面 展开图，问题便能迎刃而解。图
6―10中的粗实线，就是题目中所要标出的线段AC、CQ、QP、P A。

例3 在图6―11中，M、N是圆柱体的同一条母线上且位于上、下底面上的两点， 若
从M点绕圆柱体的侧面到达N，沿怎么样的路线路程最短？

分析与解：沿圆柱体 的母线MN将圆柱的侧面剪开铺平，得出圆柱的侧面展开图，见
图6―12，从M点绕圆柱体的侧面到达 N点。实际上是从侧面展开图的长方形的一
个顶点M到达不相邻的另一个顶点N。而两点间以线段的长度 最短。所以最短路线
就是侧面展开图中长方形的一条对角线，见图6―12和图6―13。

例4 图6―14中的几何体是一棱长为4厘米的正方体，若在它的各个面的中心位置
上，各打 一个直径为2厘米，深为1厘米的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积
是多少（π=3.14）？

分析与解：因为正方体的棱长为2厘米，而孔深只有1厘米，所以正方体没有被打
透 。这一来打孔后所得几何体的表面积，等于原来正方体的表面积，再加上六个完
全一样的圆柱的侧面积、 这六个圆柱的高为1厘米，底面圆的半径为1厘米。
正方体的表面积为4
2
×6=96（平方厘米）
一个圆柱的侧面积为2π×1×1=6.28（平方厘米）
几何体的表面积为96+6.28×6=133.68（平方厘米）
答：（略）
例5 图6―15是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表
面积是多少？
分析与解：从图6―15中可以看出，18个小正方体一共摆了三层，第一层2个，第
二层7个，因为1 8-7-2=9，所以第三层摆了9个。另外，上、下两个面的表面积是
相同的，同样，前、后；左、右 两个面的表面积也是分别相同的。因为小正方体的
棱长是1厘米，所以

上面的表面积为1
2
×9=9（平方厘米）
前面的表面积为1
2
×8=8（平方厘米）
左面的表面积为1
2
×7=7（平方厘米）
几何体的表面积为9×2+8×2+7×2=
答：（略）
例6 图6―16中所示图形 ，是一个底面直径为20厘米的装有一部分水的圆柱形玻
璃杯，水中放着一个底面直径为6厘米，高20 厘米的一个圆锥体铅锤，当铅锤从水
中取出后，杯里的水将下降几厘米？（π=3.14）

分析与解：因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际是一个小
圆柱，这个圆 柱的底面与玻璃杯的底面一样，是一直径为20厘米的圆，它的体积正
好等于圆锥体铅锤的体积，这个小 圆柱的高就是水面下降的高度。
因为圆锥形铅锤的体积为

2
设水面下降的高度为x，则小圆柱的体积为x（20÷2）×x=100πx（立方厘米）
所以有下列方程：
60π=100πx，解此方程得：
x=0.6（厘米）
答：铅锤取出后，杯中水面下降了0.6厘米。
例7横截面直径为2分米的一根圆钢，截 成两段后，两段表面积的和为75.36平方
分米，求原来那根圆钢的体积是多少（π=3.14）？
分析与解：根据圆柱体的体积公式，体积=底面积×高。假设圆钢长为x，因为将圆
钢截成两段 后，两段表面积的和，等于圆钢的侧面积加上四个底面圆的面积，所以
有下面式子：
2π×（2÷2）×x+4π×（2÷2）
2
=2πx+4π
根据题目中给出的已知条件，可得下面方程：
2πx+4π=75.36
解方程：

2

圆钢的体积为π×（2÷2）×10≈31.4（立方分米）
答：（略）。
例8 一个 圆锥的侧面展开图是一个半径为10厘米、圆心角为216°的扇形，求此圆
锥的体积是多少（π=3. 14）？
分析与解：要想求出圆锥的体积，就要先求出它的底面圆的半径与高。按题意画图
6 ―17。在图6―17中，字母R、h分别表示底面圆的半径和圆锥体的高，根据弧长
公式：弧长=2л R×n÷360（这里R是圆的半径，n为弧所对圆心角的度数），便可
求出弧长来。这个弧长就是底面 圆的周长，再利用周长公式，就可求出底面圆的半
径R。另外从图6―17中可以看出：圆锥的高、母线 、底面圆的半径正好构成一个
直角三角形，利用勾股定理便可求出圆锥的高h。


所以 2πR=12π，得R=6（厘米）
在直角三角形中，根据勾股定理有：
10=h+R，即h=10-R
222222

=100-36=64，h=8（厘米）


答：（略）
例9 图 6―18中的图形是一个正方体，H、G、F分别是棱AB、AD、AA
1
的中点。现
在沿三角形GFH所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉的这块的体积是原正方体体
积的几分之几？

分析与解：因为锯掉的是立方体的一个角，所以HA与AG、AF都垂直。即HA垂直于三角形AGF所在的立方体的上底面，实际上锯掉的这个角，是以三角形AGF为底面，
H为顶点的 一个三棱锥，如果我们假设正方体的棱长为a，则正方体的体积为a。
3
三棱锥的底面是直角三角形AGF，而角FAG为90°，G、F又分别为AD、

而三棱锥的体积等于底面积与高的乘积再除以3，所以锯掉的那一角的体积为



答：（略）

例10 图6―19是一个里面装有水的三棱柱封闭 容器，图6―20是这个三棱柱的平
面展开图。当以A面作为底面放在桌面上时，水高2厘米，如果以B 面与C面分别
作为底面放在桌面上时，水面高各为多少厘米？
分析与解：我们先求以A面作为 底面放在桌面上时容器内的水的体积。此时水的体
积，与以梯形FJQP为底面、JI为高的棱柱的体积 相等。棱柱的体积等于底面积乘
以高，从图6―20可以看出，此棱柱的高JI为12厘米，梯形FJQ P的下底FJ为3
厘米，高QJ为2厘米。因为PTJQ是个长方形，所以QJ=PT=2厘米，而Q点 是GJ
的中点，PQ平行于FJ，这样可以推算出QP为FJ的一半，为1.5厘米，这一来梯形
FJQP的面积为



以C面为底面时，水的体积与以C（即三解形EHI）为底面，高为某数值

此时水面的高度为：
54÷6=9（厘米）
以B面作为底面时，原来以A 面为底面时不装水的那一部分，现在应装水，原
来装水的某一部分现在应空出来，下面来讨论这两份之间 的数量关系。
为方便起见，我们把C面适当放大成图6―21，在图6―21中，因为PQ平行于
FJ，PT垂直于FJ，所以JQPT是一长方图6ZI形，故JQ、PT、QG的长都是2厘米，TJ、PQ的长为1.5厘米，因为FJ长为3厘米，所以FT的长也为1.5厘米，这一来
三角形 FPT与PQG的形状一样，面积相等。这便说明原来以三角形PFT为底面，JI
为高的装水的棱柱的 体积，与现在以三角形PQG为底面，JI为高装水的棱柱的体积
是相等的。所以以B面为底面时，水面 的高度等于PQ的长度，即水面高为1.5厘米。
答：（略）