三角形角度计算公式空间几何体的结构、三视图和直观图及表面积和体积(带答案)

空间几何体的结构、三视图和直观图及表面积体积

一.《考纲》要求

1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述
现实生活中简单物 体的结构;

2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三
视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图.

3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的
不同表示形式.

4.会画出某些建筑物的三视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、
线条 等不作严格要求).

5.了解球、柱体、锥体、台体的表面积计算公式，会通过观察空间几 何体的
三视图求空间几何体的表面积与体积.

二.知识解析

(一)空间几何的结构特征

1.空间几何体

如果我们只考虑 这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物
体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.

2.多面体

(1)概念：我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.

棱柱：侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形，并且互相平行.

棱锥：底面是任意多边形，侧面是有公共点的三角形.

棱台：由平行于底面的平面截棱锥得到的底面与截面之间的部分，上下底面
是相似多边形.

(2)分类:

按侧棱与底面的关系可分为斜棱柱、直棱柱;

按底面多边形边数可分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等;

底面是正多边形的直棱柱又称为正棱柱.

基础练习:

(1)下列有关棱柱的命题中正确的是(C )

(A)有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱

(B)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱

(C)一个棱柱至少有五个面、六个顶点、九条棱

(D)棱柱的侧棱长有的相等，有的不相等

(2)下列结论正确的是( D )

(A)各个面都是三角形的几何体是三棱锥

(B)以三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几
何体叫圆锥

(C)棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥

(D)圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线

(3)下列命题中，正确的是( D )

(A)有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱

(B)侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥

(C)侧面都是矩形的四棱柱是长方体

(D)底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱

3.旋转体

概念：一般地，我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线 旋转所
形成的封闭几何体叫做旋转体.

圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋
转体.

圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的
面所围成的旋转体.

圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分.

球：以一个半圆直径所在的直线为旋转轴，旋转一周所形成的曲面叫做球
面，球面所围成的几何体叫做球 体.

大圆、小圆：球面被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆，被经过球心
的平面截得的圆叫做球的大圆.

基础练习:

(1)以下命题:① 以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥;②以
直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体 是圆台;③圆柱、圆锥、圆台的底面都
是圆;④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.其中正确的 命题的个数为(B)

(A)0(B)1(C)2(D)3

4.简单组合体

简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单集合题拼接而 成；一种是
由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转
体 与旋转体的组合体.

(二)空间几何体的三视图和直观图

1.平行投影与中心投影

平行投影的投影线是平行的，而中心投影的投影线交于一点.


































2.空间几何体的三视图

(1)三视图的名称

几何体的三视图有：正视图、侧视图、俯视图.

(2)三视图的画法



(Ⅰ)在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线.



(Ⅱ)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正 左方、
正上方观察结合体画出的轮廓线.

一般地，一个几何体侧视图和正视图高 度一样，俯视图与正视图长度一样，
侧视图与俯视图宽度一样.侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图 的下边.

基础练习:

(1)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是
( D



)




(2)如图是长和宽分别相等的两个矩形.给定下列三个命题:

①存在三棱柱，其正视图、俯视图如图:



②存在四棱柱，其正视图、俯视图如图;

③存在圆柱，其正视图、俯视图如图.


其中真命题的个数是( A



)

(A)3 (B)2 (C)1 (D)0

(3)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可
以为(D )

(4)已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视
图的是(D )

正视图俯视图

(A)(B)(C)(D)

正视图正视图侧视图正视图侧视图正视图侧视图正视图侧视图

(C)(D)


(B)

(A)

(A ) (B ) (C ) (D )

3.空间几何体的直观图

利用斜二测画法画直观图的步骤:

(1)在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴相较于点O .画直观图
时，把它们画成对应的x '轴与y '轴，两轴交于点O '，且使45x O y
'''∠=?(或135?)，它们确定的平面表示水平面;

(2)已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x '
轴或y '轴的线段; (3)已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不
变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半. 基础练习:

(1)关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是( D ) (A )直角三角形的直观
图仍是直角三角形 (B )梯形的直观图是平行四边形

(C )正方形的直观图是菱形

(D )平行四边形的直观图仍是平行四边形

(2)一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45?、腰和上底长
均 为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( D )

(A

)12+(B

)1+

(C

)1 (D







)2(3)等腰梯形ABCD ，上底1CD =



，腰AD CB =3AB =，以下底所在直线为x 轴，则由斜二侧画法画出的直观图
A B C D ''''的面积为


. (三)空间几何体的表面积与体积 1.几何体的表面积

(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和.









(2)圆柱、 圆锥、圆台的侧面积展开图分别是矩形、扇形、扇环形.它们的表
面积等于侧面积与底面面积之和. 基础练习

(1)侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a 时，该三棱锥的全面积
是( A )

(A

2

(B )234

a

(C

2

(D

2




(2)已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S ，则圆锥的底面面积是
( B )





(A )S (B )

2

S (C )

4

S (D


2.柱、锥、台和球的侧面积和体积



基础练习

(1)长方体三个面的面积分别为2,6和9，则长方体的体积是( A )

(A )

(B )

(C )11

(D )12









(2)如图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左 视图)和俯视
图都是矩形，则该几何体的体积为( B )








(A ) (B ) (C )


(D )三.例题分析

考点一：空间几何体的结构特征

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例1 如图，在透明塑料制成的长方体1111ABCD A B C D -容器内灌进一些
水，将容器底面一边BC 固定于地面上，在将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下
列四个说法： ①水的部分始终呈棱柱状；

②水面四边形EFGH 的面积不改变； ③棱11A D 始终与水面EFGH 平行；
④当1E AA ∈时，AE BF +是定值． 其中正确说法是（ D ） （A ）①②③

（B ）①③

（C ）①②③④

（D ）①③④

考点二：空间几何体的三视图与直观图

例2 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是上底面1111A B C D
内一动点，则三

棱锥P ABC -的正视图与侧视图的面积的比值为 ．1

例3 一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是(101),,，
(11 0),,，(011),,，(000)

,，画该四面体三视图中的正视图时，以平面zOx 为投影面，则得到正视图
可以为 A

（A ） （B ） （C ） （D ） 例4 用斜二测画法画一个水平放置的平面图
形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图象是

（ A ）

例5 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（ D ）
1
'





























（A ） A

B

D



C D 1



C 1

B 1

A



1



P

考点四：求空间几何体的表面积和体积 例6 一个空间几何体的三视图，如
图所示，则这个空间几何体的表面积是 ．4(1)π+












例7 一个空间几何体的三视图及其相关数据如图所示，则这个空间几何体的
表面积是（ D ） （A ）

112

π

（B ）

1162

π


+ （C ）11π （D

）

112

π



+

例8 如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分以直径AB 所在直线为轴，旋
转一周得到一几何体，

求该几何体的表面积（其中30BAC ∠=）．




2R

例9 四边形ABCD 中，(00)A ，

，(10)B ，，(21)C ，，(03)D ，，绕y 轴旋转一周，则所得旋转体的体积
为 ．8

3π






例10 如图，已知某几何体的三视图如下（单位：㎝）． （Ⅰ）画出这个几
何体的直观图（不要求写画法）；

（Ⅱ）求这个几何体的表面积及体积．




【解析】（Ⅰ）

（Ⅱ

）222S =+，310cm V =．



考点三：几何体的展开与折叠 例11 右图是一个正方体的展开图，将其折叠
起来，变成正方体后的图形可能是（ B ）


（A ） （B ）
（C ） （D ）
P A
1
A 1
C 1
D
A 1




















1

Q P

A

1

例6图

俯视图

侧视图

例7图

例12 将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD a =，则三棱锥D
ABC -的体积为（ D ）

（A ）36a

（B ）3

12

a

（C

3 （D





3

例13 如图，在直棱柱ABC A B C '''-中，底面是边长为3的等边三角形，
4AA '=，M 为AA '的中点，

P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC '到M

CC '的交



点为N ，求： （Ⅰ）该三棱柱的侧面展开图的对角线长； （Ⅱ）PC 与NC
的长；

（Ⅲ）三棱锥C MNP -的体积．

答案：

（Ⅱ）4

25

PC NC ==，；




考点四：与球体结合的问题 例14 一个正方体的体积是8，则这个正方体的
内切球的表面积是（ C ） （A ）8π

（B ）6π


（C ）4π

（D ）π

例15 已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，

ABC △是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体
积为（ A ） （A

（B

（C

（D






例16 矩形ABCD 中，43AB BC ==，，沿AC 将矩形ABCD 折起，使面BAC ⊥
面DAC ，则四面体

A BCD -的外接球的体积为（ C ）

（A ）

125

12




π （B ）
125
9
π （C ）
125
6
π （D ）
125
3
π
例17 已知半径为2的球面上有A B C D 、、
、四点，若AB CD =2=，则四面体ABCD 的体积的最大值为（ B ）
（B
（C
） （D


A











（









例18 如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球
的表面积




与该圆柱的侧面积之差是 ．22R π

B

C

A

C'

B'

A'

P

M

N