分子公式面积公式论文：三角形面积公式的坐标表示及简单应用

面积公式论文：三角形面积公式的坐标表示及简单应用
坐标是数学中用于衡量图形 具体位置的一个有序实数
对，是将几何图形转化为代数形式的有力工具，它在几何学
乃至人们的 日常生活中起到了极其重要的作用.坐标的出
现，为我们定量地研究几何图形的特征、性质提供了方便.
三角形作为平面几何中最基本、最重要的图形，其基本元素
就是三角形的三条边和三个顶点，那 么如何利用三角形的边
和顶点坐标来表示三角形的面积公式呢？笔者结合自身的
教学实践例谈如 下.
命题：在△abc中，已知
ac=(x
s
12
x
=
12｜x1y2-x2y1｜
1x2 y1y2
2,y
abc
a b=(x1,y1)，
2)，则三角形的面积公式的坐标表示为：
=
，其中行列式
x1x2 y1y
ab
2=x
=(x
1y
1,y
2 -x
2)，
2y
ac
1.
=(x证明： 因为
2,y2)，
所以sabc=12｜

ab｜｜ac｜sin〈

ab,ac〉
ab
ab
｜｜< br>｜｜
ac
ac
｜1-cos2〈
｜1-(ab
ab,
ac
ac
｜
〉
ab
=12｜
=12｜
｜｜ac｜)2
ab｜｜ac｜)2-(abac)2＝ =12(｜
12
（x2
1y2)2
=12(x2
1y
1y
1+y21x2 2+y22）2-(x1x2+y
1+y21)(x2
1y2
2+y2
2y2
2)-(x
1-2x
1x
1x
2+y
2y2)2=12x2
2
1y
2+x2
=12(x
2y1｜
＝12x
2-x2y1)2=12｜x1y2-x
1x2 y1y2.
根据 上面的证明，我们可以知道三角形面积公式除了以
前学过的sabc=12×底×高，sabc
=12absinc=12acsinb=12bcsina
之外，还可以用三角形三边的向量坐标表 示或三角形的
三个顶点坐标表示，即：从三角形某个顶点出发的相邻两边
的向量的交叉坐标乘积 之差的绝对值的一半就是该三角形
的面积.这一公式我们不妨把它称之为三角形面积公式的坐


标表示.
说明：如果知道了三角形的三个顶点，那么从三角形某
个顶点出 发的相邻两边的向量也容易表示，为此，还可以直
接利用三角形的三个顶点坐标直接表示三角形的面积， 即：
已知三角形三个顶点坐标分别为 a（x
2,y
1,y

所以s
2-y
3-x
1y3-y
1)(y
abc=12x2-x
2 -x
1x
1)(y
3-x
3-y
1 y
1)-(x
2)、
2-y
c(x
ac
3,y
=
3)，则
(x3 -x
1,y
ab
1,y
1）、
=(x
3-y
b(x
2-x
1)，1)，
1=12｜(x
2-y
1y
1)｜ < br>2+x
1y
2y=12｜(x
1+x3y
3+x3y1)-(x2y< br>2+x３)｜.
【例1】 已知△abc的三个顶点坐标分别为a(1,1)，
b(4 ,2)，c(3,5)，求s
解析：因为
abc=
ab
abc
=(3 ,1)，
4-12｜=5.
的面积．
ac=(2,4)，所以s
12｜3
点评：若采用常规解法，则需利用两点间的距离公式分
别求出三角形的边长，再利用余弦定理求 出三角形的一个夹
角，最后代入s
12bcsina

abc＝12absinc=12acsinb=

公式即可求解，步骤较为繁琐.现 采用三角形面积公式
的坐标表示，口算即可得出结论，并且直观、简洁、方便、
灵活.
【例2】 已知△abc中，向量
=(cos23°,cos67°)，
△abc的面积．
解析 ：因为ba=(cos23°,sin23°)，bc
bc
ba
=(2cos68°, 2cos22°)，求
=(2cos68°,2cos22°)，所以
sabc＝12｜cos23°2cos22°-sin23°2cos68°｜=12｜
cos23°2cos22 °-sin23°2sin22°｜
=12｜2cos(23°+22°)｜=22.
【例 3】平面直角坐标系内有点p(sinx,cosx)，
q(cosx,sinx)
面积的最值 ．
解析：因为点p(sinx,cosx)，q(cosx,sinx)，
所以
所 以s
op=(sinx,cosx)，
opq
oq=(cosx,sinx)，
，x∈［-π24,π12］，o为坐标原点，求△opq
＝12sinxcosx cosxsinx=12|
sinxsinx-cosxcosx|=12|cos2x|.
因为x∈［-π24,π12］
，所以当x=π12时，△opq面积的最小值为34；当x=0


时，△opq面积的最大值为12．
点评：利用三角形面积公式的坐标表示来求解三角形面< br>积时，避免了对夹角和边长的繁琐运算，大大地提高了解题
效率，让学生体会到数学的简洁美和对 称美.
【例4】 （由2007年全国卷（ⅱ）理11改编）已知抛
物线y2=4x的焦点为 f，准线为l，经过点f且斜率为3的
直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点a，ak⊥l，垂足为< br>k，求△akf的面积.
解析：由题意知抛物线y2=4x的焦点坐标为f(1，0)，
准线为l：x=-1，经过f且斜率为3的直线方程为：y=3(x-1)，
直线与抛物线在x轴上方 的部分相交于点a的坐标为a(3，
23).又因为ak⊥l，所以垂足的坐标为k(－1，23)，所 以
fa=(2,23) ，fk=(-2,23)
,所以△akf的面积为：
sakf=12223-2 23=12|2×23-(-2)23=43.
点评：本题除了 可以利用上述办法解决之外，还可以直
接联立抛物线方程：y2=4x和直线方程：y=3(x-1)， 解出在
x轴上方部分相交于点a的坐标(3，23)，然后易知，
点a到准线的距离4为三角形 的底边长，点a的纵坐标23
为高，此时带入三角形的面积公式s =12×底×高
=12×4×23=43


.
【例5】 （由 2006年浙江卷理4改编）在平面直角坐
标系中，求不等式组x+y-2≥0,x-y+2≥0,x≤ 2表示的平面
区域的面积.
解析：根据题意，画出不等式组表示的平面区域是一个
三 角形，由此求不等式组表示的平面区域的面积就转化为求
由三条直线相交交点所组成的三角形的面积，所 以只要联立
方程组分别求出两两直线相交的交点坐标分别为
a(2,0),b(0,2),c( 2,4)，即
所以三角形的面积为s
4-02|=4.
点评：本题不等式组所表示的 平面区域刚好是一个三角
形区域，为此，要求此区域的面积就可以转换为求已知三角
形三个顶点 所在直线围成的三角形面积，这样正好可以把三
角形的三个顶点分别联立方程解出来，然后利用三角形面 积
公式的坐标表示，即可把不等式组表示的平面区域的面积求
出来，简化了运算，提高了解题效 率，同时，也提高了学生
分析问题、解决问题的能力.
纵观上述五道例题，我们不难发现，三 角形面积公式的
坐标表示作为三角形面积公式的有力补充，给人以耳目一新
的感觉，不但体现了 用坐标方法解决三角形面积问题的优越

ab
abc
=(-2,2)，ac=(0,4)，
=12-2 204=12|-2×

性和简洁性，还为学生解决已知三角形三个顶点坐标或相邻
两 边的向量坐标求面积问题提供了便利，同时还为解决三角
形面积问题提供了全新的思维模式，也为三角形 面积公式增
添了活力.