电流密度计算公式透过一道高考题探究圆锥曲线中三角形面积问题

龙源期刊网 http:
透过一道高考题探究圆锥曲线中三角形面积
问题

作者：代修勇

来源：《中学生数理化·学研版》2015年第07期

2014年高考早已落下帷幕，但它留下的经典试题仍值得我们反复咀嚼。笔者在梳理 2014
年高考中与圆锥曲线相关的试题，发现存在着大量圆锥曲线与三角形面积相结合的考题。尤其< br>是对2014年新课标全国卷Ⅰ中的第20题印象深刻，整理在此，以飨读者。
一、试题呈现
已知点A（0，-2），椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b> 0）的离心率为32，F是椭圆E的右焦
点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点。（Ⅰ）求E的方 程。（Ⅱ）设过点A的动直线l
与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程。
二、解法探究
（Ⅰ）x24+y2=1（详细过程略）。
下面我们来探究第二问的解法。
（Ⅱ）当l⊥x轴时不合 题意，故设直线l：y=kx-2，p（x1，y1），Q（x2，y2）。将
y=kx-2代入x24 +y2=1得（1+4k2）x2-16kx+12=0。当△=16（4k2-3）>0，即k2>34时，< br>x1+x2=16k1+4k2，x1x2=121+4k2。
（一）常规方法（套用三角形面积公式）
三角形面积公式：S△=12ah。这一公式是解决三角形面积最一般、最常规的方法。
解法1：|PQ|=1+k2（x1+x2）2-4x1x2=4k2+14k2-34k2+1。又点O到直线 PQ的距离
d=2k2+1，所以△OPQ的面积S△OPQ=12d|PQ|=44k2-34k2+ 1。设4k2-3=t，则t>0，
S△OPQ=4tt2+4=4t+4t。因为t+4t≥4，当且 仅当t=2，即k=±72时等号成立，且满足Δ>0，所
以，当△OPQ的面积最大时，l的方程为y =72x-2或y=-72x-2。
（二）三角形面积加减法
所谓的三角形面积加减法，是指将一个三角形的面积转化为几个相对容易求解面积的图形
的加或减，从而 达到较易解决三角形面积问题的方法。结合本题，直接利用公式计算△OPQ