投入产出比计算公式一元二次方程求根公式讲解学习

一元二次方程求根公
式
一元二次方程求解
一、一周知识概述
1、一元二次方程的求根公式
将一元二次方程ax
2
＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b
2
－4ac ≥0时的根为
．
该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根
公式法，简称公式法．
说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次
方程a x
2
＋bx＋c=0(a≠0)；
(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的；
(3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一
般形式.
2、一元二次方程的根的判别式
（1）当b
2
－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当b
2
－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
（3）当b
2
－4ac＜0时，方程没有实数根．
二、重难点知识
1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的
关键是在对四种 方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。
(1) “开平方法”一般解形如“
法”就显得多余的了。
”类型的题目，如果用“公式
(2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。
(3) “配方法”是一种非 常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往
能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“ 公式法”之前。如方程
；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若
配方，则方程化为
运用。
(4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次 项系数及常数项，若方
，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑
程有实根，就一定可 以用求根公式求出根，但因为要代入
求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。
2、在运用b
2
－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点：
(≥0)
（1）b
2
－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程 为一元二次方程时，才
能确定a、b、c，求出b
2
－4ac；
（2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c；
（3）根的判别式是指b
2
－4ac，而不是
三、典型例题讲解
例1、解下列方程：

(1)；
(2)；
(3).
分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，
解：(1)因为a=1，，c=10

所以
所以
(2)原方程可化为
因为a=1，，c=2

所以
所以.
(3)原方程可化为
因为a=1，，c=－1
所以
所以；
所以
总结：
．
(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式； 如果二次项系数为负
数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根
要化为最简形式；
(2)用求根公式法解方程按步骤进行．
例2、用适当方法解下列方程：
① ②
③ ④
⑤ ⑥
⑦
分析：

要合理地选 用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理
好特殊方法和一般方法的关系。就直 接开平方法、配方法、公式法、因式分解法这四
种方法而言，配方法、公式法是一般方法，而开平方法、 因式分解法是特殊方法。
⑴ 公式法是最一般的方法，只要明确了二次项系数、一次项系数和常数 项，若方
程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入一元二次方程的求根公式
求值 ，所以对某些方程，解法又显得复杂了。如①，可以直接开平
方，就能马上得出解；若此时还用求根公式 就显得繁琐了。
⑵ 配方法是一种非常重要的方法，在解一元二次方程时，一般不使用，但并不是
一定不用，若能合理地使用，也能起到简便的作用。若方程中的一次项系数有因数是