x线公式高数三角函数大总结

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三角函数



锐角三角函数公式
正弦：sin α =∠α的对边∠α 的斜边
余弦：cos α=∠α的邻边∠α的斜边
正切：tan α=∠α的对边∠α的邻边
余切：cot α=∠α的邻边∠α的对边
二倍角公式
sin2A=2sinA?cosA
cos2A=cos^2A-sin^2A=1-2sin^2A=2cos^2A-1
tan2A=（2tanA）（1-tan^2A）
三倍角公式






sin3α=4sinα·sin(π3+α)sin(π3-α)
cos3α=4cosα·cos(π3+α)cos(π3-α)
tan3a = tan a · tan(π3+a)· tan(π3-a)
三倍角公式推导
sin3a
=sin(2a+a)
=sin2acosa+cos2asina
=2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina
=3sina-4sin^3a
cos3a
=cos(2a+a)
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=cos2acosa- sin2asina
=(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa
=4cos^3a-3cosa
sin3a=3sina-4sin^3a
=4sina(34-sin^2a)
=4sina[(√32)^2-sin^2a]
=4sina(sin^260°-sin^2a)
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)
=4sina*2sin [(60+a)2]cos[(60°-a)2]*2sin[(60°-a)2]cos[(60°-a)2]
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)
cos3a=4cos^3a-3cosa
=4cosa(cos^2a-34)
=4cosa[cos^2a-(√32)^2]
=4cosa(cos^2a-cos^230°)
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)
=4cosa*2cos [(a+30°)2]cos[(a-30°)2]*{-2sin[(a+30°)2]sin[(a-30° )2]}
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)
上述两式相比可得
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)
半角公式
tan(A2)=(1-cosA)sinA=sinA(1+cosA);
cot(A2)=sinA(1-cosA)=(1+cosA)sinA.
sin^2(a2)=(1-cos(a))2
cos^2(a2)=(1+cos(a))2
tan(a2)=(1-cos(a))sin(a)=sin(a)(1+cos(a))


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和差化积
sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)2] cos[(θ-φ)2]




sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)2] sin[(θ-φ)2]
cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)2] cos[(θ-φ)2]
cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)2] sin[(θ-φ)2]
tanA+tanB=sin(A+B)cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)
tanA- tanB=sin(A-B)cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)
积化和差
sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] 2
cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]2
sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]2
cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]2
双曲函数
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]2
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cosh(a) = [e^a+e^(-a)]2
tanh(a) = sin h(a)cos h(a)
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）= sinα
cos（2kπ＋α）= cosα
tan（2kπ＋α）= tanα
cot（2kπ＋α）= cotα
公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）= -sinα
cos（π＋α）= -cosα
tan（π＋α）= tanα
cot（π＋α）= cotα
公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（-α）= -sinα
cos（-α）= cosα
tan（-α）= -tanα
cot（-α）= -cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π-α）= sinα
cos（π-α）= -cosα
tan（π-α）= -tanα
cot（π-α）= -cotα
公式五：
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π-α）= -sinα
cos（2π-α）= cosα
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tan（2π-α）= -tanα
cot（2π-α）= -cotα
公式六：
π2±α及3π2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π2+α）= cosα
cos（π2+α）= -sinα
tan（π2+α）= -cotα
cot（π2+α）= -tanα
sin（π2-α）= cosα
cos（π2-α）= sinα
tan（π2-α）= cotα
cot（π2-α）= tanα
sin（3π2+α）= -cosα
cos（3π2+α）= sinα
tan（3π2+α）= -cotα
cot（3π2+α）= -tanα
sin（3π2-α）= -cosα
cos（3π2-α）= -sinα
tan（3π2-α）= cotα
cot（3π2-α）= tanα
(以上k∈Z)
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) =
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} ? sin{ ωt + arcsin[ (A?sinθ+B?sinφ) √{A^2 +B^2;
+2ABcos(θ-φ)} }
√表示根号,包括{……}中的内容
诱导公式
sin(-α) = -sinα
cos(-α) = cosα
tan (-α)=-tanα
sin(π2-α) = cosα
cos(π2-α) = sinα
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sin(π2+α) = cosα
cos(π2+α) = -sinα
sin(π-α) = sinα
cos(π-α) = -cosα
sin(π+α) = -sinα
cos(π+α) = -cosα
tanA= sinAcosA
tan（π2＋α）＝－cotα
tan（π2－α）＝cotα
tan（π－α）＝－tanα
tan（π＋α）＝tanα
诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限
万能公式








其它公式
(1)



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(sinα)^2+(cosα)^2=1
(2)1+(tanα)^2=(secα)^2
(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可
(4)对于任意非直角三角形,总有
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
证:
A+B=π-C
tan(A+B)=tan(π-C)
(tanA+tanB)(1-tanAtanB)=(tanπ- tanC)(1+tanπtanC)
整理可得
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
得证
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立
由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论
(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1
(6)cot(A2)+cot(B2)+cot(C2)=cot(A2)cot(B2)cot(C2)
(7)(cosA）^2+(cosB）^2+(cosC）^2=1-2cosAcosBcosC
(8)（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC
其他非重点三角函数
csc(a) = 1sin(a)
sec(a) = 1cos(a)




编辑本段内容规律
三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数
各个公式之间有 强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在.
1、三角函数本质：

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[1]
根据右图，有

sinθ=y r; cosθ=xr; tanθ=yx; cotθ=xy。
深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例：
推导：
首 先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋
转AOB使O B与OD重合，形成新A'OD。
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β))
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0)
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα- sinβ)^2
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)2与(a-b)2）
单位圆定义
单位圆
六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在 实际计算上
没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对
所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和 π2 弧度之间的角。它也提供了一个图象，把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理，单位圆的等式是：
图象中给出了用弧度 度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是
负角。设一个过原点的线，同 x 轴正半部分得到一个角 θ，并与单位圆相交。这个交点的 x
和 y 坐标分别等于 cos θ 和 sin θ。图象中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，
所以有 sin θ = y1 和 cos θ = x1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜
边等于 1的一种查看无限个三角形的方式。
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两角和公式




sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B) = sinAcosB- cosAsinB
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B) = (tanA+tanB)(1-tanAtanB)
tan(A-B) = (tanA- tanB)(1+tanAtanB)
cot(A+B) = (cotAcotB-1)(cotB+cotA)
cot(A-B) = (cotAcotB+1)(cotB-cotA)