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三角函数

三角函数
目录
同角三角函数间的基本关系式：
三角函数的角度换算
正余弦定理
部分高等内容
特殊三角函数值
三角函数的计算
三角函数定义域和值域
初等三角函数导数
三 角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角
的集合与一个比值的集合的 变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中
定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是 在直角三角形中，但并不完全。现代
数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到 复数系。
由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。
三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。
基本初等内容
它有六种基本函数(初等基本表示)：
函数名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割
在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，
P点的坐标为（x，y）有
正弦函数 sinθ=yr
余弦函数 cosθ=xr
正切函数 tanθ=yx
余切函数 cotθ=xy
正割函数 secθ=rx
余割函数 cscθ=ry
（斜边为r，对边为y，邻边为x。）
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以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：
正矢函数 versinθ =1-cosθ
余矢函数 coversθ =1-sinθ
编辑本段
同角三角函数间的基本关系式：
·平方关系：
sin^2(α)+cos^2(α)=1 cos^2a=(1+cos2a)2
tan^2(α)+1=sec^2(α) sin^2a=(1-cos2a)2
cot^2(α)+1=csc^2(α)
·积的关系：
sinα=tanα*cosα
cosα=cotα*sinα
tanα=sinα*secα
cotα=cosα*cscα
secα=tanα*cscα
cscα=secα*cotα
·倒数关系：
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
直角三角形ABC中,
角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,
余弦等于角A的邻边比斜边
正切等于对边比邻边,
·三角函数恒等变形公式
·两角和与差的三角函数：
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)(1+tanα·tanβ)
·三角和的三角函数：
sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cos α·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ- sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ- tanα·tanβ·tanγ)(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)
·辅助角公式：
Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(12)sin(α+t)，其中
sint=B(A^2+B^2)^(12)
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cost=A(A^2+B^2)^(12)
tant=BA
Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(12)cos(α-t)，tant=AB
·倍角公式：
sin(2α)=2sinα·cosα=2(tanα+cotα)
cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
tan(2α)=2tanα[1-tan^2(α)]
·三倍角公式：
sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)
cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα
·半角公式：
sin(α2)=±√((1-cosα)2)
cos(α2)=±√((1+cosα)2)
tan(α2)=±√((1-cosα)(1+cosα))=sinα(1+cosα)=(1 -cosα)sinα
·降幂公式
sin^2(α)=(1-cos(2α))2=versin(2α)2
cos^2(α)=(1+cos(2α))2=covers(2α)2
tan^2(α)=(1-cos(2α))(1+cos(2α))
·万能公式：
sinα=2tan(α2)[1+tan^2(α2)]
cosα=[1-tan^2(α2)][1+tan^2(α2)]
tanα=2tan(α2)[1-tan^2(α2)]
·积化和差公式：
sinα·cosβ=(12)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(12)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(12)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(12)[cos(α+β)-cos(α-β)]
·和差化积公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)2]cos[(α-β)2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)2]sin[(α-β)2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)2]cos[(α-β)2]
cosα- cosβ=-2sin[(α+β)2]sin[(α-β)2]
·推导公式
tanα+cotα=2sin2α
tanα-cotα=-2cot2α
1+cos2α=2cos^2α
1-cos2α=2sin^2α
1+sinα=(sinα2+cosα2)^2
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·其他：
s inα+sin(α+2πn)+sin(α+2π*2n)+sin(α+2π*3n)+……+sin[α+ 2π*(n-1)n]=0
cosα+cos(α+2πn)+cos(α+2π*2n)+co s(α+2π*3n)+……+cos[α+2π*(n-1)n]=0
以及
sin^2(α)+sin^2(α-2π3)+sin^2(α+2π3)=32
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
cosx+cos2x+...+cosnx= [sin(n+1)x+sinnx-sinx]2sinx
证明：
左边=2sinx(cosx+cos2x+...+cosnx)2sinx
=[sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+...+
sinnx- sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x]2sinx （积化和差）
=[sin(n+1)x+sinnx-sinx]2sinx=右边
等式得证
sinx+sin2x+...+sinnx= - [cos(n+1)x+cosnx- cosx-1]2sinx
证明:
左边=-2sinx[sinx+sin2x+...+sinnx](-2sinx)
=[cos2x-cos0+cos3x-cosx+...+cosnx- cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x](-2sinx)
=- [cos(n+1)x+cosnx-cosx-1]2sinx=右边
等式得证
编辑本段
三角函数的角度换算
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα
公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα
公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα
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公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα
公式六：
π2±α及3π2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π2＋α）＝cosα
cos（π2＋α）＝－sinα
tan（π2＋α）＝－cotα
cot（π2＋α）＝－tanα
sin（π2－α）＝cosα
cos（π2－α）＝sinα
tan（π2－α）＝cotα
cot（π2－α）＝tanα
sin（3π2＋α）＝－cosα
cos（3π2＋α）＝sinα
tan（3π2＋α）＝－cotα
cot（3π2＋α）＝－tanα
sin（3π2－α）＝－cosα
cos（3π2－α）＝－sinα
tan（3π2－α）＝cotα
cot（3π2－α）＝tanα
(以上k∈Z)
编辑本段
正余弦定理
正弦定理是指在一个三角形中，各边和 它所对的角的正弦的比相等，即
asinA=bsinB=csinC=2R ．
余弦 定理是指三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它
们夹角的余弦的积的2倍，即a ^2=b^2+c^2-2bc cosA
编辑本段
部分高等内容
·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：
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sinx=[e^(ix)-e^(-ix)](2i)
cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]2
tanx=[e^(ix)-e^(-ix)][ie^(ix)+ie^(-ix)]
泰勒展开 有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z1！＋z^22！＋z^33！＋z^44！＋…
＋z^n n！＋…
此时三角函数定义域已推广至整个复数集。
·三角函数作为微分方程的解：
对于微分方程组 y=-y'';y=y''''，有通解Q,可证明
Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。
补充：由相应的指数表示我们 可以定义一种类似的函数——双曲函数，其拥有很
多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。
编辑本段
特殊三角函数值
a 0` 30` 45` 60` 90`
sina 0 12 √22 √32 1
cosa 1 √32 √22 12 0
tana 0 √33 1 √3 None
cota None √3 1 √33 0
编辑本段
三角函数的计算
幂级数
c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)
c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)
它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常数, 这种级
数称为幂级数.
泰勒展开式(幂级数展开法):
f(x)=f(a)+f'(a)1!*(x-a)+f''(a )2!*(x-a)2+...f(n)(a)n!*(x-a)n+...
实用幂级数：
ex = 1+x+x22!+x33!+...+xnn!+...
ln(1+x)= x-x23+x33-...(-1)k-1*xkk+... (|x|<1)
sin x = x-x33!+x55!-...(-1)k-1*x2k-1(2k-1)!+... (-∞ cos x = 1-x22!+x44!-...(-1)k*x2k(2k)!+... (-∞ arcsin x = x + 12*x33 + 1*3(2*4)*x55 + ... (|x|<1)
arccos x = π - ( x + 12*x33 + 1*3(2*4)*x55 + ... ) (|x|<1)
arctan x = x - x^33 + x^55 - ... (x≤1)
sinh x = x+x33!+x55!+...(-1)k-1*x2k-1(2k-1)!+... (-∞ cosh x = 1+x22!+x44!+...(-1)k*x2k(2k)!+... (-∞ arcsinh x = x - 12*x33 + 1*3(2*4)*x55 - ... (|x|<1)
arctanh x = x + x^33 + x^55 + ... (|x|<1)
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在解初等三角函数时 ，只需记住公式便可轻松作答，在竞赛中，往往会用到与图
像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式 、面积等等。
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傅立叶级数(三角级数)
f(x)=a02+∑(n=0..∞) (ancosnx+bnsinnx)
a0=1π∫(π..-π) (f(x))dx
an=1π∫(π..-π) (f(x)cosnx)dx
bn=1π∫(π..-π) (f(x)sinnx)dx
三角函数的数值符号
正弦 第一，二象限为正， 第三，四象限为负
余弦 第一，四象限为正 第二，三象限为负
正切 第一，三象限为正 第二，四象限为负
编辑本段
三角函数定义域和值域
sin(x),cos(x)的定义域为R,值域为〔-1,1〕
tan(x)的定义域为x不等于π2+kπ,值域为R
cot(x)的定义域为x不等于kπ,值域为R
编辑本段
初等三角函数导数
y=sinx---y'=cosx
y=cosx---y'=-sinx
y=tanx---y'=1(cosx)^2
y=cotx--- y'=-1(sinx)^2
y=arcsinx---y'=1√1-x^2
y=arccosx---y'=-1√1-x^2
y=arctanx--- y'=1(1+x^2)
y=arccotx---y'=-1(1+x^2)

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