轨迹的意思-夸老师的成语
高考数学二轮复习教案
【篇一:高考数学二轮专题复习教案共23讲精品专题】
专题一 集合、简单逻辑用语、函数、 不等式、导数及应用
第1讲 集合与简单逻辑用语
1. 理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键:弄清元素是函数
关系式中自变量的取值?还是因变量的取值?还是曲线上的点??
2. 数形结合 是解集合问题的常用方法:解题时要尽可能地借助数轴、
直角坐标系或韦恩图等工具,将抽象的代数问题 具体化、形象化、
直观化,然后利用数形结合的思想方法解决.
3. 已知集合a 、b,当a∩b=?时,你是否注意到“极端”情况:a=?
或b=??求集合的子集时是否忘记??分 类讨论思想的建立在集合
这节内容学习中要得到强化.
4. 对于含有n个元素的有限集合m, 其子集、真子集、非空子集、
非空真子集的个数依次为2n,2n-1,2n-1,2n-2.
5. ?是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
2. 已知命题p:n∈n,2n>1 000,则
p为________.
3. 条件p:a∈m={x|x2-x0},条件q:a∈n={x||x|2},p是q
的____ __________条件.
(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
4. 若命题“? x∈r,x2+(a-1)x+10”是假命题,则实数a的取值范
围为________.
【例1】 已知集合a={x|x2-3x-10≤0},集合b={x|p+1≤x≤2p
-1}.若b?a,求实数p的取值范围.
【例2】 设a={(x,y)|y2-x-1 =0},b={(x,y)|4x2+2x-2y+
5=0},c={(x,y)|y=kx+b},是 否存在k、b∈n,使得(a∪b)∩c
=??若存在,求出k,b的值;若不存在,请说明理由.
则下列结论恒成立的是________.
a. t,v中至少有一个关于乘法封闭b. t,v中至多有一个关于乘法
封闭 c. t,v中有且只有一个关于乘法封闭 d. t,v中每一个关于乘
法封闭
【例4】 已知a0,函数f(x)=ax-bx2.
(1) 当b0时,若?x∈r,都有f(x)≤1,证明:0a≤b; (2) 当b1时,
证明:?x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要条件是b-1≤a≤b.
①2 011∈[1];
②-3∈[3];
③z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];
④“整数a,b属于同一‘类’”的充要条件是“a-b∈[0]”. 其中,正
确结论的个数是________个.
1
解:由f(x)为二次函数知a≠0,令f(x)=0解得其两根为x1=a12+
a
由此可知x10,x20,(3分)
① 当a0时,a={x|xx1}∪{x|xx2},(5分) 1
a∩b≠?的充要条件是x2<3,即a② 当a0时, a={x|x1xx2},(10
分) 1
a∩b≠?的充要条件是x21,即+
a
2+1,解得a-2,(13分) a6
2+3,解得a(9分) a7
1
2,x2=+aa
6
?.(14分) 综上,使a∩b≠?成立的实数a的取值范围为(-∞,-
2)∪??7?
一 集合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用
第1讲 集合与简单逻辑用语
a. 57b. 56c. 49d. 8
【答案】 b 解析:集合a的所有子集共有26=64个,其中不含
4,5,6,7的子集有23
=8个,所以集合s共有56个.故选b.
m
2y≤2m+1,x,y∈r}, 若a∩b≠?,则实数m的取值范围是
________.
1m1
2+2? 解析:由a∩b≠?得,a≠?,所以m2≥,m≥m≤0.【答
案】 ??2?22|2-2m||2-2m-1|2
当m≤0=22m>-m,且=2m>-m,又2+0=2>2m
222|2-2m|1
+1,所以集合a表示的区域和集合b表示的区域无公共部分;当
m≥时,只要≤m
22
|2-2m-1|22或m,解得22≤m≤2+2或1-m≤1,所以实数m的
取值范围
2221
22?. 是??2?
点 评:解决此类问题要挖掘问题的条件,并适当转化,画出必要的
图形,得出求解实数m的取值范围的相关 条件.
基础训练
1. (-∞,3) 解析:a=(-∞,0]∪[ 3,+∞),b=(0,+∞),a∪b=
(-∞,+∞),a∩b=[3,+∞).
2. ?n∈n,2n≤1 000
3. 充分不必要 解析:m=(0,1)?n=(-2,2).
例1 解:由x2-3x-10≤0得-2≤x≤5. ∴ a=[-2,5]. ① 当b≠?
时,即p+1 ≤2p-1?p≥2.由b?a得-2≤p+1且2p-1≤5.得-
3≤p≤3.∴ 2≤p≤3.
② 当b=?时,即p+12p-1?p<2.b?a成立.综上得p≤3.
点评:从以上解答 应看到:解决有关a∩b=?,a∪b=a,a∪b=b
或a?b等集合问题易忽视空集的情况而出现漏 解,这需要在解题过
程中全方位、多角度审视问题.
变式训练 设不等式x2-2ax+a+2≤0的解集为m,如果m?[1,4],
求实数a的取值范围.
??f?1?≥0且f?4?≥0,
[x1,x2],m?[1,4]?1≤x1<x2≤4??
-a+3≥0,
??18-7a≥0,即?1≤a≤4,??a<-1或a>2,
1818
-1. 解得:2<a≤,综上实数a的取值范围是?7?7
例2 解: ∵ (a∪b)∩c=?,∵a∩c=?且b∩c=?,
2
??y=x+1,由 ? 得k2x2+(2bk-1)x+b2-1=0, ?y=kx+b?
∴ 4k2-4bk+10,此不等式有解,其充要条件是16b2-160,即
b21,①
2??4x+2x-2y+5=0,∵ ? ?y=kx+b,?
∴ 4x2+(2-2k)x+(5-2b)=0,
∴ k2-2k+8b-190, 从而8b20,即b2.5,②
?4k2-8k+1<0,??2 ?k-2k-3<0,?
∴ k=1,故存在自然数k=1,b=2,使得(a∪b)∩c=?.
点评:把集合所表示的意义读懂,分辨出所考查的知识点,进而解
决问题.
???1-y=3
变式训练 已知集合a=??x,y??
?x+1??
??
?,b={(x,y)|y=kx+3},若a∩b=?,??
求实数k的取值范围.
解: 集合a表示直线y=-3x-2上除去点(-1,1)外所有 点的集合,
集合b表示直线y=kx+3上所有点的集合,a∩b=?,所以两直线
平行或直线 y=kx+3过点(-1,1),所以k=2或k=-3.
例3 【答案】 a 解析:由 于t∪v=z,故整数1一定在t,v两个集
合中的一个中,不妨设1∈t,则?a,b∈t,
另一方面,当t={非负整数},v={负整数}时,t关于乘法封闭,v
关于乘法不封闭, 故d不对;
当t={奇数},v={偶数}时,t,v显然关于乘法都是封闭的,故b,
c不对. 从而本题就选a.
例4 证明:(1) ax-bx2≤1对x∈r恒成立,又b>0, ∴ a2-4b≤0,
∴ 0<a≤b. (2) 必要性,∵ ?x∈[0,1],|f(x)|≤1恒成立,∴ bx2-
ax≤1且bx2-ax≥-1, 显然x=0时成立,
111
对x∈(0,1]时a≥bx-且a≤b x+f(x)=bxx∈(0,1]上单调增,f(x)最
大值
xxxf(1)=b-1.
1111
函数g(x)=bx+在?0, ?上单调减,在?1?上单调增,函数g(x)的
最小值为g?x?b????b?=2,∴ b-1≤a≤2b,故必要性成立;
a2a2aa112
2b4b2b2a2
f(x)max=1,又f(x)是开口向下的抛物线,f(0)=0,f(1)=a-b,
4b
f(x)的最小值从f(0)=0,f(1)=a-b中取最小的,又a-b≥-1, ∴
-1≤f(x)≤1,故充分性成立; 综上命题得证.
变式训练 命题甲: 方程x2+mx+1=0有两个相异负根;命题乙:
方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根,这两 个命题有且只有一个成立,
求实数m的取值范围.
2
解: 使命题甲成立的条件是: ??m>2.
?x1+x2=-m<0?
∴ 集合a={m|m2}.
【篇二:高三数学二轮复习教案】
高三数学二轮复习教案
学 校:寿县迎河中学 汇 编: 龙 如 山
第一部分:三角问题的题型与方法
一、考试内容
1.理解任意角的概念、弧度的意义,能正确地进行弧度与角度的换
算。 2.掌握任意角 的正弦、余弦、正切的定义,了解余切的定义,
掌握同解三角函数的基本关系式,掌握正弦、余弦的诱导 公式,理
解周期函数与最小正周期的意义。
3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,掌握二倍角的正
弦、余弦、正切公式。
三、复习目标
1.熟练掌握三角变换的所有公式,理解每个公式的意义,应用特点,
常规使用方法等.
2.熟悉三角变换常用的方法——化弦法,降幂法,角的变换法
等.并能应用这些方法进行三 角函数式的求值、化简、证明.
3.掌握三角变换公式在三角形中应用的特点,并能结合三角形的公
式解决一些实际问题.
4.熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质,并
能用它研究复合函数的性 质.
5.熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、
6.理解图象平移变换、伸缩变换的意义,并会用这两种变换研究函
数图象的变化. 四、双基透视 1.三角变换:
三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换; 三
角恒等变形是以同角三角公式,诱导公式,和、差、倍、半角公式;
三角代换是以三角函数 的值域为根据,进行恰如其分的代换,使代
数式转化为三角式,然后再使用上述诸公式进行恒等变形,使 问题
得以解决. 2.三角形中的三角变换
三角形中的三角变换,除了应用上述公式和上述变换方法外,还要
注意三角形自身的特点.
(1)角的变换
sin(a+b)=sinc;cos(a+b)=-cosc;tan(a+b)=-tanc.
(2)三角形边、角关系定理及面积公式,正弦定理,余弦定理.
r为三角形内切圆半径,p为周长之半.
在非直角△abc中,tana+tanb+tanc=tana〃tanb〃tanc. (4)在
△abc中,熟记并会证明:
△abc是正三角形的充分必要条件是∠a,∠b,∠c成等差数列且
a,b,c成等比数列.
3.斜三角形中各元素间的关系:
如图6-29,在△abc中,a、b、c为其内角,a、b、c分别表示a、
b、c的对边.
(2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.
asina
?
bsinb
?
csinc
?2r
(r为外接圆半径)
(3)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去
这两边与它们夹角的余弦 的积的两倍.
222
a=b+c-2bccosa, b2=c2+a2-2cacosb, c2=a2+b2-
2abcosc.
4 .解三角形:由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三
个元素(其中至少有一个是边)求其他 未
知元素的问题叫做解三角形.广义地,这里所说的元素还可以包括
三角形的高、
中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.解三角
形的问题一
般可分为下面两种情形:若给出的三角形是直角三角形,则称为解
直角三角形;若给出的三角形是斜三 角形,则称为解斜三角形.
解斜三角形的主要依据是:
(2)边与边关系:a + b c,b + c a,c + a b,a-b c, b-c a,
c-a b. (3)边与角关系:
正弦定理
asina
2
?
2
bsinb
2
?
csinc
?2r
2
(r为外接圆半径).
2
2
2
2
2
余弦定理 c = a+b-2bccosc,
2bccosa. 它们的变形形式有:
s??
12aha?
12bhb?
12chc?
b = a+c-2accosb,a = b+c-
a = 2r sina,(4)面积公式:
12
absinc?
12
acsinb?
12bcsina
sinasinb
?ab
,cos
a?
b
2
?c
2
?a
2
2bc
.
.
解斜三角形的常规思维方法是:
b.
1.三角函数恒等变形的基本策略。
(2)项的分拆与角的配凑。如分拆项:
???
2
2
-
???
2
等。
(3)降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。
ba
确定。
2.证明三角等式的思路和方法。
(1)思路:利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式
两边化为同一形式。
(2)证明方法:综合法、分析法、比较法、代换法、相消法。
3.证明三角不 等式的方法:比较法、配方法、反证法、分析法,利
用函数的单调性,利用正、余弦函数的有界性,利用 单位圆三角函
数线及判别法等。
4.解答三角高考题的策略。
(1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异
分析”。 (2)寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系。
(3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化。. 六、范例分
析 例1、已知tan??值. 解:(1)
cos??sin?cos??sin?
1??
sin?
22
??3?22;
1?tan?1?cos???
sin?1?tan?1?1?
cos?
2
2
2
2,求(1)
cos??sin?cos??sin?
;(2)sin2??sin?.cos??2cos2?的
(2) sin??sin?cos??2cos??
2
sin??sin?cos??2cos?
sin??cos?
2
2
sin?
2
2
?2sin?
?12
cos?
?
sin?
?2
?
2?2?22?1
?
4?3
2
.
说明:利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得
到),进行弦、切互化,就会使解题过程简化。 例2: 已知函数
y?sin2x?2sinxsin(
?
2
?x)?3sin(
2
3?2
?x)
.
(1)若tanx
?
12
,求y的值; (2)若x?[0,],求函数单调区间及值域.
2
x?
?
解:y?sin2x?
2sinxcosx?3cos2x?重要,解题一定要注意) ⑴y?
sinx?2sinxcosx?3cosx
sinx?cosx
2
2
2
2
?
4
)?2……3分(这一步至关
?
tanx?2tanx?3
tanx?1
2
2
?
175
.……5分
⑵在[0,]上单调递增,在[,]上单调递减. ……2分
8
8
2
???
所以,当x?
[1,2?
?
8
时
,ymax?2?;当x?分
?
2
时,ymin?1.故y的值域
为
.]……2
例3
.(Ⅰ)求f??的值;
2?8?
(Ⅱ) 将函数y?f(x)的图象向右平移个单位后,得到函数y?g(x)的
图象,求g(x)的单调递减区 间.
【篇三:高三数学第二轮复习教案】
高三数学第二轮复习教案
第5讲 解析几何问题的题型与方法(二)
七、强化训练
1x2y2
tan?pff?1、已知p是以f1、f2为焦点的椭圆2?2?1(a?b?0)上一点,
若 ,则椭圆的离心率?pf?01212
2ab
为( )
(a)
1215
(b) (c)(d)2333
2、已知△abc的顶点a(3,-1),ab边上的中线所在直线 的方
程为6x+10y-59=0,∠b的平分线所在直线的方程为:x
-4y+10=0,求边bc所在直线的方程。
3、求直线l2:7x-y+4=0到l1:x+y-2=0的角平分线的方程。 4、
已知三种食物p、q、r的维生素含量与成本如下表所示。
现在将xkg的食 物p和ykg的食物q及zkg的食物r混合,制成
100kg的混合物.如果这100kg的混合物中 至少含维生素a44 000单
位与维生素b48 000单位,那么x,y,z为何值时,混合物的成本
最小?
5、某人有楼房一幢,室内面积共180 m2,拟分隔成两类房间作为
旅游客房.大房间每间面积为1 8m2,可住游客5名,每名游客每天
住宿费为40元;小房间每间面积为15 m2,可住游客3名, 每名游
客每天住宿费为50元.装修大房间每间需1000元,装修小房间每间
需600元.如 果他只能筹款8000元用于装修,且游客能住满客房,
他应隔出大房间和小房间各多少间,能获得最大 收益?
6、已知△abc三边所在直线方程ab:x-6=0,bc:x-2y-8=0,
ca:x+2y=0,求此三角形外接圆的方程。
7、已知椭圆x2+2y2=1 2,a是x轴正方向上的一定点,若过点a,
斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为标。
4,求点a的坐3
x2y2
8、已知椭圆2?2?1(a >b>0)上两点a、b,直线l:y?x?k上有
两点c、d,且abcd是正方形。此正方形外接< br>
ab
圆为x2+y2-2y-8=0,求椭圆方程和直线l的方程。
9、求以直线l:x??2为准线,原点为相应焦点的动椭圆短轴mn端
点的轨迹方程。
10、若椭圆的对称轴在坐标轴上,两焦点与两短轴端点正好是正方
形的四个顶点,又焦点到 同侧长轴端点的距离为2?1,
求椭圆的方程。
x2y2
11、已知直线y??x?1与椭圆2?2?1(a?b?0)相交于a、b两点,且
线段a b的中点在直线l:x?2y?0上。
ab
(1)求此椭圆的离心率;
(2 )若椭圆的右焦点关于直线l的对称点的在圆x2?y2?4上,求
此椭圆的方程。
12、设a(x1,y1)为椭圆x2+2y2=2上任意一点,过点a作一条
直线l,斜率为?
x1
,又设d为原点到直线l的距离,r1、2y1
r2分别为点a到椭圆两焦点的距离。求证:r1?r2?d为定值。
x2y2
14、已知椭圆2?2?1(a>b>0),p为椭圆上除长轴端点外的任
一点,f1、f2 为椭圆的两个焦点,(1)若?pf1f2??,
ab
cos
???
?pf1f2??,求证:离心率e?
2;(2)若?f1pf2?2?,求证:?f1pf2的面积为b?tan?。
cos
2
(1)建立适当的坐标系,求曲线e的方程;
2
。do⊥ab于o点,oa=ob,do=2,曲线e过c点,动点p在e上
2
(2)过d点的直线l与曲线e相交于不同的两点m、n且m在d、
n之间,设 试确定实数?的取值范围。
dm
??, dn
16、 (2004线的焦点f重合(如图)。
2
(i(ii)求线段bc中点m的坐标; (iii
)求bc所在直线的方程。
八、参考答案
1、解:设c为为椭圆半焦距,∵1?pf2?0 ∴1?pf2
?
22?pf?pf?(2c)22?1
1?
又tan?pf1f2? ∴?pf1?pf2?2a
2?
?pf2?1?pf12?
解得:()?选(d)。
c
a
2
59
e?
c?
a3
说明:垂直向量的引入为解决解析几何问题开辟了新思路。求解此
类问题的关键是利用向量垂 直的充要条件:“????0”,促使问题转
化,然后利用数形结合解决问题。
2、解:设b(a, b),b在直线bt上, ∴a-4b+10=0 ①又ab
中点m??
3?a,b?1?在直线cm上, ???∴点m的坐标满足方程6x+10y-
59=0 ∴6?
a?3?10?b?1?59?0 ②
解①、②组成的方程组可得a=10,b=5∴b(10, 5),又由角平
分线的定义可知, 直线bc到bt的角等于直线bt到直线ba的角,
又kab? kbt?
61∴
kbt?kbckba?kbt
?
btbcbabt
∴kbc?? ,
∴bc所在直线的方程为y?5??(x?10)即2x+9y-65=0。
3、解法一:设l2到l1角平分线l的斜率为k, ∵k1=-1,k2=7。
22
。
∴
k?7??1?k,解之得k=-3或k?1,由图形可知k0, ∴k=-3,又
由
?2?0?7xx??2yy?
4?0
?
?
19,
解得l1与l2的交点q???,??
??
9由点斜式得y???3??x?1?? 即6x+2y-3=0。
121?tg2tg???2或tg??1??为锐角, ∴tg
??1?k?7,
∴k=-3等同解法一。
1?7?,由解法一知k??3?1?7?,
1∴??,代入①化简即得:6x+2y-3=0。
解法四:用点到直线的距离公式,设l上任一点p(x, y),则p
到l1与l2的距离相等。 ∴
|x?y?2||7x?y?4|
?整理得:6x+2y-3=0与x-3y+7=0,又l是l2到l1的角的平分
线, k0,∴x-3y+7=0不合题意所以所求直线l的方程为6x+2y-
3=0。
4、分析:由x+y+z=100,得z=100-x-y,所以上述问题可以看
作只含x,y两个变量 .设混合物的成本为k元,那么k=6x+5y+4
(100-x-y)=2x+y+40 0,于是问题就归结为求k在已知条件下
的线性规划问题。
解:已知条件可归结为下列不等式组:
x?0?
?y?0??
x?y?100。 ?
?400x?600y?400(100?x?y)?4 4000???800x?200y?400(100?x?y
)?48000?x?y?100
?
即 ?y?20 ①。
?2x?y?40?
在平面直角坐标系中,画出不等式组①所表示的平面区域,这个区域是直线x+y=100,y=20,2x-y=40围成的一个三角形区域efg
(包括边界), 即可行域,如图所示的阴影部分。
设混合物的成本为k元,那么k=6x+5y+4(100-x-y)
=2x+y+400。
作直线l0:2x+y=0,把直线l0向右上方平移至l1位置时,直线经
过可行域上的点 e,且与原点的距离最小,此时2x+y的值最小,从
而k的值最小。
由 ?
?2x?y?40
得
?y?20?x?30
?
?y?20
即点e的坐标是(30,20)。
5、解:设隔出大房间x间,小房间y间时收益为z元,则x、y满
足。
?18x?15y?180
,x,y∈n, ?
1000x?600y?8000?
且 z=200x+150y。
所以?
?6x?5y?60
,x,y∈n,
5x?3y?40?
图4)。
图
4
作出可行域及直线l0:200x+150y=0,即4x+3y=0。(如把直线l0
向上 平移至l1的位置时,直线经过可行域上
z=200x+150y取最大值.但解6x+5 y=60与5x+3y=40联立的方程组
得到b(所以可行域内的点b不是最优解。
的点b,且与原点距离最大.此时,
2060
,)。由于点b的坐标不是整数,而x,y∈n,77
2060260
同样可以验证,在可行域内满足上述方程的整点为(0,12)和(3,
8).此时z取最大值1800 元. 。
6、解:解方程组可得a(6,-3)、b(6,-1)、c(4,2)设方程x2+y2+dx+ey+f=0,则:
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