底部公式球的体积教案

球的体积教案
教学目的
通过“球的体积”的教学，不仅要求学生熟记球的 体积公式，更要培养学生观察、估
算、猜想、构造和论证能力．并注意完善学生的认知结构．
[
若只要求学生记住有关公式，剩下的就是反复练习——解几个一元方程；已知半
径求体积；已 知体积求半径，……；这是降低教学要求．
]

教学过程
师：(
板书
)
已知球的半径为
R
，求
V
球
=(
出示小黑板——图
1
．
)

[
思维从问题开始．
]


师：为了计算半径为
R的球的体积，可以先计算半球的体积
V
半球
．观察图
1
，你一< br>定能在
V
圆柱
、
V
半球
、
V
圆锥< br>这三个量之间正确地写上不等符号
(
学生完成
)
，得
V
圆柱
＞
V
半球
＞
V
圆锥
．
[
提供类比，让学生目测大小，温故而知新，用以强化认识过程．
]



[
向“量化”过渡．
]

你能猜测
V
半球
=


[
引诱学生猜想．猜想是发现的开始！
]

生：……


师：可以大胆一些，准许猜错．

(
此答案不一定出自成绩最好的学生，而是胆大者，思维活跃者．
)


[
既鼓励，又提出更高要求，使学生仍处于激奋境地．
]

(
用行动支持敢于大胆猜想的学生．
)

师：我们不妨做一个试验，用以验证这个猜想．

[
理、化有实验，数学也可以 有实验．美国盛行“数学实验数学法”，这对激发学生
学习兴趣，培养学习能力都十分有利．
]

(
取一个半径为
R
的半球面，再取半径和高都是
R< br>的圆桶和圆锥各一个，都是铁皮
制成的容器．将圆锥放入圆桶内
(
图
2 )
，再将半球容器装满细沙，然后把半球内的细沙
倒入圆桶内，发现圆桶恰好被装满．
)


师：你能将实验结果用一个等式表达出来吗
[
鼓励 学生将实验结果“量化”
(
构造一个等式
)
是十分重要的数学方法．
]

生甲：
(
板书．
)

V
圆柱
－
V
圆锥
=V
半球
．
生乙：
(
板书．
)

V
半球
=V
圆柱
－
V
圆锥


师：于是得
(
板书
)


且
V
圆柱
∶
V
半球
∶
V
圆锥
=3
∶< br>2
∶
1
．
师：中学数学是建立在推理的基础上的，实验结果是否可靠，还要进行论证才行．
[
中学理、化是建立在实验基础上的．用数学工具去证明实验结果，学生兴趣盎然．
]

师：我们现在的任务是证明这个实验结果．或者说，是要证明图
2
右边充满细沙的
几何体与左边充满细沙的半球是等积形．而右边几何体的体积是已知的．
(
板书．)


如果再能证明它又符合祖暅原理中的“条件”，我们就可以将它作为半球的参照体
了．
(
为了运用祖暅原理，所引入的几何体必须符合两个条件：一是它的计算公式是已
知的；二是它符 合祖暅原理的条件，即该几何体与原几何体要夹在两个平行平面之间，
且用平行于这两个平面的任意一个 平面去截时，截得的截面面积总相等，符合以上两个
条件的几何体可叫做原几何体的参照体．在前面推导 柱、锥的体积的多次教学中应该引
用这个术语，让学生熟悉祖暅原理与该术语的关系．
)

该几何体与半球同高
(R)
，这说明它与半球可以夹在两个平行平面之间，剩 下的问题
是要证明它与半球的等距截面的面积相等．

用与底面平行的任一平面 去截图
2
的两个几何体
(
图
3)
，截面分别是圆面和圆环< br>
R
，小圆半径为
l
，因此
S
圆
=< br>π
r
2
=
π
(R
2
－
l
2
)
，
S
圆环
=
π
R
2
－π
l
2
=
π
(R
2
－
l
2
)
，
所以
S
圆
=S
环
．
根据祖暅原理，这两个几何体的体积相等，即

由此，“猜想”得到证明，可以写成定理形式：
[
从猜想到证明是“质”的升华！是学习数学的最重要的素质．
]

定理：如果球的半径是
R
，那么它的体积是

师：你准备怎样记忆这个结论呢
[
不管是意义识记或是机械识记，在这里都是有效的，都 是可行的．根据各个学生
的学习习惯，不必强求一律．
]

生甲：根据“细沙实验”，

生乙：我只要记住

V
圆柱
∶
V
半球
∶
V
圆锥
=3
∶
2
∶
1
就行了．
师：还有其他的记忆方法吗例如，把球体视为拟柱体，采用拟柱体的体积公式试试
看．
[
数学教师要不要培养学生的记忆能力，这是有争议的．看来，数学教师有可能，
也有必要去培养 学生的记忆能力．
]

生：
(
板演
)



(
随时复习与应用拟柱体体积公式．
)

师：这能作为球体积公式的证明吗
生：球体不是拟柱体，不能作为证明，但可以作为一种记忆方法．
师：还有其他的记忆方法吗例如 ，将球体分割成许多小的锥体，球心是这些小锥体
的顶点，锥的底面不是平面，而是球面的一小部分(
是曲面
)
请看图
4
．

[
是重要的数学思想．
]

于是，
V
球
=许多小锥体之和，而这许多小锥体的高可视为球半径
R
．又因为所有小
锥体的底面 之和
=
球面积
=4
π
R
2
，所以

[
发展学生的空间想象能力．
]

同样，这也不能作为球体 积公式的证明．但是，使人感到兴趣的是，拟柱体、小锥
体与球体的这种“默契”，这种内部的一致，给 人们以合谐的感觉，它不仅帮助人们记忆，
还给人以和谐美的感受！
[
升华了！
]

师：现在再请大家自己解答一个问题：
(
板书．
)

[
不十分困难的例题由学生自己解答，然后再对照课本并进行议论，有时比教师直
接讲解要收效大些，不妨 一试．
]

有一种空心钢球，重
142 g
，测得外径等于
cm
，求它的内径
(
钢比重是
cm
3
)
．
师：这是课本的例题，解完后自行对照课本．
(
学生议论，同时由一位学生板演．
)

师：今天这堂课的关键是构造一 个球的参照体，而“细沙实验”帮助我们解决了这个
问题．你能离开实验，经过分析直接构造这个参照体 吗
(
代替小结，将课内效果引向课外——直接构造参照体．
)

教案说明
这份教案显然是写给别人看的，如果只是为了自己教学，我想，只要记下教学过程
就行了：
(1)
提出问题：
V
球
=

(2)
自测圆柱、半球、圆锥这三者之间的大小关系
(
图
1)
．

(4)
细沙实验——验证“猜想”．
(5)
构造参照体，证明“猜想”．
(6)
得定理、谈记忆．
(7)
例题、小结、作业．
我为什么要采取上面这几个环节理由如下：
目 前的数学教材是从少数公理和原理出发，通过演绎，将知识展开．于是，过程
(1)
～
(4)
都可以省略．并且，“参照体”也是由教材直接给出的
(
不需要构造
)
．师生的

和方法用定论的形式直接呈现在学生面前，新、旧知识的衔接点直接给出， 内化任务很
快就完成．因此，这种做法的优点是直截了当，节约时间；缺点是学生缺乏一个完整的
认识过程，把知识或方法不是作为“过程”而是作为“结果”直接抛给学生．长此以往，越
“抛”越多 ，学生头脑中很难形成一个有效的认知结构，结果成绩分化，出现大量差生．
反之，插入环节(1)
～
(4)
，则环节
(5)
的“构造参照体”
(< br>这是全课的关键
)
就十分自然．从
“目测”到“猜想”，这是“发现”；从“猜 想”到“实验”，这是强化“发现”，而环节
(5)
则是内化．这
种先发现后内化的过 程又是在教师指导下进行的，教师的主导作用和学生的学习积极性
十分融洽．
“目测”、 “大胆猜想”、“实验”等环节，所有差生都有发言权，优生也不乏味；从“实
验”到“构造参照体”， 随流而下，直闯关键
(
出现参照体
)
，终达彼岸
(
得定理< br>)
．最后“谈记
忆”，生动活泼，乃至升华；“小结提问”，余味不尽．
数学教学的实质是思维过程的教学，“直截了当”则掩盖了“思维过程”，把知识和方
法不是作为思维过 程暴露在学生面前，而是作为结果抛给学生，这种“奉送”的做法势必
回避了数学思想的培养．长此以往 ，学生的数学素质很难得到提高．
最后，还要说明一点，“构造参照体”是本课的难点，本教案采 用了“细沙实验”，也
就回避了“构造性困难”，因此本教案是为普通班设计的．而“好班”就不应该回 避构造困
难，何况“构造参照体”是运用祖暅原理的关键，也是学习这一段教材
(
从柱 体开始
)
的关
键所在．因此，建议根据学生情况补充下述内容：
参照体与祖暅原理
为了利用祖暅原理计算某个几何体的体积，常要构造另一个几何体，此几何体必 须
符合两个条件：
(1)
它的计算公式是已知的；
(2)
它符合祖暅 原理的条件，即该几何体与
原几何体能夹在两个平行平面之间，且用平行于这两个平面的任意一个平面去 截它们
时，截得的截面面积总相等．为了下面的叙述方便起见，把符合这两个条件的几何体叫
做 原几何体的参照体，或简称参照体．
用祖暅原理求几何体的体积，关键在于构造参照体．


轴，求该旋转体的体积．

解 将此旋转体放在平面α 上
(
图
5)
，用与平面α平行且相距
h
的平面去截，得
这说明参照体的截面可以是一个矩形，其一边长π，另一边长为变量
h
．于是得


[
例
2]
求半径为
R
的半球的体积．

[
例
3]
汽车内胎或游泳时用的救生圈是旋转体
(
图
6)
，它的母线是半径为
r
的圆，
圆心与旋转轴
MN
的距离等于
d(d
＞
r)
，能否用构造参照体的思想方法去寻求 它的体积
公式
解 取环体的上半部研究，它的下底面是圆环
(
图
6
，外半径
=d+r
，内半径
=d
－
r)
，上底是半径为
d
的圆周
(
面积为零
)
，半环体的高为< br>r
．用平行于底面的平面去截，设截
面距底面
h(h
＜
r)< br>，则截面是另一个圆环
(
图
7)
．






(
变量
)
，据此，可构造一个参照体如 下：取一个半径为
r
的圆为底面，高为
4
π
d
的圆柱
的
14
，并将此
14
圆柱横卧
(
图
8)
，此参照体的体积为圆柱的
14
，由祖暅原理


此结论 与直觉是一致的：将环体沿断面
(
图
6
中的小圆
)
切开后， 拉直成一个圆柱，

[
培养学生的直觉思维能力．
]