95%公式正三棱锥的内切球与外接球

正三棱锥的内切球与外接球

要回答这个问题，先要了解什么是正三棱锥.
请看正三棱锥的定义.
1.底面是正三角形
2.顶点在底面的射影是底面三角形的中心.满足以上两条的
三棱锥是正三棱锥.
由以上定义可知，正三棱锥底面为正三角形，三个侧面是全
等的等腰三角形.
要防止和另外一个概念----正四面体混淆.
正四面体的要求比正三棱锥更要.每个面都是 正三角形的四
面体才是正四面体.我们可以说，正四面体是特殊的正三棱锥，
正三棱锥具备的性 质正四面体都有，而正四面体具备的性质
正三棱锥不一定有.
下面来说如何寻找正三棱锥的内切球和外接球球心.
在棱柱和棱锥的外接球中，谈到了一种方 法，就是把符合条
件的棱锥和棱柱放入长方体中，从而把问题转化、简化为长
方体的外接球的问 题.
这是处理问题的方法之一.
适合这种方法的情况可小结如下：
⑴正四面体、 三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直
角三角形的三棱锥.⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四
面体、相对的棱相等的三棱锥.
⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或
正方体.
⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体
或正方体.
今天说说第二种方法，就是利用球的定义确定球心.
基本的规律可小结如下：
⑴长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点.
⑵正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点.
⑶直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的
中点.
⑷正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角
三角形运用勾股定理计算得到.
我们利用第（4）条结论来研究正三棱锥的外接球球心的位
置.
举一个具体栗子来说 明.外接球球心分析：在正三棱锥的高线
上，先假设一个位置，然后构造直角三角形，利用勾股定理求解.从图看出，此正三棱锥的外接球球心在高线PO的延长
线上.
再来求内切球的球心位置.由正三棱锥的对称性可知，内切球
球心也在高线PO上.
下面利用等体积法（即算两次体积）求内切球的半径.等体积
法已经是第二次提到了，第一次提起是在线 面角和点面距中.
回到这位朋友的问题上来，外接球球心和内切球球心重合
吗？
显然，多数情况下是不重合的.
有童鞋可能会问，有没有重合的时候呢？
为了回答 这个问题，我们作一般化的推导.若底边长刚好等于
侧棱长，即正三棱锥变为正四面体时，奇迹发生了.
画出图来是这样滴.
此时，两心重合于一点，且该点把三棱锥的高分为3:1，长
的 那段为外接球半径，短的那一段为内切球半径.