对比的公式圆锥曲线弦长公式教案资料

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圆锥曲线弦长公式
关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线代 入曲线方程，
化为关于x的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式
求出弦长， 这种整体代换，设而不求的思想方法对于
求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲 线弦长求解利用
这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦
点弦长公式就更为简捷。. 椭圆的焦点弦长 若椭圆方程为
，半焦距为
线的倾斜角为
，焦点
。解：连结
，设过的直
，设交椭圆于A、B两点，求弦长
，由椭圆定义 得，由余弦定理得
，整理可得，同理可求得
，则弦长
同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为
为短半轴，c为半焦距）
结论：椭圆过焦点弦长公式：
二
（a为长半轴，b
. 双曲线的焦点弦长
设双曲线
过的直线的倾斜角为
，其中两焦点坐标为
，交 双曲线于A、B两点，求弦长|AB|。
，
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。

解：（1）当
点A、B在同一交点上，连
得
时，（如图2）直线与双曲线的两个交
，设
，由余弦定理可得
，由双曲线定 义可
整理可得，同理
，则可求得弦长

（2）当
A、B在两支上 ，连
或
，设
时，如图3，直线l与双曲线交点
，则
，

，
，由余弦定理可得
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整理可得，则

因此焦点在x轴的焦点弦长为

同理可得焦点在y轴上的焦点弦长公式

三
其中a为实半轴，b为虚半轴，c为半焦距，为AB的倾斜角。. 抛物线的焦点
弦长

若抛物线
倾斜角为
与过焦点
，求弦长|AB|？（图4） 的直线相交于A、B两点，若的
解：过A、B两点分别向x轴作垂线为垂足，设，，
则点A 的横坐标为，点B横坐标为

，由抛物线定义可得
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即
则
同理的焦点弦长为
的焦点弦长为，所以抛物线的焦点弦长为

由以上三种情况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长，非常简单明确，应予以掌
握。
一



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