关键词不能为空

当前您在: 主页 > 高中公式大全 >

亮度计算公式有关圆-椭圆-双曲线-抛物线的详细知识点

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-12 10:10
tags:弦长公式

swim过去式和过去分词-军事经济学院分数线



<一>
圆的方程

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2,圆心O(a,b),半径r。
(1)圆的一般式方程: x^2+y^2+Dx+Ey+F=0
此方程可用于解决两圆的位置关系 :
配方化为标准方程:(x+D2)^2.+(y+E2)^2=(D^2+E^2-4F)4

其圆心坐标:(-D2,-E2)

半径为r=√[(D^2+E^2-4F)]2
此方程满足为圆的方程的条件是:
D^2+E^2-4F>0
若不满足,则不可表示为圆的方程
(2)点与圆的位置关系 点P(X1,Y1) 与圆 (x-a)^2+(y-b) ^2=r^2的位置关系:

⑴当(x1-a)^2+(y1-b) ^2>r^2时,则点P在圆外。
⑵当(x1-a)^2+(y1-b) ^2=r^2时,则点P在圆上。
⑶当(x1-a)^2+(y1-b) ^2圆与直线的位置关系判断
平面内,直线Ax+By+ C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一
般方法是:
1.由 Ax+By+C=0,可得y=(-C-Ax)B,(其中B不等于0),代入
x^2+y^2+Dx+ Ey+F=0,即成为一个关于x的一元二次方程f(x)=0。利用判
别式b^2-4ac的符号可确 定圆与直线的位置关系如下:
如果b^2-4ac>0,则圆与直线有2交点,即圆与直线相交。
如果b^2-4ac=0,则圆与直线有1交点,即圆与直线相切。
如果b^2-4ac<0,则圆与直线有0交点,即圆与直线相离。


2.如果B=0即直线为Ax+C=0,即x=-CA,它平行于y轴(或垂直于x
轴),将x^2+y ^2+Dx+Ey+F=0化为 (x-a)^2+(y-b) ^2=r^2。令y=b,求
出此时的两个x值x1、x2,并且规定x1 当x=-CAx2时,直线与圆相离;
当x1 半径r,直径d
在直角坐标系中,圆的解析式为:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2;
x^2+y^2+Dx+Ey+F=0
=> (x+D2)^2+(y+E2)^2=(D^2+E^2-4F)4
=> 圆心坐标为(-D2,-E2)
其实只要保证X方Y方前系数都是1
就可以直接判断出圆心坐标为(-D2,-E2)
这可以作为一个结论运用的
且r=根号(圆心坐标的平方和-F)
<二>椭圆的标准方程
椭圆的标准方程分两种情况:
当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是:x^2a^2+y^2b^2=1,(a>b>0);
当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是:y^2a^2+x^2b^2=1,(a>b>0);
其中a>0,b>0。a、b中较大者为椭圆长半轴长,较短者为短半轴长(椭圆
有两条对称轴,对称轴 被椭圆所截,有两条线段,它们的一半分别叫椭圆
的长半轴和短半轴或半长轴和半短轴)当a>b时,焦 点在x轴上,焦距为
2*(a^2-b^2)^0.5,焦距与长、短半轴的关系:b^2=a^2-c ^2,准线方程是
x=a^2c和x=-a^2c ,c为椭圆的半焦距。
又及:如果 中心在原点,但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时,方程
可设为mx^2+ny^2=1(m>0,n> 0,m≠n)。即



F点在Y轴
标准方程的统一形式。
椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸,它的参数方
程是:x=acosθ , y=bsinθ
标准形式的椭圆在(x0,y0)点的切线就是 :xx0a^2+yy0b^ 2=1。
椭圆切线的斜率是:-by0ax0,这个可以通过很复杂的代数计算得到。
椭圆的一般方程
Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0(A>0,B>0,且A≠B)。
椭圆的参数方程
x=acosθ , y=bsinθ。
椭圆的极坐标方程
(一个焦点在极坐标系原点,另一个在θ=0的正方向上)
r=a(1-e^2)(1-ecosθ)
(e为椭圆的离心率)

平面内 与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a(2a>|F1F2|)的动点P的
轨迹叫做椭圆。
即:│PF1│+│PF2│=2a
其中两定点F1、F2叫做椭圆的焦点,两焦点的距离│F1F2│=2c<2a叫
做椭圆的焦距。
长轴长| A1A2 |=2a; 短轴长 | B1B2 |=2b。
第二定义
平面上到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数e(即椭圆的
离心率,e=ca)的点的集合(定点 F不在定直线上,该常数为小于1的正
数) 其中定点F为椭圆的焦点,定直线称为椭圆的准线(该定直 线的方
程是x=±a^2c[焦点在X轴上];或者y=±a^2c[焦点在Y轴上])。
椭圆的面积公式
S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长)。
或S=π(圆周率)×A×B4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长)。
椭圆的周长公式


椭圆周长没有公式,有积分式或无限项展开式。
椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如
L = ∫[0,π2]4a * sqrt(1-(e*cost)²)dt≈2π√((a²+b²)2) [椭圆近
似周长],其中a为椭圆长半轴,e为离心率
椭圆离心率的定义为椭圆上焦距与长轴的比值,(范围:大于0 小于1)
椭圆的准线方程 x=±a^2c
椭圆的离心率公式
e=ca(02c。离心 率越大,椭圆越扁平;离心率越小,椭圆越接
近于圆形。
椭圆的焦准距:椭圆的焦点与其相应准线(如焦点(c,0)与准线x=+a^2c) 的距
离为b^2c
椭圆焦半径公式
焦点在x轴上:|PF1|=a+ex |PF2|=a-ex(F1,F2分别为左右焦点)
椭圆过右焦点的半径r=a-ex
过左焦点的半径r=a+ex
焦点在y轴上:|PF1|=a-ey |PF2|=a+ey(F1,F2分别为上下焦点)
椭圆的通径:过焦点的垂直于x轴(或y 轴)的直线与椭圆的两交点A,B之间的
距离,数值=2b^2a
椭圆的斜率公式
过椭圆上x^2a^2+y^2b^2=1上一点(x,y)的切线斜率为 -(b^2)X(a^2)y
三角形面积公式
若有一三角形两个顶点在椭圆的两个焦点上,且第三个顶点在椭圆上
那么若∠F1PF2=θ,则S=(b^2)tan(θ2)。
椭圆的曲率公式
K=ab[(b^2-a^2)(cosθ)^2+a^2]^(32)
编辑本段点、直线与椭圆的关系
点与椭圆位置关系


点M(x0,y0) 椭圆 x^2a^2+y^2b^2=1
点在圆内:x0^2a^2+y0^2b^2<1
点在圆上:x0^2a^2+y0^2b^2=1
点在圆外:x0^2a^2+y0^2b^2>1
直线与椭圆位置关系
y=kx+m ①
x^2a^2+y^2b^2=1 ②
由①②可推出x^2a^2+(kx+m)^2b^2=1
相切△=0
相离△<0无交点
相交△>0 可利用弦长公式:A(x1,y1) B(x2,y2)
|AB|=d = √(1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1*x2] = √(1+1k^2)[(y1+y2)^2-4x1*x2]
编辑本段椭圆参数方程的应用
求解椭圆上点到定点或到定直线距离的最值时,用参数坐标可将问题转化为三角
函数问题求解
x=a×cosβ, y=b×sinβ a为长轴长的一半

<三>双曲线

双曲线
双曲线(Hyperbola)是指与平面上两个定点的距离之差的绝对值 为定值的点的轨
迹,也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。
双曲线是圆锥曲线的一种,即圆锥面与平面的交截线。 双曲线在一定的仿射变
换下,也可以看成反比例函数。
定义
定义:我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于一个常数(常数为


2a)的轨迹称为双曲线。
定义1:

平面内,到两个定点的 距离之差的绝对值为常数(小于这两个定点间的距离
[1]
)的点
的轨迹称为双曲线。 定点叫双曲线的焦点
定义2:平面内,到给定一点及一直线的距离之比为大于1的常数的点的轨 迹称
为双曲线。定点叫双曲线的焦点,定直线叫双曲线的准线
定义3:一平面截一圆锥 面,当截面与圆锥面的母线不平行,且与圆锥面的两个
圆锥都相交时,交线称为双曲线。
定义4:在平面直角坐标系中,二元二次方程f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0
满足以下条件时,其图像为双曲线。
1.a、b、c不都是零.
2. b^2 - 4ac > 0.
双曲线的标准方程
1,焦点在X轴上时为:
x^2a^2 - y^2b^2 = 1
2,焦点在Y 轴上时为:
y^2a^2 - x^2b^2 = 1
双曲线的简单几何性质
1、轨迹上一点的取值范围:
│x│≥a(焦点在x轴上)或者│y│≥a(焦点在y轴上)。
2、对称性:
关于坐标轴和原点对称。
3、顶点:
A(-a,0), A'(a,0)。同时 AA'叫做双曲线的实轴且│AA'│=2a.
B(0,-b), B'(0,b)。同时 BB'叫做双曲线的虚轴且│BB'│=2b.


F1(-c,0)F2(c,0).F1为双曲线的左焦点,F2为双曲线的右焦点且│F1F2│=2c
对实轴、虚轴、焦点有:a^2+b^2=c^2
4、渐近线:
焦点在x轴:y=±(ba)x.
焦点在y轴:y=±(ab)x. 圆锥曲线ρ=ep1-e cosθ当e>1时,表示双曲线。其中p
为焦点到准线距离,θ为弦与x轴夹角。
令1-ecosθ=0可以求出θ,这个就是渐近线的倾角。θ=arccos(1e)
5、离心率:
第一定义:e=ca 且e∈(1,+∞).
第二定义:双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│ 与 点P到定直
线(相应准线)的距离d 的比等于双曲线的离心率e.
d点│PF│d线(点P到定直线(相应准线)的距离)=e
6、双曲线焦半径公式
(圆锥曲线上任意一点P(x,y)到焦点距离)
左焦半径:r=│ex+a│
右焦半径:r=│ex-a│
7、等轴双曲线
一双曲线的实轴与虚轴长相等 即:2a=2b 且 e=√2
这时渐近线方程为:y=±x(无论焦点在x轴还是y轴)
8、共轭双曲线
双曲线S'的实轴是双曲线S的虚轴 且 双曲线S'的虚轴是双曲线S的
实轴时,称双曲线S'与双曲线S为共轭双曲线。
几何表达:S:(x^2a^2)-(y^2b^2)=1 S':(y^2b^2)-(x^2a^2)
=1
特点:(1)共渐近线 ;与渐近线平行得线和双曲线有且只有一个交

(2)焦距相等
(3)两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1
9、准线:


焦点在x轴上:x=±a^2c
焦点在y轴上:y=±a^2c
10、通径长:








(圆锥曲线中,过焦点并垂直于轴的弦)
d=2b^2a
11、过焦点的弦长公式:
d=2pe(1-e^2cos^2θ)
12、弦长公式:
d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1k^2)
|y1-y2| = √(1+1k^2)(y1-y2)^2
双曲线的标准公式与反比例函数
X^2a^2 - Y^2b^2 = 1(a>0,b>0)
而反比例函数的标准型是 xy = c (c ≠ 0)
但是反比例函数图象确实是双曲线轨迹经过旋转得到的
13.双曲线内、上、外
在双曲线的两侧的区域称为双曲线内,则有x^2a^2-y^2b^2>1;
在双曲线的线上称为双曲线上,则有x^2a^2-y^2b^2=1;
在双曲线所夹的区域称为双曲线外,则有x^2a^2-y^2b^2<1。
双曲线参数方程
双曲线的参数方程:x=a*sec θ (正割) y=b*tan θ ( a为实半轴长, b为虚半轴
长, θ为参数。)
<四>抛物线

平面内,到一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹(或集合)称之为抛物线。


抛物线的标准方程
y
2
=2px(p>0)(开口向右);
y
2
=-2px(p>0)(开口向左);
x
2
=2py(p>0)(开口向上);
x
2
=-2py(p>0)(开口向下);
在抛物线y
2
=4cx(c>0)中, 焦点是F(c,0),准线l的方程是x = ? c;
在抛物线y
2
=-4cx(c>0) 中,焦点是F(-c,0),准线l的方程是x = c;
在抛物线x
2
=4cy(c>0) 中, 焦点是F(0,c),准线l的方程是y = ? c;
在抛物线x
2
=-4cy(c>0)中,焦点是F(0,-c),准线l的方程是y = c;
[1]

(c=焦点至顶点之距离的绝对值)
依据基础定义的公式

抛物线上任意点P(x,y)至准线ax + by + c之距离与P至焦点C(C1,C2)的距离恒等,
故得:

抛物线

光合作用的意义-青少年减肥


而君幸于赵王翻译-华南农业大学


北宋皇帝-忽律


she的宾格形式-两弹


什么是什么的家-数学中n表示什么


半角公式-细胞是谁发现的


遥怜故园菊应傍战场开-浙江金融职业


wear过去分词-初中毕业都有哪些技校



本文更新与2020-09-12 10:10,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/392778.html

有关圆-椭圆-双曲线-抛物线的详细知识点的相关文章