复合函数的公式高中数学双曲线抛物线知识点总结

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双曲线
平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2a(2a<)的点的轨迹。

22
xy
221(0,0)
ab
ab
简图
y__y
ab

22
yx
221(0,0)
ab
方程
x__x_O
_O
范围
xa或xa,yRya或ya,xR
顶点
(a,0)(0,a)
焦点
(c,0)(0,c)

渐近线b
yx
a

离心率

c
e(e1)
a
对称轴关于x轴、y轴及原点对称关于x轴、y轴及原点对称

2
a
c
a、b、c的关
系
考点
题型一求双曲线的标准方程
1、给出渐近线方
程

22
xy
221
ab

yx
n

的双曲线方程可设
为
m

22
xy
22(0)
mn

。

，与双曲线

222
cab

a
yx
b

c
e(e1)
a
准线方程x

y

2
a
c

22
xy
22(0)
共渐近线的方程可设为
ab
2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。
【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。

（1）虚轴长为12，离心率为5

；
4
（2）焦距为26，且经过点M（0，12）；
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22
（3）与双曲线
xy
916

1 有公共渐进线，且经过点A3,23。
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22

22
解：（1）设双曲线的标准方程为
xy
或
yx
221 221
ab ab
c

5

由题意知，2b=12，
e =
。
a 4
∴b=6，c=10，a=8。

2

22
yx
∴标准方程为
x
361
或
6436 64
（2）∵双曲线经过点M（0，12），

1
。

(a0,b0)。
∴M（0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a=12。


又2c=26，∴c=13。∴

222144
bca。

22

∴标准方程为
yx
1
。
14425

22
（3）设双曲线的方程为
xy
22
ab
A3,23在双曲线上
223
∴
3
916

22
所以双曲线方程为
4xy
94
题型二双曲线的几何性质
方法思路：解决双曲线的性质问题，关键是找好体重的等量关系，特e、a、b、c四者 是别
c

222

的关系，构造出
e
和
a
cab的关系式。

22
【例2】双曲线
xy
221(0,0)
ab
ab
的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且


2

1
得

1
4

1
4

点（1，0）到直线l的距离与点（-1，0）到直线l的距离之和s≥
c。求双曲线的离心率
5
e的取值范围。
xy
解：直线l的方程为1
，级bx+ay-ab=0。
ab

由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点（1，0）到直线l的距离1
d

同理得到点（-1，0）到直线l的距离2
d
b(a1)

22
ab

，
b(a1)

22
ab

，
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sdd
2ab2ab
1222
c
。

ab
4

2ab

4

222
≥
由s≥
c，得 c，即
5aca2c。
5 c 5
22

于是得
5e12e，即

42
4e25e250。

5

e5。
2
5

2

解不等式，得
是
4
e5。由于e＞1＞0，所以e的取值范围

22
xy
221
ab
【例3】设F
1
、F
2
分别是双曲线

的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使
F
1
AF
2
90
，且︱
AF
1
︱=3︱AF
2
︱，求双曲线的离心率。
解：∵
F
1
AF
2
90

222

∴
AF
1
AF
2
4c
又︱AF
1
︱=3︱AF
2
︱，
∴

AF
1
AF
2
2AF
2
2a即AF
2
a，
2222222

∴
AF
1
AF
2
9 AF
2
AF
2
10AF
2
10a4c，
c

∴
a
1010

42

即
10
e。
2
题型三直线与双曲线的位置关系
方法思路：1、研究双曲线与直线的位置关系，一般通过把直线方程与双曲线方程组成方程
AxByC0

组，即
222222
bxayab
点和相切不是等价的。
2、直线与双曲线相交所截得的弦：长
12
l1kxx1yy
21221
k
【例4】如图，已知两定点
F
1
(2,0),F
2
(2,0)，满足条件PF
2
PF< br>1
2的点P的轨迹
是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B
两点，如 果
AB63
，且曲线
E上存在点C，
y
使

，对解的个数进行讨论，但必须注意直线与双曲线有一个公共
OAOBmOC
，求

A
C
（1）曲线E的方程；
（2）直线AB的方程；
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（3）m的值和△ABC的面积S。
B
Ox
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解：由双曲线的定义可知，
曲线E是以
FF为焦点的双曲线的左支，
1
(2,0),
2
(2,0)
且
c2
，
a=1，易知
221
bca。
故直线E的方程为
221(0)
xyx，
(2)
设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
y=kx-1

22
消去y，得
由题意建立方程组
22
(1k)x2kx20
。

x-y=1
又已知直线与双曲线左支交于两点A、B，有
2
1k0,
22
(2k)8(1k)0,

xx
122

xx
122
又∵
1k
222

AB1kxx1k(xx)4xx
121212
22
2k2(1k)(2k)2
1k()42
2222
1k1k(1k)
22

依题意得
(1k)(2k)
263
22
(1k)

25

25
∴
k或 k。
7 4
但2k1
，

5

∴
k。
2
故直线AB的方程为

5

xy10。
2
42

，整理后得

28k55k250，
1k
2
2k

0,
解得2k1
。



0.

（3
）设
C(x,y)
，由已 知
OAOBmOC
，得
(x
1
,y
1
)(x
2
,y
2
)(mx
c
,my
c
)，
cc

xxyy

∴
1212
(x
c
,y
c
)(,)(m0)
mm
。

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又
xx
122
2k

1
k

45

，
yyk(xx)228
121222
2
2k2
k1k1
，

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458

∴点
C(,)
mm
。


8064
1

将点C的坐标代入曲线E的方程，的
，
22
mm
得m4，但当m4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意。
∴m4，C
点的坐标为
(5,2)
，


C到AB的距离为

5
(5)21
21

5
，

3

22

()1
2
11

∴△ABC的面积
S633。
23
一、抛物线
高考动向：抛物线是高考每年必考之点，选择题、填空题、解答题皆有，要求对抛物线定义、
性质、直线与其关系做到了如指掌，在高考中才能做到应用自如。
（一）知识归纳
方程2
y2px(p0)
y
y

22(0)
ypxp

22(0)
xpyp

22(0)
xpyp
yy
l
O
F
xx
F
x
图形
OF
O
F
O
x
ll
l
顶点（0，0）
对称x轴y轴
轴
焦点

pppp
F(,0)F(,0)F(0,)F(0,)
2222
离心e=1
率
准线
ppp

l:xl:xl:yl:y
222
p

2
（二）典例讲解
题型一抛物线的定义及其标准方程
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方法思路：求抛物线标准方程要先确定形式，因开口方向不同必要时要进行分类讨论，标准
2

方程有时可设为
ymx
或


2(0)
xmym。
【例5】根据下列条件求抛物线的标准方程。
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22

（1）抛物线的焦点是双曲线
16x9y144
的左顶点；

（2）经过点A（2，－3）；
（3）焦点在直线x-2y-4=0上；
（4）抛物线焦点在x轴上，直线y=-3与抛物线交于点A，︱AF︱=5.

22
解：（1）双曲线方程可化为
xy
916
由题意设抛物线方程为
∴p=6.
∴方程为

212
yx
（2）解法一：经过点A（2，－3）的抛物线可能有两种标准形式：
22
y＝2px或x＝－2py．
点A（2，－3）坐标代入，即9＝4p，得2p＝
9

2
2
点A（2，－3）坐标代入x＝－2py，即4＝6p，得2p＝
2
9

4

2

＝－

∴所求抛物线的标准方程是y＝
y
2
＝
2
x或x
3

1
，左顶点是（-3，0）
p
，

22(0)
ypxp且3
2
4

3
解法二：由于A（2，-3）在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为
9

4

，n=-
，
2 3
2

9

2 4

y
∴所求抛物线的标准方程是y x或x
＝
2
＝－
3
（3）令x=0得y=－2，令y=0得x=4，
代入A点坐标求得m=
∴直线x-2y-4=0与坐标轴的交点为（0，-2），（4，0）。
∴焦点为（0，-2），（4，0）。
∴抛物线方程为
28
xy或
216
yx。

2
ymx
或


2
xny
，

（4）设所求焦点在x轴上的抛物线方程为
22(0)
ypxp，A（m，-3），由抛物

线定义得
5

AFm，
p
2

2

又
(3)2pm
，

∴p1或p9，

故所求抛物线方程为
22
yx
或

218
yx
。

题型二抛物线的几何性质
方法思路：1、凡设计抛物线上 的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线l的距离处
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理，例如若P（x
0
，y
0
）为抛物线

22(0)
p
ypxp上一点，则PFx
0
。
2 < br>2、若过焦点的弦AB，A(x
1
,y
1
)，B(x
2
,y
2
)，则弦长ABx
1
x
2
p，x
1
x
2
可由
韦达定理整体求出，如遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类
似得到。

【例6】设P是抛物线

24
yx上的一个动点。
（1）求点P到点A（-1，1）的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值；
（2）若B（3，2
），求
PBPF
的最小值。

解：（1）抛物线焦点为F（1，0），准线方程为x1。
∵P点到准线x1的距离等于P点到F（1，0）的距离，
∴问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到A（-1，1）的距离与P到F（1，0）的距
离之和最小。
y
显然P是AF的连线与抛物线的交点，
最小值为
AF5
A

P

（2
）同理
PF
与
P点到准线的距离相等，如图：
过B做BQ⊥准线于Q点，交抛物线与P
1
点。


∵
PQPF
，

11
∴
PBPFPBPQBQ。
114
∴PBPF
的最小值是
4。

OFx
题型三利用函数思想求抛物线中的最值问题
方法思路：函数思想、数形结合思想是解决解析几何问题的两种重要的思想方法。
【例7】已知抛物线y＝x
2
，动弦AB的长为2，求AB的中点纵坐标的最小值。
分析一：要求AB中点纵坐标最小值，可求出y
1
＋y
2
的最小值， 从形式上看变量较，多
结合图形可以观y
1
、y
2
是梯形ABCD 的两底，这样使得中点纵坐标y成为中位线，可 到察
以利用几何图形的性质和抛物线定义求解。
解法一：设A(x
1
,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x,y)
2
,准线方
由抛物线方程y＝x知焦点F(0,1)

2
知焦点F(0,1)
程
4
1
y，设点A、B、M到准线的距离分别为|AD
1
|、
4
|BC
1
|、|MN|，则|AD
1
|＋|BC
1
|＝2|MN| ，且
1
MN=2(y，+根据抛)物线的定义，有|AD
1
|＝|AF|、
4
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|BC1|＝
|BF|,∴
＝|AF|＋|BF|≥|AB|＝
1

2(y+)
2，
4
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1

∴
2(y+)2
4
3

3

∴y ,即点M纵坐标的最小值为
。
4 4
分析二：要求AB中点M的纵坐标y的最小值，可列出y关于某一变量的函数，然后求
此函数的最小值。
22
2
),B(b,b)，AB的中点为M(x，y)，则

上点A(a,a
解法二：设抛物线y＝x
2
2b

aba
x,y
2
2
2
2
2
)＝4，则(a＋b)
2 2
2
2
22

∵|AB|＝2，∴(a―b)
＋(a －4ab＋(a ) b
―b
＋b －4a＝4
2222 22 2

则2x＝a＋b,2y＝a＋b,得ab＝2x－y,∴4x―4(2x ―y)＋4y―4(2x ―y)＝4

2

1
整理得
yx
2
4x
1

1

2

1

1

1

1

1

y 1) 2 1
2
(4x
4 4 4 4
1
4
4x
3

4
即点M纵坐标的最小值为34。
练习：
2
1、以y=±x为渐近线的双曲线的方程是（）
3
22
2=6Ｂ、9y2=36
222
2=1C、3y=1D、9y
Ａ、3y―2x―8x―2x―4x

【答案D】解析：A的渐近线为
y=
2
22

x
，
B的渐近线为 y= x
3 3
2
y=
3
x，只有D的渐近线符合题意。

C的渐近线为
2、若双曲线
221
xy的左支上一点P（a，b）到直线y=x的距离为2，则a+b的值为
（）
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1

A、 B、
2 2
【答案A】解析：∵P在双曲线上，
1

C、2D、2
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∴
221
ab即（a+b）（a-b）=1
又P（a，b）到直线y=x的距离为2

ab

且ab
∴2
2
即ab2

∴a+b=

1
2
3、如果抛物线的顶点在原点、对称轴为x轴，焦点在直线3x4y120上，那么抛物线
的方程是（）

A、
216 212
yxB、 yx

C、
216 212
yxD、 yx
【答案C】解析：令x=0得y=－3，令y=0得x=4，
∴直线3x4y120与坐标轴的交点为（0，-3），（4，0）。
∴焦点为（0，-3），（4，0）。

∴抛物线方程为
212 216
xy
或
yx
。

4、若抛物线y=

1

4
x
2
上一点P到焦点F的距离为5，则P点的坐标是

A.（4，±4）B.（±4，4）C.（

79

79

）D.（±

79

79

16
，±
8 8
，
16
）
【答案B】解析：抛物线的焦点是（0，1），准线是y1，
P到焦点的距离可以转化为到准线的距离。
设P（x，y），则y=4，
∴x4y164
2
5、若点A的坐标为（3，2），F为抛物线y2x

的焦点，点P是抛物线上的一动点，则PAPF
取得最小值时点P的坐标是
（C）
1
A．（0，0）B．（1，1）C．（2，2）D．(,1)
2
【答案C】解析：抛物线焦点为F（1，0），准线方程为x1。
∵P点到准线x1的距离等于P点到F（1，0）的距离，
∴问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到A（3，2）的距离与P到F（1，0）的距
离之和最小。
显然P是A到准线的垂线与抛物线的交点，
∴P的坐标为（2，2）
6、已知A、B是抛物线
22(0)
ypxp上两点，O为坐标原点，若︱OA︱=︱OB︱，且
△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方程是（）
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3

A、x=pB、x=3pC、x=
pD、x=
2

2

2

【答案D】解析：设A（
y
，y），B（
y
，-y），

2p 2p
5

p
2
∵F（p，0）是△AOB的垂心，

∴

yy
221
ypy
2p22p


整理得

25
yp

∴
25
y

1
只有一个公共点的直线有条。
2

22
7、过点P（4，1），且与双曲线
xy
916
xp
2p2
【答案】两条
解析：因为P（4，1）位于双曲线的右支里面，故只有两条直线与双曲线有一个
公共点，分别与双曲线的两条渐近线平行。
4 4

这两条直线是：
y1(x4)和 y1(x4)
3 3

2

21
8、双曲线C与双曲线
x
2
y有共同的渐近线，且过点A(2,-2)，则C的两条准线之间

的距离为。
26
【答案】
3

2

2(0)
解析：设双曲线C的方程为
x
2
ykk，
将点A代入，得k=-2。

22
故双曲线C的方程为：
yx
24
∴a2，b=2,c6

2
所以两条准线之间的距离是
2a26
c3

。

1
9、已知抛物线
22(0)
ypxp，一条长为4P的弦，其两个端点在抛物线上滑动，则此弦
中点到y轴的最小距离是
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3

【答案】
p
2
解析：设动弦两个端点为A、B，中点为C，作AA’，BB’，CC’垂直于准线的垂线，垂
足分别为A’、B’、C’，连接AF、BF，由抛物线定义可知，︱AF︱=︱AA’︱，
︱BF︱=︱BB’︱
∵CC′是梯形ABB′A′的中位线


∴︱CC′︱=
1

(AA')BB')=
2
1

(AF)BF)
2
1

AB=2p
2
p3

2p-
22
当AB经过点F时取等号，所以C点到y轴的距离最小值为

p。
10、抛物线
212
yx
的一条弦的中点为
M(2,3)，则此弦所在的直线方程是。
【答案】2x-y+1=0
解析：设此弦所在的直线l方程为y3k(x2)，
l 与抛物线的交点坐标分别是A(x
1
,y
1
),B(x
2
, y
2
),
则
x
1
x
2
4
将l的方程代入抛物线方程整理得
22(4612)(23)0
kxkkxk

由韦达定理得
xx
122
解得k2
∴此直线方程为y32(x2)即2x-y+1=0
11、已知双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，离心率为
解：由题意知，2c16c8

c

又
e
a
22228bca
22
yx
3628

22
12、已知双曲线
xy
221(a0,b0)
ab

3

的直线与原点的距离为 。
2
（1）求双曲线的方程；
（2）直线ykxm(k0,m0)与该双曲线交于不同的两点C、D，且C、D两点都在

2
的离心率
e3，过点A(0,b)和B（a，0）
3

1
4

3

a6
4

，求双曲线的方
3
程。
2
(4k6k12)
k
4

22

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以A为圆心的同一圆上，求m的取值范围。
2

4
2
b
1
e
2
3
a
解：（1）由题设，得
ab3
22
2
ab



23
解得
a，

21
b

2

21
∴双曲线的方程为
x
3
y。
（2）把直线方程ykxm代入双曲线方程，
222

并整理得
(13k)x6kmx3m30
因为直线与双曲线交于不同的两点，
∴
22

12m1236k0①
设
C(x,y)，

D(x,y)

11 22
6km
则x
1
x
2
2
13k
2m

，y
1
y
2
k(x
1
x
2
)2m2
13k
设CD的中点为
P(x,y)，
00
xx yy

其中
12 12
x， y，
02 02
3km

m

则 ，
y
x
2
013
02
13k
k

m
1
2
依题意，AP⊥CD，∴
k
AP
13k
3kmk
2
13k
2

整理得
3k4m1②
将②式代入①式得

240
mm
∴m＞4或m＜0

2
又
3k4m10，即

m
1

4
1

m0。
4
1
∴m的取值范围为m＞4或
13、已知点A（2，8），B（x
1
，y1
），C（x
2
，y
2
）在抛物线
22
ypx
上，△
ABC的重心与此抛
物线的焦点F重合（如图）
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（1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；
（2）求线段BC中点M的坐标；
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（3）求BC所在直线的方程.（12分）
解：（1）由点A（2，8）在抛物线
22
ypx上，
2

有
82p2，解得p=16.所以抛物线方程为
焦点F的坐标为（8，0）.
（2）如图，由于F（8，0）是△ABC的重心，
M是BC的中点，所以F是线段AM的
AF
，设点M的坐标为(x
0
,y
0
)，则

定比分点，且2
FM

22x82y

00
，解得
x
0
11,y
0
4，
8,0
1212
所以点M的坐标为（11，－4）．
（3）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在
的直线不垂直于x轴.设BC所在直线的方程为：y4k(x11)(k0).
y4k(x11) 23232(114)0
，消x得
kyyk，
32

yy

，由（2）的结论得
124
k
2

，解得k4.
232
yx，
由
2
y32x

所以
yy
12
∴BC所在直线的方程是y44(x11)即4xy400。
1

1

2
－4交于A、B两点,线段AB的垂直平分线与直线

14、如图,直线y=
x与抛物线y=
2 8
x
y=－5交于Q点.
（1）求点Q的坐标；
（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含A、B）的动点时,求ΔOPQ面积的最大值.
（14分）
1

yx
2
1
yx
8
4
2
解：(1)解方程组

x

得
1
y
1
4

x

8

或
2
2 4
y
2
即A(－4,－2),B(8,4),从而AB的中点为M(2,1).
1

，直线AB的垂直平分线方
由
k=
AB
2
程
y－1=-2(x－2).令y=－5,得x=5,∴Q(5,－5)．

(2)直线OQ的方程为x+y=0,设P(x,
∵点P到直线OQ的距离
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1
2
8
x4)
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1
xx4
81
2
2
d==x8x32,OQ52
282
∴SΔOPQ=1

2
OQd=

5

2
16
x8x32.
∵P为抛物线上位于线段AB下方的点,且P不在直线OQ上,
∴－4≤x<43
－
4或43
－
4∵函数y=x2+8x－32在区间[－4,8]上单调递增,∴当x=8时,ΔOPQ的面积取到最大
30． 为值
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