黄金指标公式重点高中数学经典高考难题集锦(解析版)

2015年10月18日姚杰的高中数学组卷

一．解答题（共10小题）
1．（2012?宣威市校级模拟）设点C为曲线（x＞0）上任一点，以点C为圆心的圆与x
轴交于点E、A，与y轴交于点E、B．
（1）证明多边形EACB的面积是定值，并求这个定值；
（2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，若|EM|=|EN|，求圆C的方程．
22
2．（2010?江苏模拟）已知直线l：y=k（x+2）与圆O：x+y=4相交于A、B两点 ，O是
坐标原点，三角形ABO的面积为S．
（Ⅰ）试将S表示成的函数S（k），并求出它的定义域；
（Ⅱ）求S的最大值，并求取得最大值时k的值．
3．（2013?越秀区校级模拟）已知圆 满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，
其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x﹣2 y=0的距离为．求该圆的方程．
4．（2013?柯城区校级三模）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1）．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
22
（Ⅱ）是否存在直线l：y=kx+t，与圆x+ （y+1）=1相切且与抛物线交于不同的两点M，
N，当∠MON为钝角时，有S
△MON< br>=48成立？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明
理由．
5．（2009?福建）（1）已知矩阵M
5），试求M的逆矩阵及点A的坐标．
（2）已知直线l：3x+4y﹣12=0与圆C：（θ为参数 ）试判断他们的公共
所对应的线性变换把点A（x，y）变成点A′（13，
点个数；
（3）解不等式|2x﹣1|＜|x|+1．
22
6．（2009?东城区一模）如 图，已知定圆C：x+（y﹣3）=4，定直线m：x+3y+6=0，过A
（﹣1，0）的一条动直线 l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．
（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C；
（Ⅱ）当时，求直线l的方程；
（Ⅲ）设t=，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理
由．
22
7．（2009?天河区校级模拟）已知圆C：（x+4）+y=4，圆D的圆心D在y 轴上且与圆C
外切，圆D与y 轴交于A、B两点，定点P的坐标为（﹣3，0）．
（1）若点D（0，3），求∠APB的正切值；
（2）当点D在y轴上运动时，求∠APB的最大值；
（3）在x轴上是否存在定点Q，当圆 D在y轴上运动时，∠AQB是定值？如果存在，求
出Q点坐标；如果不存在，说明理由．
2 2
8．（2007?海南）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x+y﹣12x+32=0的圆心为Q， 过点P
（0，2）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B．
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（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请
说明理由． < br>9．如图，已知圆心为O，半径为1的圆与直线l相切于点A，一动点P自切点A沿直线l
向右移 动时，取弧AC的长为，直线PC与直线AO交于点M．又知当AP=时，点
P的速度为v，求这时点M 的速度．
22
10．过原点O作圆x+y﹣2x﹣4y+4=0的任意割线交圆于P
1
，P
2
两点，求P
1
P
2
的中点P的
轨 迹．
2015年10月18日姚杰的高中数学组卷

参考答案与试题解析

一．解答题（共10小题）
1．（2012?宣威市校级模拟）设点C为曲线（x＞0）上任 一点，以点C为圆心的圆与x
轴交于点E、A，与y轴交于点E、B．
（1）证明多边形EACB的面积是定值，并求这个定值；
（2）设直线y=﹣2x+4与圆C交于点M，N，若|EM|=|EN|，求圆C的方程．
考点：直线和圆的方程的应用．
专题：计算题；压轴题．
分析：（1）由题意，由于以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A，与y轴交于点E、B，所
以先得到点E为原点，利用方程的思想设出圆心C的坐标，进而利用面积公式求解；
（2）由 于|EM|=|EN|此可以转化为点E应在线段MN的垂直平分线上，利用圆的性质
可得EC与MN垂 直建立t的方程求解即可．
解答：解：
（1）证明：点（t＞0），
因为以点C为圆心的圆与x轴交于点E、A，与y轴交于点E、B．
所以点E是直角坐标系原点，即E（0，0）．
于是圆C的方程是
．
由|CE|=|CA|=|CB|知，圆心C在Rt△AEB斜边AB上，
于是多边形EACB为Rt△AEB，
其面积．
．则
所以多边形EACB的面积是定值，这个定值是4．
（2）若|EM|=|EN |，则E在MN的垂直平分线上，即EC是MN的垂直平分线，
，k
MN
=﹣2．
所以由k
EC
?k
MN
=﹣1，得t=2，
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所以圆C的方程是（x﹣2）+（y﹣1）=5．
点评：（1）重点考查了利用方程的思想用以变量t写出圆的方程，判断出圆心O在AB上，
故四边形为直角三角形，还考查了三角形的面积公式；
（2）重点考查了垂直平分线的等价式 子，还考查了方程的求解思想，及两直线垂直
的实质解直线的斜率互为负倒数．
22
2．（2010?江苏模拟）已知直线l：y=k（x+2）与圆O：x+y=4相交于A、B两点，O是
坐标原点，三角形ABO的面积为S．
（Ⅰ）试将S表示成的函数S（k），并求出它的定义域；
（Ⅱ）求S的最大值，并求取得最大值时k的值．
考点：直线与圆的位置关系；二次函数的性质．
专题：计算题；压轴题．
分析：（Ⅰ）先求出原点到直线的距离，并利用弦长公式求出弦长，代入三角形的面积公式
进行化简．
（Ⅱ）换元后把函数S的解析式利用二次函数的性质进行配方，求出函数的最值， 注
意换元后变量范围的改变．
解答：
解：（Ⅰ）直线l方程，
原点O到l的距离为（3分）
22
弦长（5分）
?ABO面积
∵|AB|＞0，∴﹣1＜K＜1（K≠0），?
∴
（Ⅱ） 令
∴．
∴当t=时，
?
（﹣1＜k＜1且K≠0）（8分），
，
时，S
max
=2（12分）
点评：本题考查点到直线的距离公式、弦长公式的应用，以及利用二次函数的性质求函数的
最大值，注意换元中变量范围的改变．
3．（2013?越秀区校级模拟）已知圆满足：①截 y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，
其弧长的比为3：1；③圆心到直线l：x﹣2y=0的距 离为．求该圆的方程．
考点：直线与圆的位置关系．
专题：综合题；压轴题．
分析：设出圆P的圆心坐标，由圆被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，得到圆P截x
轴所得劣弧对的圆心角为90°，根据垂径定理得到圆截x轴的弦长，找出r与b的关
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系式，又根据圆与y轴的弦长为2，利用垂径定理得到r与a的关系式，两个关系式
联立得到a与b的关系式；然后利用点到直线的距离公式求出P到直线x﹣2y=0的距
离，让其等于， 得到a与b的关系式，将两个a与b的关系式联立即可求出a与b
的值，得到圆心P的坐标，然后利用a 与b的值求出圆的半径r，根据圆心和半径写
出圆的方程即可．
解答：解：设圆P的圆心为P（a，b） ，半径为r，
则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．
由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，
知圆P截x轴所得的弦长为．故r=2b
2222
又圆P被y轴所截得的弦长为2，所以有r=a+1．从而得2b﹣a=1；
又因为P（a，b）到直线x﹣2y=0的距离为，所以=，即有a﹣2b=±1，
22
由此有或
解方程组得或
2
，于是r=2b=2，
2 22
22
所求圆的方程是：（x+1）+（y+1）=2，或（x﹣1）+（y﹣1）=2．
点评：本小题主要考查轨迹的思想， 考查综合运用知识建立曲线方程的能力，是一道中档题．
4．（2013?柯城区校级三模）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，且过点（2，1）．
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
22
（Ⅱ）是否存在直线l：y=kx+t，与圆x+ （y+1）=1相切且与抛物线交于不同的两点M，
N，当∠MON为钝角时，有S
△MON< br>=48成立？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明
理由．
考点：直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算；抛物线的标准方程．
专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
Ⅰ） 设抛物线方程为x
2
=2py，把点（2，1）代入运算求得 p的值，即可求得抛物（
线的标准方程．
（Ⅱ） 由直线与圆相切可得 ．把直线方程代入抛 物线方程
并整理，由△＞0求得t的范围．利用根与系数的关系及，求得
，求得点O到直线的距 离，从而求得
，由此函数在（0，4）单调递增，故有
而得出结论．
2
解答：
：解（Ⅰ） 设抛物线方程为x=2py，
2
由已知得：2=2p，所以 p=2，
2
所以抛物线的标准方程为 x=4y．
（Ⅱ） 不存在．
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，从

因为直线与圆相切，所以
2
．
把直线方程代入抛物线方程并整理得：x﹣4kx﹣4t=0．
22
由△=16k+16t=16（t+2t）+16t＞0，得 t＞0或t＜﹣3． 设M（x
1
，y
1
），N（x
2
，y
2
），则x
1
+x
2
=4k且x
1
?x
2
=﹣4t，
∴
∵∠MON为钝角，∴
∵
，解得0＜t＜4，
，
．
点O到直线的距离为
（0，4）单调递增，
∴
，∴，易证在< br>，故不存在直线，当∠MON为钝角时，S
△MON
=48成立．
点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，两个向量的数量积公式的应用，点到直线的距离
公式，利用函数的单调性求函数的值域，属于中档题．
5．（2009?福建）（1）已知矩阵M
5），试求M的逆矩阵及点A的坐标．
（2）已知直线l：3x+4y﹣12=0与圆C：（θ为参数 ）试判断他们的公共
所对应的线性变换把点A（x，y）变成点A′（13，
点个数；
（3）解不等式|2x﹣1|＜|x|+1．
考点：直线与圆的位置关系；二阶矩阵；绝对值不等式的解法．
专题：计算题；压轴题；转化思想．
分析：（1）由矩阵的线性变换列出关于x和y的一元二次方程组，求出方程组的解集即可
得 到点A的坐标；可设出矩阵M的逆矩阵，根据逆矩阵的定义得到逆矩阵与矩阵M
的乘积等于单位矩阵，得 到一个一元二次方程组，求出方程组的解集即可得到M的
逆矩阵；
（2）把圆的参数方程化为 普通方程后，找出圆心坐标与半径，然后利用点到直线的
距离公式求出圆心到直线的距离d与半径r比较 大小得到直线与圆的位置关系，即可
得到交点的个数；
（3）分三种情况x大于等于，x大于 等于0小于和x小于0，分别化简绝对值后，
求出解集，即可得到原不等式的解集．三个题中任选两个作 答即可．
解答：
解：（1）由题意可知（x，y）=（13，5），即，
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解得，所以A（2，﹣3）；
设矩阵M的逆矩阵为，则?=，即，
且，解得a=﹣1，b=3，c=﹣1，d=2
所以矩阵M的逆矩阵为；
22
（2）把圆的参数方程化为普通方程得（x+1）+（ y﹣2）=4，圆心（﹣1，2），半径
r=2
则圆心到已知直线的距离d=
交，
所以直线与圆的公共点有两个；
（3）当x≥时，原不等式变为：2x﹣1＜x+1，解得x ＜2，所以原不等式的解集为[，
2）；
当0≤x＜时，原不等式变为：1﹣2x＜x+1， 解得x＞0，所以原不等式的解集为（0，
）；
当x＜0时，原不等式变为：1﹣2x＜﹣x+1，解得x＞0，所以原不等式无解．
综上，原不等式的解集为[0，2）．
点评：此题考查学生会求矩阵的逆矩阵及掌握矩阵的线性变换， 灵活运用点到直线的距离公
式 化简求值，掌握直线与圆的位置关系的判断方法，会利用讨论的方法求绝对值不等
式的解集，是一道综合 题．
6．（2009?东城区一模）如图，已知定圆C：x+（y﹣3）=4，定直线m：x+3y+ 6=0，过A
（﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．
（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C；
（Ⅱ）当时，求直线l的方程；
（Ⅲ ）设t=，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理
22
=＜2= r，得到直线与圆的位置关系是相
由．
考点：直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算；直线的一般式方程．
专题：压轴题．
分析：（Ⅰ）根据已知，容易写出直线l的方程为y=3（x+1） ．将圆心C（0，3）代入方程
易知l过圆心C．
（Ⅱ）过A（﹣1，0）的一条动直线l． 应当分为斜率存在和不存在两种情况；当直
线l与x轴垂直时，进行验证．当直线与x轴不垂直时，设直 线l的方程为y=k（x+1），
由于弦长，利用垂径定理，则圆心C到弦的距离|CM|=1．从而解 得斜率K
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来得出直线l的方程为．
（Ⅲ）同样，当l与x轴垂 直时，要对设t=，进行验证．当l的斜率存在时，
设直线l的方程为y=k（x+1），代入圆的方程 得到一个二次方程．充分利用“两根之和”
和“两根之积”去找．再用两根直线方程联立，去找．从而确 定t=的代数
表达式，再讨论t是否为定值．
解答：
解：（Ⅰ）由已知，故k
l
=3，
所以直线l的方程为y=3（x+1）．
将圆心C（0，3）代入方程易知l过圆心C．（3分）
（Ⅱ）当直线l与x轴垂直时，易知x=﹣1符合题意；（4分）
当直线与x轴不垂直时，设 直线l的方程为y=k（x+1），由于
所以|CM|=1．由，解得．
，
故直线l的方程为x=﹣1或4x﹣3y+4=0．（8分）
（Ⅲ）当l与x轴垂直时，易得M（﹣1，3），
又A（﹣1，0）则，，故
，
．即t=﹣5．（10
分）
222
当l的斜率存在时，设直线l的方程为y =k（x+1），代入圆的方程得（1+k）x+（2k
2
﹣6k）x+k﹣6k+5=0．
则，，
即，=．
又由得，
则．
故t=．
综上，t的值为定值，且t=﹣5．（14分）
另解一：连接CA，延长交m于点R，由（Ⅰ）知AR⊥m．又CM⊥l于M，
故△ANR∽△AMC．于是有|AM|?|AN|=|AC|?|AR|．
由
故
，得|AM|?|AN|=5．
（14分）
另解二：连接CA并延长交直线m于点B，连接CM，CN，由（Ⅰ）知AC⊥m，又
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CM⊥l，
所以四点M，C，N，B都在以CN为直径的圆上，
由相交弦定理得．（14分）
点评：（1）用直线方程时，一定要注意分为斜率存在和不存在两种情况．一般是验证特殊，
求解一般．
（2）解决直线与圆相交弦相关计算时一般采用垂径定理求解．
（3） 涉及到直线和圆、圆锥曲线问题时，常常将直线代入曲线方程得到一个一元二
次方程，再充分利用“两根 之和”和“两根之积”整体求解．这种方法通常叫做“设而不
求”．
22
7．（2009?天河区校级模拟）已知圆C：（x+4）+y=4，圆D的圆心D在y 轴上且与圆C
外切，圆D与y 轴交于A、B两点，定点P的坐标为（﹣3，0）．
（1）若点D（0，3），求∠APB的正切值；
（2）当点D在y轴上运动时，求∠APB的最大值；
（3）在x轴上是否存在定点Q，当圆 D在y轴上运动时，∠AQB是定值？如果存在，求
出Q点坐标；如果不存在，说明理由．
考直线和圆的方程的应用．
点：
专计算题；证明题；压轴题．
题： < br>22
分
（1）由已知中圆C：（x+4）+y=4，点D（0，3），我们易求出CD的 长，进而求出圆D
析：
的半径，求出A，B两点坐标后，可由tan∠APB=k
BP
得到结果．
（2）设D点坐标为（0，a），圆D半径为r，我们可以求出对应的圆D的方程和A，B
两点的坐标， 进而求出∠APB正切的表达式（含参数r），求出其最值后，即可根据正切
函数的单调性，求出∠AP B的最大值；
（3）假设存在点Q（b，0），根据∠AQB是定值，我们构造关于b的方程，若方程 有解，
则存在这样的点，若方程无实根，则不存在这样的点．
解解：（1）∵|CD|=5，
答： ∴圆D的半径r=5﹣2=3，此时A、B坐标分别为A（0，0）、B（0，6）
∴tan∠APB=k
BP
=2（3分）
22
（2）设D点坐标为 （0，a），圆D半径为r，则（r+2）=16+a，A、B的坐标分别为（0，
a﹣r），（0，a +r）
∴，
∴==

∵|r+2|≥16，
∴r≥2，
∴8r﹣6≥10，
2
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∴
∴
（3）假设存在点Q（b，0），由

．（8分）
，，得

∵a=（r+2）﹣16，
∴
2
22
欲使∠AQB的大小与r无关，则当且仅当b=12，即
此时有，即得∠AQB=60°为定值，
，
故存在或，使∠AQB为定值60°．（13分）
22
点
本题 考查的知识点是直线和圆的方程的应用，其中根据已知中圆C：（x+4）+y=4，圆
评： D的圆心D在y 轴上且与圆C外切，圆D与y 轴交于A、B两点，确定圆D的方程，
进而求出A，B的方程是解答本题的关键．
22
8．（2007?海南）在平面直角坐标系xOy中，已知圆x+y﹣12x+32=0的圆心为Q，过点P< br>（0，2）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请
说明理由．
考点：直线和圆的方程的应用；向量的共线定理．
专题：计算题；压轴题．
分析：（Ⅰ）先把圆的方程整理成标准方程，进而求得圆心，设出直线方程代入圆方程整理
后，根据判别式大于0求得k 的范围，
（Ⅱ）A（x
1
，y
1< br>），B（x
2
，y
2
），根据（1）中的方程和韦达定理可求得x1
+x
2
的表达
式，根据直线方程可求得y
1
+y2
的表达式，进而根据以与共线可推知（x
1
+x
2
）
=﹣3（y
1
+y
2
），进而求得k，根据（1）k的范围可知，k不符合题 意．
22
解答：
解：（Ⅰ）圆的方程可写成（x﹣6）+y=4，所以圆心为Q（6，0），过P（0，2）
且斜率为k的直线方程为y=kx+2．
22
代入圆方程得x+（kx+2）﹣12x+32=0，
22
整理得（1+k）x+4（k﹣3）x+36=0． ①
2222
直线 与圆交于两个不同的点A，B等价于△=[4（k﹣3）
]﹣4×36（1+k
）=4（﹣8k
﹣6k）＞0，
解得，即k的取值范围为．
， （Ⅱ）设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），则
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由方程①，
又y
1
+y
2
=k（x
1< br>+x
2
）+4． ③
而
所以与
②
．
共 线等价于（x
1
+x
2
）=﹣3（y
1
+y
2），
．
，故没有符合题意的常数k．
将②③代入上式，解得
由（Ⅰ ）知
点评：本题主要考查了直线与圆的方程的综合运用．常需要把直线方程与圆的方程联立，利
用韦达定理和判别式求得问题的解．
9．如图，已知圆心为O，半径为1的圆与直线l相切于 点A，一动点P自切点A沿直线l
向右移动时，取弧AC的长为，直线PC与直线AO交于点M．又知当 AP=时，点
P的速度为v，求这时点M的速度．
考点：直线与圆的位置关系．
专题：压轴题．
分析：设AP的长为x，AM的长为y，用x表示y，并用复合函数求导法则对时间t进行求
导．
解答：解：如图，作CD⊥AM，并设AP=x，AM=y，∠COA=θ，
由题意弧AC的长为，半径OC=1，可知θ=
．
，考虑θ∈（0，π）．
∵△APM∽△DCM，∴
∵DM=y﹣（1﹣cos），DC=sin，∴
∴．
上式两边对时间t进行求导，则y′
t
=y′
x
?x′
t< br>．
∴y′
t
=
当时，x′
t
=v，代入上式得点M的速度．
点评：本题是难度较大题目，考查了弦长、弧度、相似、特别是复合函数的导数，以及导数
的几何意义；
同时也考查了逻辑思维能力和计算能力．
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10．过原点O作圆x+y﹣2x﹣4y+4=0的任意割线交圆于P
1
，P
2< br>两点，求P
1
P
2
的中点P的
轨迹．
考点：直线与圆的位置关系；轨迹方程．
专题：计算题；压轴题；数形结合．
22
分析：
割线OP
1
P
2
的直线方程为y=k x与圆的方程联立得（1+k）x﹣2（1+2k）x+4=0，设
再由韦达定理得：，因为P是P1
P
2
的中点，所以
22
，再由P点在直线y=kx上，得到< br>注意范围．
解答：
：设割线OP
1
P
2
的直线方程为y=kx代入圆的方程， 解
222
得：x+kx﹣2x﹣4kx+4=0
22
即（1+k）x﹣2（1+2k）x+4=0
设两根为x
1
，x
2
即直线与圆的两交点的横坐标；
由韦达定理得：
又设P点的坐标是（x，y）
P是P
1
P
2
的中点，所以
又P点在直线y=kx上，
∴，代入上式得

，代入上式得整理即可．要
两端乘以
即x+y=x+2y
22
，得
（0＜x＜）
这是一个一点为中心，以为半径的圆弧，
所求轨迹是这个圆在所给圆内的一段弧．
点评：本题主要考查直线与圆的位置关系，韦达定理，中点坐标公式及点的轨迹方程．
考点卡片

1．二次函数的性质
【知识点的认识】
其 性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中
学的抛物线的焦点、准 线和曲线的平移．
【解题方法点拨】
以y=ax+bx+c为例：
2
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①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜ 0）时，图象开口向上（向下）；对
称轴x=﹣；最值为：f（﹣）；判别式△=b﹣4ac，当△=0 时，函数与x轴只有一个交
2
点；△＞0时，与x轴有两个交点；当△＜0时无交点．
②根与系数的关系．若△≥0，且x
1
、x
2
为方程y= ax+bx+c的两根，则有x
1
+x
2
=﹣，
x
1
?x
2
=；
③二次函数其实也就是抛物线，所以x=2py的焦点为（ 0，），准线方程为y=﹣，
含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．
④平移：当y=a（x+b）+c向右平移一个单位时，函数变成y=a（x﹣1+b）+c；
2
例题：y=2x+x﹣3
那么由2＞0，可知抛物线开口向上，对称轴 为x=﹣，最小值为f（﹣）=﹣
△=1+24=25＞0，故方程2x
+x﹣3=0有两个根 ，其满足x
1
+x
2
=﹣；x
1
?x
2
= ﹣；
另外，方程可以写成（y+
2
2
22
2
2，；
）=2（x+），当沿x轴向右，在向下平移
2
时，就变
成y=2x ；
【命题方向】
重点关注高中所学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．另外在解析几何当做要灵活运
用韦达定理．
2．向量的共线定理
【概念】
共线向量又叫平行向量，指的是方向相同或方向相反的向量．
【定理】
假设向量 =（1，2），向量=（2，4），则=2，那么向量与向量平行，且有1×4
﹣2×2=0，即当向量 =（x
1
，y
1
）与向量=（x
2
，y
2
）平行时，有x
1
?y
2
﹣x
2
?y
1
= 0，这也是
两向量平行的充要条件．
【例题解析】
例：设与是两个不共线的向量，且向量
解；∵向量与
与共线，则λ= ﹣0.5 ．
=k（） 共线，∴存在常数k，使得
∴2=k．﹣1=λk
解得，λ=﹣0.5
故答案为﹣0.5．
根据向量共线的充要条件，若向量
解出λ即可．
【考点分析】
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与共线，就能得到含λ的等式，

向量共线定理和向量垂直定理是向量里面最重要的两个定理，要学会应用这两个定理
去判别向量之间的关 系．
3．平面向量数量积的运算
【平面向量数量积的运算】
平面向量数 量积运算的一般定理为①（±）=
=
2
22
±2?+
2
．② （﹣）（+）
﹣
2
．③?（?）≠（?）?，从这里可以看出它的运算法则和数的运算 法则有些
是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn=nm”类比得到“< br>②“（m+n）t=mt+nt”类比得到“（
③“t≠0，mt=nt?m=n”类比得到“< br>④“|m?n|=|m|?|n|”类比得到“||=||?||”；
）?=”；
”
）?=
?
”；
”；
⑤“（m?n）t=m（n?t）”类比得到“（
⑥“”类比得到． 以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn=nm”类比得到“
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t=mt+nt”类比得到“（
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt=nt?m=n”不能类比得到“
即③错误；
∵||≠||?||，
|=||?||”；
?”，
）?=”，
”，
∴“|m?n|=|m|?|n|”不能类比得到“|
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m?n）t=m（n?t）”不能类比得到“（）?=”，
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即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn=n m”类比得到“
配律，故“（m+n）t=mt+nt”类比得到“（
元律，故“t≠0，mt =nt?m=n”不能类比得到“
“|m?n|=|m|?|n|”不能类比得到“|
（n?t ）”不能类比得到“（
）?=
?
”；向量的数量积满足分
”；向量的数量积不 满足消
”；||≠||?||，故
|=||?||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m? n）t=m
）?=”；向量的数量积不满足消元律，故”
不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多 ，也是一个常考
点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
4．直线的一般式方程
【直线的一般式方程】
直线方程表示的是只有一 个自变量，自变量的次数为一次，且因变量随着自变量的变
化而变化．直线的一般方程的表达式是ay+ bx+c=0．
5．轨迹方程
【知识点的认识】
1．曲线的方程和方程的曲线
在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对（x，y）表示，这就
是 动点的坐标．当点按某种规律运动形成曲线时，动点坐标（x，y）中的变量x、y存在着
某种制约关系 ，这种制约关系反映到代数中，就是含有变量x、y的方程．
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C （看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与
一个二元方程f（x，y）=0的实数解建立了如下的 关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线．
2．求曲线方程的一般步骤（直接法）
（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任一点M的坐标；
（2）列式：写出适合条件p的点M的集合{M|p（M）}；
（3）代入：用坐标表示出条件p（M），列出方程f（x，y）=0；
（4）化简：化方程f（x，y）=0为最简形式；
（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点
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【常用解法】
（1）直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有 关公式（如
两点间的距离公式、点到直线的距离公式、夹角公式等）进行整理、化简．这种求轨迹方程< br>的过程不需要特殊的技巧．
（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆 、双曲线、抛物线、圆
等），可用定义直接探求．关键是条件的转化，即转化为某一基本轨迹的定义条件 ．
（3）相关点法：用所求动点P的坐标（x，y）表示已知动点M的坐标（x
0
， y
0
），即得到
x
0
=f（x，y），y
0
=g（ x，y），再将x
0
，y
0
代入M满足的条件F（x
0
，y
0
）=0中，即得所求．一
般地，定比分点问题、对称问题可用相关点法求解，相关点 法的一般步骤是：设点→转换→
代入→化简．
（4）待定系数法
（5）参数法
（6）交轨法．
6．直线与圆的位置关系
【知识点的认识】
1．直线与圆的位置关系
2．判断直线与圆的位置关系的方法
222
直线 Ax+By+C=0与圆（x﹣a）+（y﹣b）=r（r＞0）的位置关系的判断方法：
（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．
圆心到直线的距离d=
①相交：d＜r
②相切：d=r
③相离：d＞r
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由
①相交：△＞0
②相切：△=0
③相离：△＜0．
7．直线和圆的方程的应用
【知识点的知识】
1、直线方程的形式：
2、圆的方程：
（1）圆的标准方程：
（x﹣a）+（y﹣b）=r（r＞0），其中圆心C（a，b），半径为r．
222
特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：x+y=r．
其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．
（2）圆的一般方程：
2222
x+y+Dx+Ey+F=0（D+E﹣4F＞0）
其中圆心（﹣，﹣），半径r=．
222
消元，得到一元二次方程的判别式△
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8．抛物线的标准方程
【知识点的认识】
抛物线的标准方程的四种种形式：
（1）y=2px，焦点在x轴上，焦点坐标为F（，0），（p可为正负）
（2）x=2py，焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，），（p可为正负）
四种形式相同点：形状、大小相同；
四种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
下面以两种形式做简单的介绍：
22
标准方程
y=2px（p＞0），焦点在x轴上 x=2py（p＞0），焦点在y轴上

图形
顶点
对称轴
焦点
焦距
离心率
准线
（0，0）
x轴
焦点在x轴长上
（，0）
无
e=1
x=﹣
（0，0）
y轴
焦点在y轴长上
（0，）
无
e=1
y=﹣
2
2
9．二阶矩阵
【知识点的知识】
1、矩阵
由m ×n个数a（2，…，m；j=1，2，…，n）排成的m行n列的数表
ij
i=1，
称为m行n列矩阵，简称m×n矩阵．为表示这个数是一个整体，总是加一个括弧，并用大
写黑体字母表 示它，记作 这m×n个数称为矩阵A的元素，
简称为元，数a
ij
位于矩阵的第i行 第j列，称为矩阵的（i，j）元．以数a
ij
为（i，j）元的
矩阵可简记作（a< br>ij
）或（a
ij
）
m×n
．矩阵A也记作A
m×n
．
注意：
①矩阵的记号是在数表外加上括弧，与行列式的记号（在数表外加上双竖 线）是不同的，
这是两个不同的概念．
②矩阵的行数和列数不一定相等．
2．二阶矩阵
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由四个数a，b，c，d排成的正方形 数表称为二阶矩阵，其中称为矩阵的元素，
矩阵通常用大写字母A，B，C，…或（aij）表示（其中 i，j分别为元素aij所在的行和列）．
2．矩阵的乘法
行矩阵[a
11
a
12
]与列矩阵的乘法规则为，二阶矩阵
与列矩 阵的乘法规则为=．矩阵乘法满足结合律，不满足交
换律和消去律．
10．绝对值不等式的解法
【知识点的认识】
绝对值不等式的解法
1、绝对值不等式|x|＞a与|x|＜a的解集
a=0
不等式 a＞0 a＜0
? ?
|x|＜a {x|﹣a＜x＜a}
{x|x≠0}
R
|x|＞a {x|x＞a，或x＜﹣a}
2、|ax+b|≤c（c＞0）和|ax+b|≥c（c＞0）型不等式的解法：
（1）|ax+b|≤c?﹣c≤ax+b≤c；
（2）|ax+b|≥c?ax+b≥c或ax+b≤﹣c；
（3）|x﹣a|+|x﹣b|≥c（c＞0）和|x﹣a|+|x﹣b|≤c（c＞0）型不等式的解法：
方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．
方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
【解题方法点拨】
1、解绝对值不等式的基本方法：
（1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（2）当不 等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通
不等式；
（3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解．
2．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉 绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式
（组）进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用 零点分段法求解，对于形如|x﹣
a|+|x﹣b|＞m或|x﹣a|+|x﹣b|＜m （m为正常数），利用实数绝对值的几何意义求解较简便．
3．不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c的 解就是数轴上到A（a），B（b）两点的距离之和不小于c的点所
对应的实数，只要在数轴上确定出具 有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．
4．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+ |b|，右侧“=”成立的条件是ab≥0，左侧“=”成立的条件是ab≤0且
|a|≥|b|；不等 式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab≤0，左侧“=”成立的条件是 ab≥0
且|a|≥|b|．

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