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解圆锥曲线问题常用方法
部门: xxx
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专题:解圆锥曲线问题常用方法<一)
【学习要点】
解圆锥曲线问题常用以下方法:
1、定义法
<1)椭圆有两种定义。第一定义中,r1+r2=2a。第二定义中,r1=ed1
r2=ed2。
<2)双曲线有两种定义。第一定义中,,当r1>r2时 ,注意r2
的最小值为c-a:第二定义中,r1=ed1,r2=ed2,尤其应注意第二定义的应< br>用,常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。b5E2RGbCAP
< 3)抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,很多抛
物线问题用定义解决更直接简明 。
2、韦达定理法
因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二 次的,故直线与圆锥曲线的
问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理
及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问
题,可用韦达定理直 接解决,但应注意不要忽视判别式的作用。p1EanqFDPw
3、解读几何的运 算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过
渡使问题得以解决,这种方法称为“设而不求法” 。设而不求法对于直线与圆
锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法”,即设弦的两个端点
A(x1,y1>,B(x2,y2>,弦AB中点为M(x0,y0>,将点A、B坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关系,这是一种常见的“设而不求”法,
具体有:DXDiTa 9E3d
<1)
有。
与直线相交于A、B,设弦AB中点为M(x0,y0>,则
<2)
则有
与直线l相交于A、B,设弦AB中点为M(x0,y0>
<3 )y2=2px
0)与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0>,则有
2y0k=2
p,即y0k=DGiT
【典型例题】
例1、(1>抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,4
则点
P的坐标为______________5PCzVD7HxA
(2>抛物线C:
y2=4x上一点Q到点B(4,1>与到焦点F的距离和最小,则点
Q的坐标为。
分析:<1)A在抛物线外,如图,连PF,则
,因而易发现,当A、P、F三点共线时,距离和
最小。
<2)B在抛物线内,如图,作QR⊥l交于R,则当B、Q、R三点共线时,距<
br>离和最小。
解:<1)<2,)
最小,此时AF的方程
>
,<注:另一交点
>与到准线的距离和最小,
连PF,当A、P、F三点共线时,
为<
br>为(
<2)<
即 y=2(x-1>,代入y2=4x得P(2,2
>,它为
直线AF与抛物线的另一交点,舍去)jLBHrnAILg
)
最小,此
过Q作QR⊥l交于R,当B、Q、R三点共线时,
时Q点的纵坐标为1,代入y2=4x得x=,∴Q
(>xHAQX74J0X
点评:这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一
个典型
例题,请仔细体会。
例2、F是椭圆
动点。
<1)
<2)
的最小值为
的右焦点,A(1,1>为椭圆内一定点,P为椭圆上一
的最小值为
或准线作出来考虑问分析:PF为椭圆的一个焦半径,常需将另一焦半径
题。
解:<1)4-
设另一焦点为
,则(-1,0>连A,P
当P是A的延长线与椭圆的交点时,取得最小值为4-。
<2)3
作出右准线l,作PH⊥l交于H,因a2=4,b2=3,c2=1,
a=2,c=1,
e=,
∴
∴
当
A、P、H三点共线时,其和最小,最小值为
例3、动圆M与圆C1:(x+1>2+y2=36内切,
与圆C2:(x-1>2+y2=4外切,求圆
心M的轨迹方程。LDAYtRyKfE
分析:作图时,要注意相切时的“图形特征”:两
个圆心与切点这三点共线<如图中的A、M、C共
线,B、
D、M共线)。列式的主要途径是动圆的“半径等于半
径”<如图中的
解:如
图,
∴
)。Zzz6ZB2Ltk
,
∴
<*)
∴点M的轨迹为椭圆,2a=8,a=4,c=1,b2=15轨迹方程为
点评:得到方程<*)后,应直接利用椭圆的定义写出方程,而无需再用距
离公式列式求解,即
列出
于将椭圆标准方程推导了一遍,较繁琐!dvzfvkwMI1
例4、△ABC中,B(-5,0>,C(5,0>,且sinC-
sinB=sinA,求点A的轨迹方
程。
分析:由于sinA、sinB、sin
C的关系为一次齐次式,两边乘以2R
解:sinC-sinB=sinA
2RsinC-2RsinB=·2RsinA
∴
即
,再移项,平方,…相当
<*)
∴点A的轨迹为双曲线的右支<去掉顶点)
∵2a=6,2c=10
∴a=3, c=5, b=4
所求轨迹方程为
点
评:要注意利用定义直接解题,这里由<*)式直接用定义说明了轨迹<双
曲线右支)
例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动,AB中点为M,求点M
到x轴的最短距离。
分析:<1)可直接利用抛物线设点,如设A(x1,x12>,B(x2,X22>,又设
AB中点为M(x0y0>用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式,再用
函数思
想求出最短距离。EmxvxOtOco
<2)M到x轴的距离是一种“点线距离”,可先考
虑M到准线的距离,想到
用定义法。
解法一:设A(x1,x12>,B(x2,x22>,AB中点M(x0,y0>
则
①
②
③
由①得(x1-x2>2[1+(x1+x2>2]=9
即[(x1+x2>2-4x1x2]·[1+(x1+x2>2]=9 ④
由②、③得2x1x2=(2x0>2-2y0=4x02-2y0
代入④得
[(2x0>2-(8x02-4y0>]·[1+(2x0>2]=9
∴,
≥
当4x02+1=3 即
法二:如图,
∴,
即
时,此时
,
∴,
当AB经过焦点F时取得最小
值。
∴M到x轴的最短距离为
点评
:解法一是列出方程组,利用整体消元思想消x1,x2,从而形成y0关
于x0的函数,这是一种“设
而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的
定义,巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距
离,再利用梯形的中
位线,转化为A、B到准线的距离和,结合定义与三角形中两边之和大于第三
边<当三角形“压扁”时,两边之和等于第三边)的属性,简捷地求解出结果
的,但此解法中有缺点,
即没有验证AB是否能经过焦点F,而且点M的坐标也
不能直接得出。SixE2yXPq5
例6、已知椭圆过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及
,<1)求f(m>,<2)求准线从左
到右依次变于A、B、C、D、设f(m>=
f(m>的最值。6ewMyirQFL
分析:此题初看很复杂,对f(m>的结构不知如何运算,因A、B来源于“不
同系统”,A在准线上
,B在椭圆上,同样C在椭圆上,D在准线上,可见直接
求解较繁,将这些线段“投影”到x轴上,立即
可得防kavU42VRUs
此时问题已明朗化,只需用韦达定理即可。
解:<1)椭圆中,a2=m,b2=m-1,c2=1,左焦点F1(-1,0>
则BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1>x2+my2-m(m-1>=0
得(m-1>x2+m(x+1>2-m2+m=0
∴(2m-1>x2+2mx+2m-m2=0
设B(x1,y1>,C(x2,y2>,则x1+x2=-
<2)
∴当m=5时,
当m=2时,
点评:此题因最终需求
,而BC斜率已知为1,故可也用“点差法”<
br>,将
,可见
设BC中点为M(x0,y0>,通过将B、C坐标代入作差,得
y
0=x0+1,k=1代入得,∴
y6v3ALoS89
当然,解本题的关键在于对
影”发现
【同步练习】
1、已知:F1
,F2是双曲线
左支于点A、B,若
的左、右焦点,过F1作直线交双曲线
是解此题的
要点。
的认识,通过线段在x轴的“投
,△ABF2的周长为<
)M2ub6vSTnP
A、4a B、4a+m
C、4a+2m D、4a-
m0YujCfmUCw
2、若点P到点F(4,0>的距离比它到直线x+5=0的距离小1,则P点的轨
迹方程是
< )
A、y2=-16x B、y2=-32x
C、y2=16x D、
y2=32xeUts8ZQVRd
3、
已知△ABC的三边AB、BC、AC的长依次成等差数列,且,点
B、C的坐标分别为(-1,0>,
(1,0>,则顶点A的轨迹方程是< )
sQsAEJkW5T
A、
C、
B、
D、
4、过原点的椭圆的一个焦点为F(1,0>,其长轴长为4,则椭圆中心的
轨
迹方程是
< )
A、
C、
5、已知双曲线
B、
D、
上一点M的横坐标为4,则点M到左焦点的距离是
6、抛物线y=2x2截一组斜率为2的平行直线,所得弦中点的轨迹方程是
7、已
知抛物线y2=2x的弦AB所在直线过定点p(-2,0>,则弦AB中点的轨
迹方程是
8、过双曲线x2-y2=4的焦点且平行于虚轴的弦长为
9、直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的交点个数只有一个,则k=
10、设点P是椭圆
sin∠F1PF2的最大值。
11、已知椭圆的中心
在原点,焦点在x轴上,左焦点到坐标原点、右焦
点、右准线的距离依次成等差数列,若直线l与此椭圆
相交于A、B两点,且
AB中点M为(-2,1>,
12、已知直线l和双曲线
次为A
、B、C、D。求证:
【参考答案】
1、C
,
∴
2、C
点P到F与到x+4=0等距离,P点轨迹为抛物线
p=8开口向右,则方程为
y2=16x,选C
3、D
∵,且
选C
。
,求直线l的方程和椭圆方程。GMsIasNXkA
及其渐近线的交点从左到右依
上的动点,F1,F2是椭圆的两个焦点,求
∵点A的轨迹为椭圆在y轴右方的部分、又A、B、C三点不共线,即
y≠0,故选D。
4、A
设中心为(x,y>,则另一焦点为(2x-1,2y>,则原点到两焦点距
离和为4
得
①又c,∴
∴(x-1>2+y2<4 ②,由①,②得x≠-1,选A
5、
则M到左焦点的距离为左准线为x=-,M到左准线距离为
6、
设弦为AB,A(x1,y1>,B(x2,y2>AB中点为(x,y>,
y2=2x22,y1-
y2=2(x12-x22>TIrRGchYzg
∴∴2=2·2x,
将代入y=2x2得,轨迹方程是(y>>
7、y2=x+2(x>2>
设A(x1,y1>,B(x2,y2>,AB中点M(x,y>,则
∵,∴,即y2=x+2
又弦中点在已知抛物线内P,即y2<2x,即x+2<2x,∴x>2
8、4
,令代入方程得8-y2=4
∴y2=4,y=±2,弦长为4
9、
y=kx+1代入x2-y2=1得x2-(kx+1>2-1=0
∴(1-k2>x2-2kx-2=0
①得4k2+8(1-k2>=0,k=
②1-k2=0得k=±1
10、解:a2=25,b2=9,c2=16
则y1=2x12,
设F1、F2为左、右焦点,则F1(-4,0>F2(4,0>
设
则
①
②
①2-②得2r1r2(1+cosθ>=4b2
∴1+cosθ=∵r1+r2,
∴r1r2的最大值为a2
,即1+cosθ
则当
∴1+cosθ的最小值为
cosθ,
时,sinθ取值得最大值1,
即sin∠F1PF2的最大值为1。
11、设椭圆方程为
由题意:C、2C、
∴
成等差数列,
,
∴a2=2(a2-b22DDFFF2+2222222大案要案
000>,∴a2=2b2
椭圆方程为
则
①-②得
2222222∴
即∴k=1
①
,设A(x1,y1>,B(x2,y2>
②
直线AB方程为y-1=x+2即y=x+3, 代入椭圆方程即x2+2y2-2b2=0
得
x2+2(x+3>2-2b2=07EqZcWLZNX
∴3x2+12x+18-2b2=0,
解得b2=12,
∴椭圆方程为,直线l方程为x-y+3=0
12、证明:设A(x1,y1>,D(x2,
y2>,AD中点为M(x0,y0>直线l的斜率
为k,则
①
①-
②得
②
③
设
则
,
④
⑤
⑥
均在直线上,而M、又在直线l上 ,
④-⑤得
由③、⑥知M、
若l过原点,则B、C重合于原点,命题成立
若l与x轴垂直,则由对称性知命题成立
若l不过原点且与x轴不垂直,则M与
∴
重合
申明:
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