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实用公式解圆锥曲线问题常用方法

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-12 10:32
tags:弦长公式

初中毕业学什么专业好-by的三单形式




解圆锥曲线问题常用方法

部门: xxx
时间: xxx



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专题:解圆锥曲线问题常用方法<一)
【学习要点】

解圆锥曲线问题常用以下方法:

1、定义法

<1)椭圆有两种定义。第一定义中,r1+r2=2a。第二定义中,r1=ed1
r2=ed2。

<2)双曲线有两种定义。第一定义中,,当r1>r2时 ,注意r2
的最小值为c-a:第二定义中,r1=ed1,r2=ed2,尤其应注意第二定义的应< br>用,常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。b5E2RGbCAP

< 3)抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,很多抛
物线问题用定义解决更直接简明 。

2、韦达定理法

因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二 次的,故直线与圆锥曲线的
问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理
及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问
题,可用韦达定理直 接解决,但应注意不要忽视判别式的作用。p1EanqFDPw

3、解读几何的运 算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过
渡使问题得以解决,这种方法称为“设而不求法” 。设而不求法对于直线与圆
锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法”,即设弦的两个端点
A(x1,y1>,B(x2,y2>,弦AB中点为M(x0,y0>,将点A、B坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关系,这是一种常见的“设而不求”法,
具体有:DXDiTa 9E3d

<1)
有。

与直线相交于A、B,设弦AB中点为M(x0,y0>,则
<2)
则有
与直线l相交于A、B,设弦AB中点为M(x0,y0>

<3 )y2=2px

0)与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0>,则有
2y0k=2 p,即y0k=DGiT

【典型例题】

例1、(1>抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,4
则点 P的坐标为______________5PCzVD7HxA

(2>抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1>与到焦点F的距离和最小,则点
Q的坐标为。

分析:<1)A在抛物线外,如图,连PF,则
,因而易发现,当A、P、F三点共线时,距离和
最小。

<2)B在抛物线内,如图,作QR⊥l交于R,则当B、Q、R三点共线时,距< br>离和最小。

解:<1)<2,)

最小,此时AF的方程
> ,<注:另一交点
>与到准线的距离和最小,
连PF,当A、P、F三点共线时,
为< br>为(
<2)<
即 y=2(x-1>,代入y2=4x得P(2,2
>,它为 直线AF与抛物线的另一交点,舍去)jLBHrnAILg



最小,此 过Q作QR⊥l交于R,当B、Q、R三点共线时,
时Q点的纵坐标为1,代入y2=4x得x=,∴Q (>xHAQX74J0X

点评:这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一 个典型
例题,请仔细体会。

例2、F是椭圆
动点。

<1)
<2)
的最小值为

的右焦点,A(1,1>为椭圆内一定点,P为椭圆上一
的最小值为

或准线作出来考虑问分析:PF为椭圆的一个焦半径,常需将另一焦半径
题。

解:<1)4-
设另一焦点为

,则(-1,0>连A,P


当P是A的延长线与椭圆的交点时,取得最小值为4-。

<2)3

作出右准线l,作PH⊥l交于H,因a2=4,b2=3,c2=1, a=2,c=1,
e=,






当 A、P、H三点共线时,其和最小,最小值为
例3、动圆M与圆C1:(x+1>2+y2=36内切, 与圆C2:(x-1>2+y2=4外切,求圆
心M的轨迹方程。LDAYtRyKfE
分析:作图时,要注意相切时的“图形特征”:两
个圆心与切点这三点共线<如图中的A、M、C共 线,B、
D、M共线)。列式的主要途径是动圆的“半径等于半
径”<如图中的
解:如 图,

)。Zzz6ZB2Ltk




∴ <*)

∴点M的轨迹为椭圆,2a=8,a=4,c=1,b2=15轨迹方程为

点评:得到方程<*)后,应直接利用椭圆的定义写出方程,而无需再用距
离公式列式求解,即 列出
于将椭圆标准方程推导了一遍,较繁琐!dvzfvkwMI1

例4、△ABC中,B(-5,0>,C(5,0>,且sinC- sinB=sinA,求点A的轨迹方
程。

分析:由于sinA、sinB、sin C的关系为一次齐次式,两边乘以2R接圆半径),可转化为边长的关系。rqyn14ZNX I

解:sinC-sinB=sinA 2RsinC-2RsinB=·2RsinA



,再移项,平方,…相当

<*)

∴点A的轨迹为双曲线的右支<去掉顶点)

∵2a=6,2c=10

∴a=3, c=5, b=4

所求轨迹方程为 3)

点 评:要注意利用定义直接解题,这里由<*)式直接用定义说明了轨迹<双
曲线右支)

例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动,AB中点为M,求点M
到x轴的最短距离。

分析:<1)可直接利用抛物线设点,如设A(x1,x12>,B(x2,X22>,又设
AB中点为M(x0y0>用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式,再用
函数思 想求出最短距离。EmxvxOtOco

<2)M到x轴的距离是一种“点线距离”,可先考 虑M到准线的距离,想到
用定义法。

解法一:设A(x1,x12>,B(x2,x22>,AB中点M(x0,y0>






由①得(x1-x2>2[1+(x1+x2>2]=9

即[(x1+x2>2-4x1x2]·[1+(x1+x2>2]=9 ④

由②、③得2x1x2=(2x0>2-2y0=4x02-2y0

代入④得 [(2x0>2-(8x02-4y0>]·[1+(2x0>2]=9

∴,




当4x02+1=3 即
法二:如图,
∴, 即
时,此时




∴, 当AB经过焦点F时取得最小
值。

∴M到x轴的最短距离为

点评 :解法一是列出方程组,利用整体消元思想消x1,x2,从而形成y0关
于x0的函数,这是一种“设 而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的
定义,巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距 离,再利用梯形的中
位线,转化为A、B到准线的距离和,结合定义与三角形中两边之和大于第三
边<当三角形“压扁”时,两边之和等于第三边)的属性,简捷地求解出结果
的,但此解法中有缺点, 即没有验证AB是否能经过焦点F,而且点M的坐标也
不能直接得出。SixE2yXPq5

例6、已知椭圆过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及
,<1)求f(m>,<2)求准线从左 到右依次变于A、B、C、D、设f(m>=
f(m>的最值。6ewMyirQFL

分析:此题初看很复杂,对f(m>的结构不知如何运算,因A、B来源于“不
同系统”,A在准线上 ,B在椭圆上,同样C在椭圆上,D在准线上,可见直接
求解较繁,将这些线段“投影”到x轴上,立即 可得防kavU42VRUs




此时问题已明朗化,只需用韦达定理即可。

解:<1)椭圆中,a2=m,b2=m-1,c2=1,左焦点F1(-1,0>

则BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1>x2+my2-m(m-1>=0

得(m-1>x2+m(x+1>2-m2+m=0

∴(2m-1>x2+2mx+2m-m2=0

设B(x1,y1>,C(x2,y2>,则x1+x2=-


<2)

∴当m=5时,

当m=2时,
点评:此题因最终需求

,而BC斜率已知为1,故可也用“点差法”< br>,将
,可见
设BC中点为M(x0,y0>,通过将B、C坐标代入作差,得
y 0=x0+1,k=1代入得,∴
y6v3ALoS89

当然,解本题的关键在于对
影”发现
【同步练习】

1、已知:F1 ,F2是双曲线
左支于点A、B,若
的左、右焦点,过F1作直线交双曲线
是解此题的 要点。

的认识,通过线段在x轴的“投
,△ABF2的周长为< )M2ub6vSTnP

A、4a B、4a+m C、4a+2m D、4a-
m0YujCfmUCw

2、若点P到点F(4,0>的距离比它到直线x+5=0的距离小1,则P点的轨
迹方程是


< )

A、y2=-16x B、y2=-32x C、y2=16x D、
y2=32xeUts8ZQVRd

3、 已知△ABC的三边AB、BC、AC的长依次成等差数列,且,点
B、C的坐标分别为(-1,0>, (1,0>,则顶点A的轨迹方程是< )
sQsAEJkW5T

A、
C、
B、
D、


4、过原点的椭圆的一个焦点为F(1,0>,其长轴长为4,则椭圆中心的 轨
迹方程是


< )

A、
C、
5、已知双曲线
B、
D、


上一点M的横坐标为4,则点M到左焦点的距离是

6、抛物线y=2x2截一组斜率为2的平行直线,所得弦中点的轨迹方程是

7、已 知抛物线y2=2x的弦AB所在直线过定点p(-2,0>,则弦AB中点的轨
迹方程是

8、过双曲线x2-y2=4的焦点且平行于虚轴的弦长为

9、直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的交点个数只有一个,则k=

10、设点P是椭圆
sin∠F1PF2的最大值。

11、已知椭圆的中心 在原点,焦点在x轴上,左焦点到坐标原点、右焦
点、右准线的距离依次成等差数列,若直线l与此椭圆 相交于A、B两点,且
AB中点M为(-2,1>,
12、已知直线l和双曲线
次为A 、B、C、D。求证:
【参考答案】

1、C




2、C

点P到F与到x+4=0等距离,P点轨迹为抛物线 p=8开口向右,则方程为
y2=16x,选C

3、D

∵,且
选C



,求直线l的方程和椭圆方程。GMsIasNXkA

及其渐近线的交点从左到右依
上的动点,F1,F2是椭圆的两个焦点,求

∵点A的轨迹为椭圆在y轴右方的部分、又A、B、C三点不共线,即
y≠0,故选D。

4、A

设中心为(x,y>,则另一焦点为(2x-1,2y>,则原点到两焦点距 离和为4

①又c,∴


∴(x-1>2+y2<4 ②,由①,②得x≠-1,选A

5、

则M到左焦点的距离为左准线为x=-,M到左准线距离为

6、

设弦为AB,A(x1,y1>,B(x2,y2>AB中点为(x,y>,
y2=2x22,y1- y2=2(x12-x22>TIrRGchYzg

∴∴2=2·2x,

将代入y=2x2得,轨迹方程是(y>>

7、y2=x+2(x>2>

设A(x1,y1>,B(x2,y2>,AB中点M(x,y>,则


∵,∴,即y2=x+2

又弦中点在已知抛物线内P,即y2<2x,即x+2<2x,∴x>2

8、4

,令代入方程得8-y2=4

∴y2=4,y=±2,弦长为4

9、

y=kx+1代入x2-y2=1得x2-(kx+1>2-1=0

∴(1-k2>x2-2kx-2=0

①得4k2+8(1-k2>=0,k=

②1-k2=0得k=±1

10、解:a2=25,b2=9,c2=16

则y1=2x12,
设F1、F2为左、右焦点,则F1(-4,0>F2(4,0>







①2-②得2r1r2(1+cosθ>=4b2

∴1+cosθ=∵r1+r2, ∴r1r2的最大值为a2

,即1+cosθ
则当
∴1+cosθ的最小值为
cosθ,

时,sinθ取值得最大值1,

即sin∠F1PF2的最大值为1。

11、设椭圆方程为
由题意:C、2C、


成等差数列,



∴a2=2(a2-b22DDFFF2+2222222大案要案 000>,∴a2=2b2

椭圆方程为

①-②得
2222222∴
即∴k=1


,设A(x1,y1>,B(x2,y2>





直线AB方程为y-1=x+2即y=x+3, 代入椭圆方程即x2+2y2-2b2=0 得
x2+2(x+3>2-2b2=07EqZcWLZNX

∴3x2+12x+18-2b2=0,

解得b2=12, ∴椭圆方程为,直线l方程为x-y+3=0

12、证明:设A(x1,y1>,D(x2, y2>,AD中点为M(x0,y0>直线l的斜率
为k,则


①-

②得















均在直线上,而M、又在直线l上 ,

④-⑤得
由③、⑥知M、
若l过原点,则B、C重合于原点,命题成立

若l与x轴垂直,则由对称性知命题成立

若l不过原点且与x轴不垂直,则M与

重合



申明:
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