球缺体积公式圆锥曲线中重点问题的求解策略与方法

圆锥曲线中重点问题的求解策略与方法
尹建堂
圆锥曲线中的几个重点问题久考不衰 ，且常考常新，因此，掌握其求解的基本策
略与方法是至关重要的。
一. 求曲线方程问题
求曲线方程问题的基本形式有两种：一是已知曲线的形状与位置关系求曲线方
程，即通常所说的 “求曲线方程”问题，求解的基本策略是：根据题设的“定位”
条件，合理选择曲线方程形式，根据“定 量”条件利用待定系数法建立关于特征
参数（a、b、c、e、p）的方程（组），解出有关参数，得到 所求曲线方程。二
是题设条件给出了点的运动规律，但难以判断曲线类型和方程的具体形式，即通
常所说的“求轨迹方程”问题，求解的基本策略是：分析清楚动点运动的基本规
律（动点所满足的几何 条件），把该条件坐标化，使条件坐标化的常用方法有定
义法、直接法、代点法、转移法、参数法、向量 法等。
例1. 如图1所示，抛物线
右准线和右焦点，直线
且A为OB中点。
的准线和焦点分别是双曲线的
与抛物线及双曲线在第一象限分别交于A、B两点，

图1
（1）当时，求双曲线渐近线的斜率；
（2）在（1）的条件下，若双曲线的一条渐近线在y轴上截距为
线和双曲线方程。
，求抛物
分析：（1）注意，故需求出e；
（2）由题意知双曲线方程为
根据已知条件利用特征参数a、b、c、p的关系可获解
解：（1）由，得点A（p，
）
）或A（）（舍去）
由A是OB的中点，得点B（2p，
则
由离心率及双曲线定义，得：
，且点B到准线的距离为

（2）依题意设双曲线方程为
线方程为，由渐近 线在y轴上截距为
双曲线的半焦距c＝4。
，则双曲线的一条渐近
，得，从而知
由，得
∴所求双曲线方程为
∵
∴所求抛物线方程为
评注：圆锥曲线中的特征参数a、b、c、e、p（焦点到 相应准线的距离）及其间
的关系：（椭圆取“＋”，双曲线取“－”），，反
映了圆锥曲线的本 质属性，且与坐标系的选取无关，在解决圆锥曲线的诸多问题
中起着十分重要的作用。
二. 直线与圆锥曲线位置关系问题
求解的基本策略是，将其转化为直线与圆锥曲线方程的方程组的解的问题 ，进而
转化为一元二次方程的实根问题，因而判别式、韦达定理、弦长公式、焦半径公
式的应用 ，以及设而不求、整体代入、数形结合的思想方法技巧在这里起着极为
重要的作用。
例2. 直线与双曲线相交于不同两点A、B。
（1）以AB为直径的圆恰好过原点，求k的值。
（2）是否存在k，使A、B两点关于直线
存在，请说明理由。
分析：（1）所给圆过原点的条件为
的方程；（2）用假设法求解。
解：（1）将代入

依题意知
或
，由，得或
对称？若存在 ，求出k值；若不
（C为AB中点），将其转化为k
，消去y，得：
设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），AB中点C（ x
0
，y
0
），由韦达定理，得

于是
即C（）
，由两点距离公式及因以AB为直径的圆过原点，则在Rt△AOB中，
弦长公式，得：

化简，得，解得或（舍去）
（2）假设存在k，使A、B关于直线
于是且 AB中点在直线
对称，则直线
上。
垂直平分线段AB，
由与

联立，消去y，得：
由韦达定理、中点公式，可得AB中点C（
显然点C不在直线
）
上，故满足条件的k不存在。
评注：（1）中要注意圆锥曲线与直线方程联立得到相应的一元 二次方程的二次
项系数，对它们交点个数的影响；（2）属探索型问题，也是高考中的常见题型，
基本解法有假设法、反证法。
三. 最值问题
求解的基本策略有二：一是从几何角度考虑 ，当题目中的条件和结论明显体现几
何特征及意义时，可用图形性质来解；二是从代数角度考虑，当题中 的条件和结
论体现出一种明显的函数关系时，可通过建立目标函数，求其目标函数的最值，
求函 数最值的常用方法有：一元二次函数法、基本不等式法、判别式法、定义法、
函数单调性法等。
例3. 已知O为坐标原点，A、B为抛物线
，试求m的最小值。
上的点，设

图2
分析：设AB与x轴交点为M（t，0），则可根据题设条件利用向量数量积建立
目标函数。
解：如图2，设AB交x轴于点M（t，0），A（x
1
，y
1
）， B（x
2
，y
2
）。当AB与
x轴斜交时，设AB：
由
当
，得
轴时，上面结论仍成立。



由已知条件
得

当t＝p时，
评注：选取自变量t是关键，这是一道立意新颖、涉及知识点多且难度适中的好
题。
四. 参数范围问题
求解的基本策略是构建以待定参数为主元的关系式。常用方法有：不等式 法（列
出关于待定参数的不等式组，解得待定参数的范围），函数法。
例4. 如图3，抛物 线的一段与椭圆的一段围成封闭图形，点
N（1，0）在x轴上，又A、B两点分别在抛物线及椭圆上， 且ABx轴，求△NAB
的周长
l
的取值范围。

图3
分析：利用
l
与抛物线的准线和椭圆右准线之间的距离关系是求解的关键。
解：易知N为抛物线的焦点，又为椭圆的右焦点，抛物线的准线
于C，过B作于D，则，椭圆的右准线， 过A作
C、A、B、D在同一条与x轴平行的直线上。
由，得抛物线与椭圆的交点M的横坐标
而
∴△NAB的周长




，即
，即
l
的取值范围为（

，4）