长上影线选股公式选修2-1数学复习资料

数学
第二章
知识点一：圆锥曲线的统一定义
椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线。

平面内，到一定点的距离与它到一条定直线（不经过定点）的距离之比是常数e的点的< br>轨迹叫做圆锥曲线。定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数叫做离心率。
①e∈（0，1）时轨迹是椭圆；
②e=1时轨迹是抛物线；
③e∈（1，+∞）时轨迹是双曲线。

知识点二：圆锥曲线的标准方程和几何性质
1．椭圆：

(1)定义： 平面内到两个定点F
1
、F
2
的距离之和等于常数(大于|F
1F
2
|)的点的轨迹叫椭圆，
这两个定点
叫焦点．
(2)标准方程
当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
(3)椭圆
范围：，
的的简单几何性质:
，
对称性：关于x轴、y轴和原点对称
焦点
长轴长=
，顶点
，短轴长=
、
，焦距＝
，
，
离心率是

2．双曲线
，准线方程是；
(1)定义：平面内与两个定 点F
1
、F
2
的距离的差的绝对值等于常数(小于|F
1
F
2
|)的点的轨
迹叫做双曲
线,这两个定点叫双曲线的焦点．
(2)标准方程
当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：
；
，其中
当焦点在
.
轴上时，双曲线的标准方程：，其中
(3)双曲线
范围：，
的简单几何性质
；
对称性：关于x轴、y轴和原点对称
焦点
实轴长=
，顶点
，虚轴长=
，
，焦距＝；
离心率是，准线方程是；
渐近线：

3．抛物线
.
(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线
l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定
点F叫做抛物线的
焦点，定直线
l
叫做抛物线的准线．
(2)标准方程
四种形式：
(3)抛物线
范围：，
，，
的几何性质
，
，。
对称性：关于x轴对称
焦点，顶点，
对称性：关于x轴对称
离心率：

，准线方程是；
知识点三：直线和圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线有三种位置关系：相交，相切，相离。
1．直线与圆锥曲线C的位置关系
判断直线与圆锥曲线C的位置关系时，将直线的方程代入曲线C的方程，消去y（也
可消去x）得一个关 于变量x（或y）的一元二次方程ax+bx+c=0。
①当a≠0时，
若Δ＞0，则与C相交；
若Δ=0，则与C相切；
若Δ＜0，则有与C相离。
②当a=0时，即得到一个一次方程，若方程有解，则直线与C相交，此时只有一个公
共点
若C为双曲线，则平行于双曲线的渐近线；
若C为抛物线，则平行于抛物线的对称轴。
注意：当直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时，直线和双曲线、抛物线可能相切，
也可能相交。

2．直线被圆锥曲线截得的弦长公式：
，，则

2
斜率为k的直线被圆锥曲线截得弦AB，设
弦长公式：
当时, 弦长公式还可以写成：
注意：利用这个公式求弦长时，应注意应用韦达定理。

知识点四：曲线的方程和方程的曲线的关系
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线
上的点与一个二元方程
（1）曲线
（2）以方程
那么，方程


（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）
的实数解建立了如下的关系：
的解；
上.
叫做方程的曲线.
上所有点的坐标都是方程
的解为坐标的点都在曲线
叫做曲线的方程；曲线
知识点五：求曲线的方程
1．坐标法的定义：

在直角坐标系中，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线
上点 的坐标（x，y）所满足的方程
究曲线的性质.这就是坐标法.

2．坐标法求曲线方程的步骤：
表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研
建系 →设点→点满足的几何条件坐标化→整理化简成最简形式→证明（可省略，但必须
删去增加的或者补上丢 失的解）

3．求轨迹方程的常用方法：
直接法、定义法、代入法、参数法等。

规律方法指导

1．三种圆锥曲线定义、标准方程及简单几何性质的对比
椭圆 双曲线

抛物线
1．到两定点F
1
、F
2
的距离之和1．到两定点 F
1
、F
2
的距离之差
为定值2a（2a＞|F
1
F
2
|）的点
的轨迹
定义
2．与定点和定直线的距离之2．与定点和定直线的距离之比与定点和定直线的距
比为定值e的点的轨迹（0＜e为定值e的点的轨迹（e＞1） 离相等的点的轨迹
＜1）
的绝对值的为定值2a（0＜2a
＜|F
1
F
2
|）的点的轨迹
图形

标
准
方
方
程
程
参
数
方
程
范围
中心
角）
（参数为离心
角）
（参数为离心
（t为参数）




，
原点O（0，0）
（a，0）（－a，0），
（0，b），（0，－b）
x轴，y轴；
长轴长2a，短轴长2b
，


原点O（0，0）
顶点 （a，0），（－a，0） （0，0）
对称轴
x轴，y轴；
实轴长2a，虚轴长2b
x轴
焦点 F
1
（c，0），F
2
（－c，0） F
1
（c，0），F
2
（－c，0）

焦距


离心率

e=1
准线


渐近线



2．有关圆锥曲线综合题类型

(1)求圆锥曲线方程
一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤：
定形——指的 是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置，如果位置不确定时，考虑是否多
解。此时注意数形结合，在图形 上标出已知条件，检查轴上的点、垂直于轴的直线的位置是
否准确等。
定式——根据“形 ”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在
22
哪个坐标轴上时，可设 方程为
mx
+
ny
=1(
m
＞0,
n
＞0 )
定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小。
此处注意n个未知数，列够n个独立的方程，并注意“点在线上”条件及韦达定理的使用。
注意 ：求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结
合、等价转化、分类讨 论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求
同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、 性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最
值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类 问题常用定义法和待定系数法

(2)求取值范围或最值
①函数方法---- 将待求范围参数表示为另一个变量的函数，注意求函数的定义域。
②方程与不等式组---- n个未知数，列够n个独立方程或不等式，注意归纳总结列不等
式的方法：
③利用几何性质求参数范围；
④利用不等式性质(结合几何性质)求参数范同．

3．解析几何问题中，解决运算问题的几点措施：

解析几何图形结构、问题结构 多，且易于发散，一旦形成为图形或知识点的综合，往往
最具运算量、最为繁难复杂．因此，有时即便是 明确了解法甚至较细的步骤，解题过程当中
也常常被卡住，算不到底、算不出正确结果也是常有的事。因 此，如何解决运算量问题，对
于解题成功与否至关重要．解决运算问题，可以有以下措施：
(1)不断提高运算和恒等变形能力。注意培养观察问题、分析问题、转化问题、解决问
题的能力，避免
思维定势，提高思维灵活性；具体审题中多收集些信息，综观全局，权衡利弊，再
决定解题策略；
加强训练运算基本功，不断提高恒等变形的能力．
(2)善于运用平面几何性质来解题问题。解题处理方式不同，可能繁简大相径庭，若考
虑问题的几何特
征，充分利用图形几何性质，对于解决运算量会大有裨益，这一点对于圆锥曲线综
合题的处理很重
要．
(3)注意解析法与各种数学方法结合。当所求点的坐标直接解决有困难时，往往引进参
数或参数方程起
到解决问题的桥梁作用，引进合适的参数，进行设而不求的计算方式，在解析几何
中是普遍的，但
应注意不断积累消参经验；相应元替换法也是常用的策略．
第三章
知识点一：平面的法向量
定义 ：已知平面法向量。，直线，取

的方向向量，有，则称为为平面的
（ 平面
知
1
识点二：用向量方法判定空间中的平行关系
） 空注意：内两条线线 间 中的平行平行 相交直一 个 平面的法向量不是唯一的，在 关线 系主要是指：的方向向量，可求出 线线 平行、 该 平面的一线应面平行、面面平行。用时个，可适 法向量。当取平面的一 个法向量。已知一
设直线，的方向向量分别是，，则要证明，只需证明，即
（ 2）线面平行。
①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证
与
明
线线
，即
方向向量是共量直（ 可。与这两个线3）面面平行 ②根据③根据共面向 量定理可知，如果一①由面面平行的判定定理，要和的方向向量面平行”，线能这个。够向量。的向量确定的平面 必定平行，因此要 线用平面平不共 面平行的判定定理：“如果直 要 证明一条直线线向量和一证明面面平行，只要线个个性表示即可。平面平行，向量和线（平面外）证明一不共 直 与化线平面为的向量是共面向量，那和一相内应个内的一的平面平行，只要找一条面平行、个直向量线平行，那已 知直么这个么这条明平行即这条线向的


（
知
1
识点三：用向量方法判定空间的垂直关系
）②若能求出平面空线线间中的垂直垂直
内两个
关系主要是指：，
不共
的法向量线线垂直、，，线则
两个
面垂 直、面面垂直。要
也可以在平面
证
条
明
转
，只需
线
证明。
证
（ 2）设线直面垂直线，的方向向量分 别为，，则要证明，只需证明，即
（
，

知
31
识点四 ：利用向量求空间角
）面面垂直）求①②根据①根据面面垂直的判定定理②设证异直明a面直，线两个b 面垂直的判定定理为两异线的方向向量是平面的法向量互相垂直。所成的角 面直线， ，平面A转，化C 为证为与直B的向量是相 线与，应D的平面分线别内面垂直、是，的a则，两条要b证上的任意线线相交直明垂直。线两垂直。，只需点， a ，证b明所成的角。为
。

已知
则。
0

的方向向量的作（

为两异2）求直
注意：
面直线
两异
和平面所成的角夹线角所成的角。
面直
来求得，但二者不完全相等，
线所成的 角的范

，

平面

围为（0
0
,90当 两]。两异方向向量的面直线所成的角可以通夹角是钝角时，过这两应取其补线角
设直线的方向向量为的法向量为，直线与平面所成的角为，与
直
的角
为，
则有。
（3）求二面角
AEB+

∠于

的平面角，∠ 如

图

，若APB=180A，°。

于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角

若分别为面，的法向量，
夹量的则角或二面角的平面角夹角的补角。 或，即二面角等于它的两个面的法向
①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于，
的夹角
的大小。
的夹②角的当法向量补 ，的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于，
（
知
1
识点五：利用向量求空间距离
）空 角间两点间距离公式：的大小。
（ 2）设两异点面直线距离的求法， ，则
如图，设，是两条异面直线，是与的公垂 线段AB的方向向量，又C，D分别
是，上任意两点，则与的距离是。
（

3）点面距离的求法：
⊥平面

条斜


点B到平面 如图，
是平面
BO，垂足为，则
若

AB的任一线
O
段，
则在Rt△BOA中，
设平面的法向为，则点B到平面的距离为
的距离就是线段BO的长度。
。
。
规1

律方法指导
（注意： 1）在空2）平面法向量的确定通常有 ①几何体中已 线 面距、面面距均可间 直角坐 没 经给有具体的直标系中，求出一 出有向转化两种线为，此段，只需点面距离，用求点面距的方法方法：个时平面的法向量的坐可以采用待定系 证 数法求解平面的法向量。 进行求解。骤如下：

．平面法向量的求法

②几何体中
①②找出（求出）平面设出平面的法向量内为的两个不共线。的向量的坐
明线面垂直；
标
标
，
，一般步

③根据法向量的定 ，义建立关于x，y。， z的方程组
可在代入方程
2．用向量语言表述线与面之间的位置关系
④解方程 组 的解中取一组，取其中的一
的方向向量分
个最简单个的作解，即得法向量。由于一为平面的法向量。
两不同平面
个
，
平面的法向量有无数个，故
则 设两不同直线，别为，，的法向量分别为，，
①线线平行：，
；
；
②线线垂直：
③线；
④线
面平行：
面垂直：
在平面外，
，；
⑤面面平行：，；
的方向向量和平面的法向量，通
3
（
．利用向量求空间角的方法
1）⑥面面垂直：关键设线线直：线角的求法：用向量知AB、CD识来对应 探讨的方向向量分空过讨论间 的垂直向量的共与平行别为。线问题 或垂直，确定a、，b关键，则是找出或求出直线线面之AB间与的位置问题CD中涉及的直所成的角关系。 为线
2）线面角的求法：（。
设n是平面的法向量，
（如图）。
是直线的方向向量，则直线与平面所成的角为
（ 3）二面角的求法：
设n
1
，就是二面角的平面角或其n
2
分别是二面角补角的大小 （如的两个图面） ，的法向量，则
4．用向量方法求点面距离的一般步骤：
距离。 ①求出②找出③求出法向量 该 从该平面的一 点出 与 发 斜个的平面的任一线 法向量；段向量的 数 条量 斜积线的段绝对值对应 的向量；再除以法向量的模，即可求出点到平面的
线即： 点面距、面面距均可A到平面的距离转化为点面距离，用求点面距的方法，其中，是平面进行求解。的法向量。
直线与平面
两平行平面量。
之间的距离：
之间的距离：
，其中
，其中
，是平面的法向量。
，是平面

的法向