物理公式电学山东省济宁市2019届高三数学二模试题

学年度高考模拟考试
数学（文）试题
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
.已知全集
.
.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意结合补集的定义求解不等式即可确定补集.
【详解】由题意可得：
表示为区间形式即
故选：.
【点睛】本题主要考查集 合的表示方法，补集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能
力和计算求解能力.

.已知复数满足
. 第一象限
【答案】
【解析】
【分析】
由题意首先求得复数的值，然后结合复数对应的点即可确定其所在的象限.
【详解】由复数的运算法则可得：
，
故复数在复平面内对应的点
故选：.
【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转
化能 力和计算求解能力.
- 1 - 18
所在的象限是第二象限.
，则复数在复平面内对应的点所在的象限是（ ）
. 第二象限 . 第三象限 . 第四象限
.
，


，集合，则（ ）
.
.



.要得到函数
. 向右平移个单位长度
. 向右平移个单位长度
【答案】
【解析】
【分析】
首先对函数的解析式进行恒等变形，然后确定函数的平移方向和所要平移的长度即可.
【详解】由于
故要得到函数
度.
故选：.
【点睛】本题主要考查 三角函数式的化简，三角函数的平移变换等知识，意在考查学生的转
化能力和计算求解能力.

.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的的值等于（ ）
，且
的图象，只需将函数
，
的图象向左平移个单位长
的图象，只需将函数的图象（ ）
. 向左平移个单位长度
. 向左平移个单位长度

.
【答案】
【解析】
【分析】
. 31 . .
- 2 - 18
首先确定流程图的功能，然后计算其输出的结果即可.
【详解】由流程图可知该算法的功能为计算
即输出值为：
故选：.
【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：
()要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．
()要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．
()按照题目的要求完成解答并验证．

.已知双曲线
.
.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意结合双曲线的性质确定的关系式，据此即可确定双曲线的渐近线方程.
【详解】由离心率的定义可知：
，
则双曲线的渐近线方程为：
故选：.
【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，双曲线的渐近线的求解方法等知识，意在考查学
生的 转化能力和计算求解能力.

.已知等差数列
.
【答案】
【解析】
【分析】
- 3 - 18
的公差为，且，，成等比数列，则
. 30 .
（ ）
.
.


的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
.
.


.
的值，
由题意首先求得的值，然后结合等差 数列的性质即可确定
【详解】由题意可得：
结合题意有：
则
故选：.
.
，即
，解得，
，
的值.
【点睛】本题主要考查等 差数列的性质，等比数列的性质等知识，意在考查学生的转化能力
和计算求解能力.

.已知向量，满足
.
，
.
，且，则与的夹角为（ ）
. .
【答案】
【解析】
【分析】
由题意首先求得数量 积
【详解】由题意可得：
结合题意有：
则
故与的夹角为.
故选：.
【点睛】本题主要考查向量夹角的计算，向量数量积的运算法则等知识，意在考查学生的转
化能 力和计算求解能力.

.已知
.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意结合函数的周期性和函数的奇偶性计算函数值即可.
- 4 - 18
是定义在上的周期为的奇函数，当
. 0
时，
.
，则
.
（ ）
，
，
的值，然后计算向量的夹角即可.
，
【详解】由题意可得：
.
故选：.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性等知识，意在考查学生的转化能 力和计
算求解能力.

.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长的棱的长度为（ ）

.
【答案】
【解析】
【分析】
. 4 . .
首先确定几何体的空间结构特征，然后求得每条棱的棱长，据此即可确定最大的棱长.
【详解】如图所示，在棱长为的正方体
所对应的几何体为四棱锥，
中，点为边的中点，则题中的三视图

- 5 - 18
易知其棱长分别为：
，
则最长的棱长为
故选：.
.
，
【点睛】本题主要考查由三视图还原所给的几何体，棱锥的空间结构特征等知识，意在考查
学生 的转化能力和计算求解能力.

.甲、乙两位同学将高三次物理测试成绩做成如图所示的茎叶 图加以比较（成绩均为整数满分
分），乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于分且不是满分 ，则甲同学的平均成
绩超过乙同学的平均成绩的概率为（ ）

.
【答案】
【解析】
【分析】
. . .
首先求得甲的 平均数，然后结合题意确定污损的数字可能的取值，最后利用古典概型计算公
式求解其概率值即可. < br>【详解】由题意可得：
设被污损数字为，则：
满足题意时，
即可能的取值为，即：
,
.


，
，
，
结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值：
故选：.
【点睛】本题主要考查茎叶 图的识别与阅读，平均数的计算方法，古典概型计算公式等知识，
意在考查学生的转化能力和计算求解能 力.
- 6 - 18

.已知拋物线的焦点为，过点的直线与该抛物线交于、 两点，且
、的斜率分别为、，则
.
.
的取值范围是（ ）

，
为坐标原点，记直线
.
.
【答案】
【解析】
【分析】


由题意首先对一般情况确定
可确定其取值范围.
【详解】对于一般的抛物线方程
与抛物线方程联立可得：
设，则：
的解析式 ，然后结合抛物线的弦长公式和三角函数的性质即
，设过焦点的直线方程为
，故，
，

其中为直线的斜率，
，
由抛物线的焦点弦公式可知：
则
故
，
，
的取值范围是
故选：.
.
，
，
【点睛】本题主要考 查抛物线焦点弦的性质，直线斜率的计算，抛物线中设点的技巧等知识，
意在考查学生的转化能力和计算 求解能力.

.已知函数
（ ）
- 7 - 18
，若不等式恒成立，则实数的取值范围为
.
.
【答案】
【解析】
【分析】
首先绘制函数


.
.


的图像，然后数形结合考查临界值即可确定实数的取值范围.
恒成立，则
图像的下方；
， 【详解】由函数的解析式易知
原问题等价于函 数
绘制函数
图像恒不在函数
的图像，如图所示，
函数
当
表示过定点
时，考查如图所示的临界条件，即直线与二次函数相切，
，设切点坐标为，切线的斜率为
，
的

的直线，很明显时不满足题意，
过点
，
，此时切线的斜率
.
，
- 8 - 18
时满足题意，
，
则切线方程
即：
数形结合可知，故
故实数的取值范围为
故选：. < br>【点睛】本题主要考查分段函数的性质及其应用，导函数研究函数的切线方程，数形结合的
数学思 想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

二、填空题.
.已知
【答案】
【解析】
【分析】
由题意利用对数的运算法则 和指数的运算法则计算可得
【详解】由题意可得：
由对数恒等式可知：
则.
，
，
的值.
，，则．
【点睛】本题主要考查对数的运算法则及其应用，属于基础题.

.若变量，满足
【答案】
【解析】
【分析】
首先画出可以域，然后结合目标函数的几何意义确定其最值即可.
【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
，则目标函数的最小值为．

目标函数即：，其中取得最小值时，其几何意义表示直线系在轴上的截距最小，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点处取得最小值，
联立直线方程：，可得点的坐标为：
- 9 - 18
，
据此可知目标函数的最小值为：.
【点睛】求线性目标函数＝＋(≠)的最值，当＞时，直线 过可行域且在轴上截距最大时，值
最大，在轴截距最小时，值最小；当＜时，直线过可行域且在轴上截距 最大时，值最小，在
轴上截距最小时，值最大.

.已知数列
【答案】
【解析】
【分析】
首先求得数列的通项公式，然后列项求和可得其前项和.
【详解】当
当
且当
时，
时，，故数列
时，，
，
的通项公式为，
，
则数列的前项的和为：
.
的前项和为

，若，则数列的前项的和为．
【点睛】本题考查的核心是裂项 求和，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些
项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项 ，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造
成正负相消是此法的根源与目的．

.已知三棱锥
三角形，则三棱锥
【答案】
【解析】
分析】 设出底面边长，结合外接球的体积公式确定三棱锥的高，据此可得体积函数，最后利用均值
不等式即 可确定三棱锥体积的最大值.
的四个顶点均在体积为
体积的最大值为．
的球面上，其中平面，底面为正
- 10 - 18
【详解】由球的体积公式可得：
不妨设底面正三角形的边长为，则
，
，
， 设棱锥的高为，由三棱锥的性质可得：
解得：

，据此可得：
.
故
综上可得，三棱锥
，当且仅当
体积的最大值为.
，时等号成立.
【点睛】本题主要考查棱锥的体积公式，棱锥外接球的性质，均值不等式求最 值的方法等知
识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
.在中，角，，的对边分别为，，，已知.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）已知
【答案】（Ⅰ）
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意利用正弦定理边化角，然后结合三角函数的性质即可确定角的大小；
(Ⅱ)由题意首先由面积公式确定的值，然后结合余弦定理即可求得边长的值.
【详解】（Ⅰ ）因为
因为
所以
所以
（Ⅱ）因为
，因为
，所以，所以
，
，所以
，所以
- 11 - 18
.
，所以，
，由正弦定理得
，
，
，
（Ⅱ）
，求的值.

所以，所以.
【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边 的关系．题
中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、< br>余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．

.如图，四棱锥
底面，
中，底面
，是的中点.
为梯形，，，，

（Ⅰ）求证：平面
（Ⅱ）求点到平面
平面
的距离.

；
【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意利用几何关系首先证得
中的结论；
平面，然后利用面面垂直的判定定理 即可证得题
(Ⅱ)由题意首先求得相应三棱锥的体积，然后利用等体积法即可求得点到平面
【详 解】（Ⅰ）∵
∴
由题意，
∴
又∵
∵平面
.
，且< br>，很明显
，且
，∴平面
平面
，
，∴
，
平面< br>平面
平面
平面
.
，平面
，
平面，
是等腰直角三角形，
，∴
，∴平面
，
，
底面，底面，
的距离.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面
作，垂足为，∴
- 12 - 18
∵是的中点，∴
的体积为
，，
.
，
.
∴三 棱锥
设点到面
所以
∴
∵
所以点到平面
的距离为，由（Ⅰ）知 ，
的面积为
，
即，∴
.
.
的距离为
【点睛】 本题主要考查面面垂直的判定定理，点面距离的求解，等价转化的数学思想等知识，
意在考查学生的转化 能力和计算求解能力.

.某大型超市公司计划在市新城区开设分店，为确定在新城区开设分 店的个数，该公司对该
市已开设分店的其他区的数据统计后得到下列信息（其中表示在该区开设分店的个 数，表
示这个分店的年收入之和）：
分店个数（个）
年收入（万元）

（Ⅰ）该公司经过初步判断，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的回归方程；
（Ⅱ）假 设该公司每年在新城区获得的总利润（单位：万元）与，之间的关系为
，请根据（Ⅰ）中的线性回归方程 ，估算该公司在新城区开设多少个分店时，
才能使新城区每年每个分店的平均利润最大.










参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
- 13 - 18
，.
【答案】（Ⅰ）
【解析】
【分析】
（Ⅱ）见解析
(Ⅰ)由题意结合回归方程系数的计算公式即可确定直线的回归方程；
(Ⅱ)结合(Ⅰ)的结 论首先求得利润函数，然后结合均值不等式的结论即可确定利润取得最大
值的分店个数和最大的利润值.
【详解】（Ⅰ）
由公式：
，
∴；
，
，
，.
，
（Ⅱ）由题意：
所以，年平均利润
当且仅当时，取得等号，
所以，该公司在新城区开设个分店时，新城区每年每个分店的平均利润最大为万元.
【点睛】 本题主要考查线性回归方程的计算及其应用，均值不等式在实际问题中的应用等知
识，意在考查学生的转 化能力和计算求解能力.

.在平面直角坐标系
的垂直平分线交
中，点是圆：
于，记点的轨迹为.
上的动点，定点，线段
（Ⅰ）求轨迹的方程；
（Ⅱ）若动直线：
为平行四边形.证明：四边形
【答案】（Ⅰ）
【解析】
【分析】
- 14 - 18
（Ⅱ）见证明
与轨迹交于不同的两点、，点在轨迹上，且四边形
的面积为定值.
(Ⅰ)由题意利用图形的几何性质和椭圆的定义即可确定轨迹方程；
(Ⅱ)联立直线方程与( Ⅰ)中求得的轨迹方程，结合韦达定理和平行四边形的性质得到面积的
表达式，进一步计算即可证得其面 积为定值.
【详解】（Ⅰ）由题意：，
，. ∴根据椭圆的定义，点的轨迹是以、为焦点的椭圆，其中
∴，，
；
、
，得
，∴
，
∴的中点，∴
，
，
，
，
，
，
∴轨迹的方程为：
（Ⅱ）证明：设
联立方程组
点在椭圆上，∴
∴
∴
，
，
，
点到直线的距离，
∴
.
∴四边形的面积为定值.
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
()注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
()强化有关直线与椭 圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦
长、斜率、三角形的面积等问题．
- 15 - 18

.已知函数
（Ⅰ）若函数
（Ⅱ）若
在
，求
.
上单调递减，求实数的取值范围；
的最大值.
（Ⅱ） 【答案】（Ⅰ）
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意分离参数，将原问题转化为函数求 最值的问题，然后利用导函数即可确定实数的
取值范围；
(Ⅱ)结合函数的解析式求解导函数 ，将其分解因式，利用导函数研究函数函数的单调性，最
后利用函数的单调性结合函数的解析式即可确定 函数的最值.
【详解】（Ⅰ）由题意知，
所以
令
所以
所以
（Ⅱ）当
则
令
所以
由于
当
所以
所以
因为< br>所以
，所以
.
，所以
在
，
时，
，则
上单调递减.
，所以存在
，
上单调递增，在
，
，
；当
满足，即
时，
上单调递减.
，
.
.
在
.
时，.
，
，
在
，则
上单调递增，所以
上恒成立.
，
，
在上恒成立，
【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究函数的最值，零点存在定理及其应
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用，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.
（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线的极坐标方程；
（Ⅱ）若射线
【答案】（Ⅰ）
【解析】
【分析】
(Ⅰ)将所给的 参数方程消去参数即可确定曲线的直角坐标方程，然后将直角坐标方程转化为
极坐标方程即可；
(Ⅱ)联立(Ⅰ)中的极坐标方程和直线的极坐标方程，结合韦达定理和参数的几何意义即可确
定的取 值范围.
，
与曲线有两个不同的交点，，求
（Ⅱ）
的取值范围.
【详解】（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为
即
又，，
，
.
.
得
.
设
所以
又射线
∴
∴
∴
，，则

与曲线有两个不同的交点，，∴
，∴
，
的取值范围为.
，
，
∴曲线的极坐标方程为
（Ⅱ）把代入
.
，
，
【点睛】本题主要考查直角坐标与极坐标的互化，参数方程与普通方程的互化，参数方程的
几何意义及 其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

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.已知函数，记的最小值为.
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）若正实数，满足，求证：.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见证明
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意结合不等式的性质零点分段求解不等式的解集即可；
(Ⅱ)首先确定的值，然后利用柯西不等式即可证得题中的不等式.
详解】（Ⅰ）①当时，，即，
∴；
②当时，，
∴；
③当时，，即，
∴.
综上所述，原不等式的解集为.
（Ⅱ）∵，
当且仅当时，等号成立.
∴的最小值.
∴，
即，
当且仅当即时，等号成立.
又，∴，时，等号成立.
∴.
【点睛】本题 主要考查绝对值不等式的解法，柯西不等式及其应用，绝对值三角不等式求最
值的方法等知识，意在考查 学生的转化能力和计算求解能力.


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