npoi 公式数学高考预测试题9预测题

2012年高考预测系列试题
【数学】高考预测试题（9）·预测题


解析几何命题预测
适用省份：山东、广东、宁夏、海南

解析几何是高中 数学的一个重要内容，从近几年的高考试题看，约占总分的20%．一般是一大
(解答题)三小(选择题 、填空题)或一大两小。小题以中档题居多，主要是考查直线、圆和圆锥
曲线的性质及线性规划问题，一 般可利用数形结合方法解决。大题一般以直线和曲线的位置
关系为命题背景，并结合函数、方程、数列、 不等式、平面向量、导数等知识，考查轨迹方
程、探求曲线性质、求参数取值范围、求最值与定值、探求 存在性等问题．对求轨迹问题，
主要涉及圆锥曲线的焦半径、离心率等知识；对于直线与圆锥曲线位置关 系的题目，要充分
应用等价化归的思想方法把几何条件转化为代数 (坐标)问题，进而利用韦达定理处 理；对于
最值、定值问题，常采用①几何法：利用图形性质来解决，②代数法：建立目标函数，再求函数的最值，确定某几何量的值域或取值范围，一般需要建立方程或不等式，或利用圆锥曲
线的有界 性来求解；对于圆锥曲线中的“存在性”型的题目，可以先通过对直线特殊位置的
考查(如直线垂直x轴 )探求出可能的结论，然后再去解决更一般的情况，这样也可以实现“分
步得分”的解题目的．思想方法 上注意定义法、消参法、相关点法、解析法、解方程(组)、数
形结合思想、化归与转化思想、函数与方 程思想等在解题中的应用。
2012年高考对解析几何的考查问题设置的方向为：（1）以椭圆为入口 ，求标准方程；（2）几
何性质；（3）范围或最值性问题。
解题的策略有：
1、注意直线倾斜角范围 、设直线方程时注意斜率是否存在，可以设成 ，包含斜率不存在情
况，但不包含斜率为0情况。注意截距为0的情况；注意点关于直线对称问题（光线的反射
问题）；注意 证明曲线过定点方法（两种方法：特殊化、分离变量）
2、注意二元二次方程表示圆的充要条件、善于 利用切割线定理、相交弦定理、垂径定理等平
面中圆的有关定理解题；注意将圆上动点到定点、定直线的 距离的最值转化为圆心到它们的
距离；注意圆的内接四边形的一些性质以及正弦定理、余弦定理。以过某 点的线段为弦的面
积最小的圆是以线段为直径，而面积最大时，是以该点为线段中点。
3、注 意圆与椭圆、三角、向量（注意利用加减法转化、利用模与夹角转化、然后考虑坐标化）
结合；
4、注意构建平面上的三点模型求最值，一般涉及“和”的问题有最小值，“差”的问题有最
大值，只 有当三点共线时才取得最值；
5、熟练掌握求椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程的方法：待定系数法 或定义法，注意焦点
位置的讨论，注意双曲线的渐近线方程：焦点在 轴上时为 ，焦点在 轴上时为 ；注意化抛
物线方程为标准形式（即2p、p、 的关系）；注意利用比例思想，减少变量，不知道焦点位置
时，可设椭圆方程为 。
6、熟练利用圆锥曲线的第一、第二定义解题； 熟练掌握求离心率的题型与方法，特别提醒
在 求圆锥曲线方程或离心率的问题时注意利用比例思想方法，减少变量。
7、注意圆锥曲线中的最值等范围问题：产生不等式的条件一般有：①“ 法”；②离心率 的
范围；③自变量 的范围；④曲线上的点到顶点、焦点、准线的范围；注意寻找两个变量的关
系式，用一个变量表示另一个变量，化为单个变量，建立关于参数的目标函数，转化为函数
的值域 当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法， 注意点
是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围、离心率范围以及根的判别式范围。
8、求轨迹方程的常见方法：①直接法；★②几何法；★③定义法；★④相关点法；
9、注意利用向量方法， 注意垂直、平行、中点等条件以向量形式给出；注意将有关向量的
表 达式合理变形；特别注意遇到角的问题，可以考虑利用向量数量积解决；
10、注意存在性、探索性问题的研究，注意从特殊到一般的方法。
考点一：直线、圆的方程问题
【内容解读】直线方程的解析式有点斜式、斜截式、两点式、截 距式、一般式５种形式，各
有特点，根据具体问题，选择不同的解析式来方便求解；圆的方程有标准式、 一般式２种；
直线与圆的方程问题，经常与
其他知识相结合，如直线与圆相切，直线与直线平行、垂直等问题。
例1、（２０１１年高考 福建卷理１７第１问改编）已知直线ｌ：ｙ＝ｘ＋ｍ，ｍ∈Ｒ，若以
点Ｍ（２，０）为圆心的圆与直线ｌ 相切于点Ｐ，且点Ｐ在ｙ轴上，则该圆的方程
为 ．
分析：抓住线段ＭＰ垂直于直线ｌ解题．
动向解读：直线与圆的方程问题多以选择题与填空题的形式出现，属容易题。
考点二：曲线（轨迹）方程的求法
【内容解读】轨迹问题是高中数学的一个难点，常用的求轨 迹方程的方法：单动点的轨迹问
题———直接法＋待定系数法；双动点的轨迹问题———代入法；多动点 的轨迹问题———
参数法＋交轨法。
例2、（２０１１年高考广东卷文２１第１问）在平面直 角坐标系ｘＯｙ中，直线ｌ：ｘ＝－
２交ｘ轴于点Ａ，设Ｐ是ｌ上一点，Ｍ是线段ＯＰ的垂直平分线上一 点，且满足∠ＭＰＯ＝
∠ＡＯＰ，当点Ｐ在ｌ上运动时，求点Ｍ的轨迹Ｅ的方程．
动向解读：轨迹问题在高考中多以解答题的形式出现，属中档题。
考点三：有关圆锥曲线的定义问题
【内容解读】圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义是经常考查 的内容，除了在大题中考查轨迹
时用到外，主要出现在选择题、填空题中。
例3、（２０１１ 年高考陕西卷理２）设抛物线的顶点在原点，准线方程为ｘ＝－２，则抛物
线的方程是（ ）
Ａ．ｙ２＝－８ｘ； Ｂ．ｙ２＝８ｘ；Ｃ．ｙ２＝－４ｘ； Ｄ．ｙ２＝４ｘ
动向解读 ：圆锥曲线的定义问题多在填空题、选择题中出现，属中等偏易题。正确理解抛物
线的定义及其标准方程 ，由准线确定抛物线的位置和开口方向是判断的关键。
考点四：圆锥曲线的几何性质问题
【 内容解读】圆锥曲线的几何性质包括：椭圆的对称性、顶点坐标、离心率；双曲线的对称
性、顶点坐标、 离心率和渐近线，抛物线的对称性、顶点坐标、离心率和准线方程等内容．离
心率公式相同，范围不同， 椭圆的离心率在（０，１）内，双曲线的离心率在（１，＋∞）
内，抛物线的离心率为１．
例4、若双曲线 上不存在点P使得右焦点F关于直线OP（O为双曲线的中心）的对称点在y
轴上,则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
答案：C；解析：这里给出否定形式，直接思考比较困难，按照正难则反，考虑存在点P使得
右 焦点F关于直线OP（O为双曲线的中心）的对称点在y轴上，因此只要在这个双曲线上存
在点P使得O P斜率为1即可，所以只要渐进线的斜率大于1，也就是离心率大于 ，求其在大
于1的补集；该题通过 否定形式考查反证法的思想，又考查数形结合、双曲线的方程及其几
何性质，是中档题。
动向 解读：考查圆锥曲线的几何性质包括焦距、离心率、双曲线的渐近线等内容，一般以选
择题或填空题为主 ，属中档题或容易题．
考点五：直线与圆锥曲线位置关系问题
【内容解读】能用坐标法解决 一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题；能够把研究
直线与圆锥曲线位置关系的问题转化为研究 方程组的解的问题；会利用直线与圆锥曲线方程
所组成的方程组消去一个变量后，将交点问题转化为一元 二次方程根的问题，结合根与系数
的关系及判别式解决问题；能够利用数形结合法，迅速判断某直线与圆 锥曲线的位置关系，
但要注意曲线上的点的纯粹性；涉及弦的中点及中点弦的问题，利用点差法较为简洁 ．
例5、如图， 轴，点M在DP的延长线上，且 ．当点P在圆 上运动时。（I）求点M的轨迹
C的方程；（Ⅱ）过点 的切线 交曲线C于A，B两点，求△AOB面积S的最大值和相应的点T
的坐标。
【解析】本题主要 考查了轨迹方程的求法、直线和圆的位置关系、弦长公式、均值不等式的
应用. 属于难题。考查了基础知识、基本运算、参数法、恒等变换能力.
解:设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
则 ， ，所以 ， ， ①
因为 在圆 上，所以 ②
将①代入②，得点 的轨迹方程C的方程为 ．
（Ⅱ）由题意知， ．
当 时，切线 的方程为 ，点A、B的坐标分别为
此时 ，当 时，同理可得 ；
当 时，设切线 的方程为
由
得 ③
设A、B两点的坐标分别为 ，则由③得：
．
又由l与圆 相切，得 即
所以
因为 且当 时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2
依题意，圆心 到直线AB的距离为圆 的半径，所以 面积 ，当且仅当 时， 面积S的最大值
为1，相应的 的坐标为 或者 ．
动向解读：直线与圆锥曲线位置关系涉及函数与方程、数形结合、分类讨论、化归转化等数
学思想方法 ，因此，这部分知识经常作为高考试题的压轴题，命题主要意图是考查运算求解
能力、逻辑推理能力．
考点六：解析几何与平面向量、导数、不等式等内容的交汇问题
【内容解读】解析几何与平面 向量、导数、不等式等内容的交汇，综合考查了分析与解决问
题的能力，其解题策略是：利用向量的坐标 运算将向量问题代数化，而后用解析几何的有关
知识解决问题．
例6、（2010上海文数）23
已知椭圆 的方程为 ， 、 和 为 的三个顶点.
（1）若点 满足 ，求点 的坐标；
（2）设直线 交椭圆 于 、 两点，交直线 于点 .若 ，证明： 为 的中点；
（3）设点 在椭圆 内且不在 轴上，如何构作过 中点 的直线 ，使得 与椭圆 的两个交点 、
满足 ？令 ， ，点 的坐标是（-8，-1），若椭圆 上的点 、 满足 ，求点 、 的坐标.
解析：(1) ；
(2) 由方程组 ，消y得方程 ，
因为直线 交椭圆 于 、 两点，
所以>0，即 ，
设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)，
则 ，
由方程组 ，消y得方程(k2k1)xp，
又因为 ，所以 ，
故E为CD的中点；
(3) 因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上，所以点F在椭圆Γ内，可以求得直线OF的斜率k2，
由 知F为P1P2的中点，根据(2)可得直线l的斜率 ，从而得直线l的方程．
，直线OF的斜率 ，直线l的斜率 ，
解方程组 ，消y：x22x480，解得P1(6,4)、P2(8,3)．
动向解读：在引入向量的坐标表示后，使向量之间的运算代数化，将“形”与“数”紧密地
结合 在一起．因此，这部分知识既可以出小题考查基础知识，又可以出大题作为高考试题的
压轴题．本题考查 了平面向量、直线与椭圆的位置关系等知识，考查了推理论证、数形结合、
作图、运算求解能力，考查了 考生综合运用所学知识分析解决问题的能力．本题以向量加法
的平行四边形法则为出发点，探究对于平面 上给定的点Ｐ以及椭圆上的点Ｑ，何时存在椭圆
上２点Ｐ１、Ｐ２使得 ？若存在，如何构作２点Ｐ１、 Ｐ２？第２小题为第３小题作了铺垫，
在提供问题解决路径的同时，也适度降低了试题的难度，但第３小 题要求考生具有一定的探
究问题的能力，对思维要求较高．