均衡收入公式【市级联考】湖北省武汉市2019届高三4月调研测试数学(文)试题

…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…

…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…


绝密★启用前
【市级联考】湖北省武汉市2019届高三4月调研测试数学（文)
试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
得分
一

二

三

总分

……
○

_
_
○
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
_
_
…
：
…
号
…
订
考
_
订
_
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
：
级
…
○
班
_
○
…
_
_
_
…
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
：
名
…
装
姓
装
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
_
:
校
…
○
学
○
……
……
……
……
外内
……
……
……< br>……
○○
……
……
……
……
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题)
请点击修改第I卷的文字说明

评卷人 得分

一、单选题
1．已知集合






，
，

，
，则 ( )
A．
，
B．



C．



D．




2．若复数


，则 ( )
A． B． C． D．
3．若角 满足


，则

( )
A．


B．

C． 或


D．
4 ．某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上
学方式主要有： ——结伴步行， ——自行乘车， ——家人接送， ——其他方式，
并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图.

根据图中信息，求得本次抽查的学生中 类人数是（ ）
A
．30
B
．40
C
．42
D
．48
5．如图，在棱长为 的正方体







中， 为 中点，则四面体

的
试卷第1页，总5页
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…


体积( )

A．


B．


C．


D．



…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…

6．已知实数 、 满足约束条件


，则目标函数 的最小值为( )

A．


B． C． D．
7．已知 且 ，函数






，



，

，在 上单调递增，那么实数 的
取值范围是( )
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，

8．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且

，
，则角 ( )
A．


B．

C．


D．



9．过点
，
作一直线 与双曲线





相交于 、 两点，若 为 中点，
则



( )
A．

B．

C．

D．


10．某大学党支部中有 名女教师和 名男教师，现从中任选 名教师去参加精准扶贫工
作，至少有 名女教师要参加这项工作的选择方法种数为( )
A． B． C． D．
11．已知向量 ，

满足



，

在 上投影为 ，则

的最小值为( )
A． B． C．

D．
12．设曲线





，在曲线 上一点
，
处的切线记为 ，则
切线 与曲线 的公共点个数为
A． B． C． D．


试卷第2页，总5页
……
○
< br>…
※
○
※
…
…
题
※
…
…< br>※
…
答
…
※
…
订
※
内
订< br>…
※
…
…
※
线
…
…
※
…< br>※
…
订
…
○
※
※
○
…
装< br>…
※
…
※
…
…
在
※
…
…< br>※
装
要
…
※
装
…
※
不
…< br>…
※
…
…
※
请
…
…
※
※< br>…
○○
……
……
……
……
内外
……
……
……
……
○○
……
……
……
……
…< br>…
…
线
…
…
…
…
○
…
…< br>…
…

…
…
…
线
…
…
…< br>…
○
…
…
…
…


第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明

评卷人

得分


二、填空题
13．函数





的值域为________.
14．已知函数








的图象关于直线

对称，则 的值为
________.

……
○

_
_
○
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
_
_
…
：
…
号
…
订
考
_
订
_
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
：
级
…
○
班
_
○
…
_
_
_
…
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
：
名
…
装
姓
装
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
_
:
校
…
○
学
○
……
……
……
……< br>外内
……
……
……
……
○○
……
……
……
……
15．将一个表面积为 的木质球削成一个体积最大的圆柱，则该圆柱的高为________.
16．已知点



，过抛物线

的焦点 的直线 交抛物线于 , 两点，若



，则点 坐标为________.

评卷人 得分

三、解答题
17．已知正项等比数列




的前 项和

满足





，

．
(1)求数列




公比 ；
(2)令



，求














的值．
18．如图所示，在四棱锥 中，底面 是边长为 的菱形，


，面
面 ，





(1)证明： ；
(2)求点 到平面 的距离．
19． 年，在庆祝中华人民共和国成立 周年之际，又迎来了以“创军人荣耀，筑
世 界和平”为宗旨的第七届世界军人运动会．据悉，这次军运会将于 年 月 日
至 日在美丽的江城武汉举行，届时将有来自全世界 多个国家和地区的近万名军人
运动员参赛．相对于 奥运会、亚运会等大型综合赛事，军运会或许对很多人来说还很陌
试卷第3页，总5页
……
…
线
…
…
…
…
○
…
……
…


生．为此，武汉某高校为了在学生中更广泛的推介普及军运会相 关知识内容，特在网络
上组织了一次“我所知晓的武汉军运会”知识问答比赛，为便于对答卷进行对比研 究，
组委会抽取了 名男生和 名女生的答卷，他们的考试成绩频率分布直方图如下：
（注：问卷满分为 分，成绩 的试卷为“优秀”等级）
…
…
…< br>线
…
…
…
…
○
…
…
…
…< br>

(1)从现有 名男生和 名女生答卷中各取一份，分别求答卷成绩为“优秀”等级
的概率；
(2)求列联表中 ， ， ， 的值，并根据列联表回答：能否在犯错误的概率不超过 的前
提下认为“答卷成绩为优秀等级与性别有关”？

男 女 总计
优秀
非优秀
总计

(3)根据男、女生成绩频率分布直方图，对他们的成绩的优劣进行比较．
附：



























，其中， .
20．已知椭圆















左顶点



，离心率为


(1)求椭圆 的方程；
试卷第4页，总5页
……
○

…
※
○
※
…
…
题
※
…
…
※
…
答
…
※
…
订
※
内
订
…
※
…
…
※
线
…
…
※
…
※
…
订
…
○
※
※
○
…
装
…
※
…
※
…
…
在
※
…
…
※
装
要
…
※
装
…
※
不
…
…
※
…
…
※
请
…
…
※
※
…
○○
……
……
……
……
内外
……
……< br>……
……
○○
……
……
……
……
…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…

…
…
…
线
…
…
…
…
○
…
…
…
…





取得最大值时，求 面积。 (2)过



的直线 交椭圆 于 、 两点，当
21．在直角坐标系 中，以坐标原点 务极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线











，










(1)求曲线

，

的直角坐标方程；
(2)曲线

和

的交点为 ， ，求以 为直径的圆与 轴的交点坐标．
22．已知函数











．
(1)求不等式



的解集；
……
○

_
_
○
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
_
_
…
：
…
号
…
订
考
_
订
_
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
：
级
…
○
班
_
○
…
_
_
_
…
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
：
名
…
装
姓
装
_
…
_
_
…
_
…
_
_
_
…
…
_
_
_
…
…
_
:
校
…
○
学
○
……
……
……
……
外内
……
……
……
……
○○
……
……
……
……
(2)若直线 与



的图象所围成的多边形面积为


，求实数 的值.
试卷第5页，总5页
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
参考答案
1
．
A
【解析】

【分析】

根据对数函数性质求得集合 ，再利用交集定义求得结果.
【详解】




















本题正确选项：
【点睛】

本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题
.
2
．
B
【解析】

【分析】

根据复数除法和模长的运算法则整理出 .
【详解】
























本题正确选项：
【点睛】

本题考查复数的除法运算和模长运算，属于基础题
.
3
．
D
【解析】

【分析】

根据二倍角公式整理已知条件得

，再将所求式子利用二倍角公式化简可求得结果.
【详解】


























答案第1页，总16页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
本题正确选项：
【点睛】

本题考查三角恒等式，通过二倍角公式化简可得结果，属于基础题
.
4
．
A
【解析】

【分析】

根据所给的图形，计算出总人数，即可得到
A
的人数．
【详解】

解：根据选择D方式的有18人，所占比例为15%，得总人数为
故选择
A
方 式的人数为
120
﹣
42
﹣
30
﹣
18
＝
30
人．
故选：
A
．
【点睛】

本题考查了条形图和饼图的识图能力，考查分析问题解决问题的能力．
5
．
C
【解析】

【分析】

由体积桥可知







，求解出

和高

，代入三棱锥体积公式求得结果.
【详解】

为 中点









120人，
又

平面
















本题正确选项：
【点睛】

本题考查三棱锥体积的求解问题，关键是能够利用体积桥将所求三棱锥更换顶点，从而更容
易求得几何 体的高和底面积，属于基础题
.
6
．
D
【解析】

【分析】

由约束条件画出可行域，将问题转化为 在 轴截距的最小值问题，通过平移得到结
答案第2页，总16页
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
果.
【详解】

由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：

由 得：
则 的最小值即为 在 轴截距的最小值
由 平移可知，当 与 重合时，截距最小
此时截距为



本题正确选项：
【点睛】

本题考查现行规划中求解 型的最值问题，关键是能够将问题转化为截距的最值
问题，属于常规题型.
7
．
D
【解析】

【分析】

利用函数的单调性，列出不等式组，然后求解即可．
【详解】


在R上单调递增， 解：a＞0且a≠1，函数

，

＜

可得：

＞


，解得a∈（1，2]．

故选：
D
．
【点睛】

本题考查分段函数的应用，函数的单调性的判断，是基本知识的考查．


，

答案第3页，总16页
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
8
．
B
【解析】

【分析】

根据二倍角公式可化简已知角的关系式，从而根据正弦定理得到： ；根据余弦定
理可求得 ；再根据边的关系可推导出 ，从而得到三角形为等边三角形，进而求得


.
【详解】










即：
由正弦定理得：




























又






















为等边三角形




本题正确选项：
【点睛】
本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，关键是能够通过定理对边角关系式进行
处理，对 公式应用能力要求较高
.
9
．
D
【解析】

【分析】

设出直线AB的方程与双曲线方程联立消去y，设两实根为

，

，利用韦达定理可表示出




的值，根据P点坐标求得



＝8进而求得k，则直线AB的方程可得；利用弦长
公式求得|AB|．
【详解】

解：易知直线
AB
不与
y
轴平行，设其 方程为
y
﹣
2
＝
k
（
x
﹣
4）
答案第4页，总16页
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
代入双曲线C：



，整理得（1﹣2k
2
）x
2
+8k（2k﹣1）x﹣32k
2
+32k﹣10＝0
设此方程两实根为

，

，则




又
P
（
4
，
2
）为
AB
的中点，
所以











8，
解得
k
＝
1
当
k
＝
1
时，直线 与双曲线相交，即上述二次方程的△＞
0
，
所求直线AB的方程为y﹣2＝x﹣4化成一般式为x﹣y﹣2＝0．



＝8，



＝10
|AB|

|



|

?

4

．
故选：
D
．
【点睛】

本题主要考查了双曲线的应用，圆锥曲线与直线的关系，弦长公式等．考查 了学生综合分析
和推理的能力．
10
．
C
【解析】

【分析】

首先确定没有女教师参加这项工作的选法种数，再利用选法的总数减掉没有 女教师参加的情
况，从而得到结果
.
【详解】


没有女教师参加这项工作的选法有：

种

至少 名女教师参加这项工作的选法有：

种
本题正确选项：
【点睛】

本题考查简单的组合问题，处理此问题时可采用加法原理，通过分类讨论得 到结果；也可以
采用间接法来进行求解
.
11
．
B
【解析】

【分析】


在

∈



，可得


根据 上投影为 ，以及
；再对所求模长进行平方

答案第5页，总16页
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。


即可求得


. 运算，可将问题转化为模长和夹角运算，代入

【详解】


在




上投影为 ，即






∈






又

































本题正确选项：
【点睛】

本题考查向量模长的运算，对于含加减法运算的向量模长的求解，通常先求解模长的平方，

的最小值.
再开平方求得结果；解题关键是需要通过夹角取值范围的分析，得到
12
．
C
【解析】

【分析】

通过导 数的几何意义求得切线方程；再将切线方程与曲线方程联立，求解出根的个数，从而
得到公共点个数.
【详解】







斜率
方程为：



，即








由 得：







即：












，

，






曲线 与 的公共点个数为： 个
本题正确选项：
【点睛】

本题考查利用导数的几何意义求解切线方程、 高次方程的求解问题，解高次方程的关键是能
够对其进行因式分解，从而得到结果
.
答案第6页，总16页
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
13．
，

，

【解析】

【分析】

本题考查对数型的复合函数值域问题，关键是能够求解出真数所处的范围， 再结合对数函数
求得值域
.
【详解】










且











值域为：








本题正确结果：








【点睛】

本题考查对数型的复合函数的值域问题，属于基础题
.
14．


【解析】

【分析】

求解出函数对称轴方程后，代入 ，得到 的取值集合；再根据 的范围求得结果.


【详解】





∈









∈









的对称轴为：


又 为对称轴








∈












∈

，即

∈



又



，即


本题正确结果：


【点睛】

本题考查根据三角函数图象 特点求解解析式问题，具体考查的是根据对称轴方程求解初相，
属于基础题
.
15．





答案第7页，总16页
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
【解析】

【分析】

根据球心到底面距离、圆柱底面半径、球的半径之间的关系，构造出关于圆柱体积 的函数
关系式，通过导数求得取得最大值时球心到底面的距离，从而得到圆柱的高.
【详解】

由

得：


设球心到圆柱底面距离为 ，圆柱底面半径为

则








圆柱体积





















令




，则
当








时，圆柱体积



最大





则圆柱的高为：
本题正确结果：
【点睛】







本题考查圆柱的外接球问题，关键是能够构造出圆柱体与球的半径、球心到底面距离之间的< br>函数关系式，再利用函数知识求解最值
.
16．

，



【解析】

【分析】


构造关于点 坐标的方程，从而求得 ；联
假设直线方程和 两点坐标；利用





立直线方程和抛物线方程，利用根与系数关系可求得 点纵坐标，代入抛物线方程求得 点
横坐标，从而得到结果.
答案第8页，总16页
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
【详解】

由抛物线方程得：




设直线 方程为： ，设






，









联立

得：



























又









，



又





















又












本题正确结果：



【点睛】

本题考查抛物线几何性质的应用，涉及到利用向量垂直关系构造 出方程来进行求解的问题，
考查学生转化的思想以及计算能力，属于常规题型
.
17．（1） ；（2）963
【解析】

【分析】

（1）首先可验证出 ，之后利用等比数列求和公式用基本量表示出





，解方
程可求解得到 ；（2）由（1）可得



和




的前 项和



；通过

的符号可
知：



















，利用

和

的关系可将 整理为：




，代入

中求出结果即可.
【详解】

（1）




是正项等比数列
若 时，则






，

，

，不合题意
，从而



















由





得：




























，又
答案第9页，总16页
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。









，即














，又

（2）由（1）知



，则




的前 项和








当 时，



； 时，













































































【点睛】

本题考查等比数列基本量的求解、含绝对值的数列求和问题，解决含绝对值 的数列求和问题
的关键是能够根据通项公式判断出各项的符号，从而将绝对值符号去除，转变为正常的求 和
问题
.
18．（1）见解析；（2）


【解析】

【分析】

（1）根据菱形和角度，可求得 ，从而根据勾股定理证得 ，可知 为 的中点，
证得 ，根据线面垂直的判定定理得： 面 ；再根据线面垂直的性质定理证
得结论；（2）将点 到面 的距离转化为 到面 的距离；根据面面垂直的性质，可知
若 ，则 即为所求距离；再利用面积桥的方式求得 即可.
【详解】


（1）证明：取 中点 ，连接 、 、
答案第10页，总16页
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
是边长为 的菱形，


由




得：









，由






为 的中点
， 为 的中点 ，而
面 ，又 面
而
（2）由 面 知点 与点 到面 距离相等
由（1）知 面 ，
面 ，而 面 面 面
过点 作 于
又面 面 面
知 即为点 到面 的距离
由面 面 ，面 面 ， 面 ，
面
而 面
又












，





















，




















【点睛】

本题考查线线垂直的证明、点到面的距离问题的求解 .立体几何中证明线线垂直的主要方法
是根据线面垂直的性质定理证得结论；解决本题中点到面距离的关 键是能够根据线面平行的
关系将问题转化为点 到面的距离，通过垂直关系作出垂线，利用面积桥的方式求解.
19．（1）男生0.58，女生0.53；（2）能在不超过 的前提下认为“问卷成绩为优秀等级
与性别有关”；（3）男生的成绩较好且稳定.
【解析】

【分析】

（1）根据频率分布直方图，分别求解出男女生横坐标大于等于 的矩形的面积之和，既得
答案第11页，总16页
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
概率；（2）分别计算出男女生优秀和非优秀的人数，补全列联表，从而求得 ；利用
公式求得

，再对比临界值表得到结论；（3）根据频率分布直方图估计平均 数（或中位数），
可知男生的平均数（或中位数）更大；再通过观察频率分布直方图可知男生的成绩分布 比女
生更集中，可知男生的成绩较好且稳定.
【详解】

（1）男生答卷成绩优秀概率




女生答卷成绩优秀概率




（2）由题意可得列联表如下：

优秀
非优秀
总计

， ， ，
由











得：













男



女



总计




能在在犯错的概率不超过 的前提下认为“问卷成绩为优秀等级与性别有关”
（3）由频率分布直方图表明：男生成绩的平均分（或中位数）在 到 之间，女生成绩的
平均分（中位数）在 到 分之间，且男生的成绩分布集中程度较女生成绩集中程度高，
因此，可以认为男生的成绩较好且稳定.
【点睛】

本题考查利用频率分布直方图计算概率、独立性检验问题、根据频率分布直 方图判断总体的
特点的问题，属于常规题型
.
20．（1）


【解析】

【分析】

（1）根据定点坐标和离心率构造出 的方程，求解得到结果，进而得到椭圆方程；（2）
当直线 与 轴重合时，可求得




；当与 轴不重合时，假设直线方程代入椭圆方





；（2）





答案第12页，总16页
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。




程，根据韦达定理得根与系数关系；代入





，可整理为：

；可知



，

此时 ，可求解出 坐标，进而求得



和



，从而求得所求面积.
【详解】

（1）由已知 ，





，得








，即




椭圆 方程为








（2）当直线 与 轴重合时，点 与点 重合，此时











当直线 与 轴不重合时
设直线 的方程为 ，设






，







由










得









显然 ，







，






























































































最大值为


此时 ，直线 方程为：




综上所述可知：





可解得：





，









，又




















【点睛】

本题考查椭圆标准方程求解、椭圆中 三角形面积的求解问题，关键是能够通过直线与椭圆联
立，利用韦达定理整理出向量数量积的最值，从而 可求得结果
.
21．(1)

：

:



(2) 点坐标为 或
答案第13页，总16页
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【解析】

【分析】

（Ⅰ）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解曲线



的直角坐标方程；
（Ⅱ）先求出MN的中点坐标，|MN|的长，可求得圆的方程，再令x=0，即可求解．
【详解】

（Ⅰ）由sin（θ+）=，得ρ（sinθcos
+cosθsin
）=，









将


代入上得x+y=1，即C
1
的直角坐标方程为x+y+1=0，
同理由ρ
2
=





，可得3x
2
-y
2
=1，∴C
2
的直角坐标方程 为3x
2
-y
2
=1.
（Ⅱ）∵
PM
⊥
PN
，先求以
MN
为直径的圆，设
Mx
1
，
y1
），
N
（
x
2
，
y
2
），
由


得3x
2
-（1-x）
2
=1，即x
2
+x-1=0，






∴


，则MN的中点坐标为（-，），







由弦长公式，可得|MN|=



|x
1
-x
2
|=

?




=

．
∴以MN为直径的圆：（x+

）
2
+（y-

）
2
=（



2
），

令x=0，得

+（y-

）
2
=

，即（y-

）
2
=

，∴y=0或y=3，
∴所求
P
点的坐标为（
0
，
0
）或（
0
，
3
）．
【点睛】

本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，以及圆的方程的应用，其中解答 中熟记极坐标与
直角坐标互化公式，以及合理利用圆的方程和性质求解是解答的关键，着重考查了推理与 运
算能力，属于基础题．
22．(1)
或
(2)4
【解析】

【分析】

（Ⅰ）去掉绝对值号，得到分段函数，分类讨论即可求解不等式的解集，得到答案；
（Ⅱ）画出函数



的图象，得出直线 与函数



围成的图形，利用梯形
的面积公式，即可求解．
【详解】

答案第14页，总16页
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，


（Ⅰ）由题意，可得函数f（x）=

，


＜

＜


，




，



由
f
（
x
）
≥3
可知：
（
i< br>）当
x≥1
时，
3x≥3
，即
x≥1
；
（ii）当-＜x＜1时，x+2＞3，即x≥1，与-＜x＜1矛盾，舍去；


（iii）当x≤-

时，-3x≥3，即x≤-1；
综上可知解集为
{x|x≤-1
或
x≥1}
．
（Ⅱ）画出函数y=f（x）的图象，如图所示，其中A（-，），B（1，3），



由
k
AB
=1
，知
y=x+a图象与直线
AB
平行，若要围成多边形，则
a
＞
2
．
易得y=x+a与y=f（x）图象交于两点C（

，

），D（-

，

），则|CD|=

?|

+

|=
平行线AB与Cd间的距离d=
∴梯形ABCD的面积S=






a．

=


，且|AB|=




，








?


=





?（a-2）=

，（a＞2）．

即（
a+2-
（
a-2
）
=12
，∴
a=4
，
故所求实数
a
的值为
4
．

【点睛】

本题考查了绝对值不等式的解法，以及分段函数的应用，其中解答中熟记绝对值不等式的解
法， 以及合理应用函数的图象求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，
属于中档题．
答案第15页，总16页