手续费公式最新2020届高三数学下学期适应性考试试题 理(含解析)

2019届高三5月适应性考试
理科数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小 题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1.已知集合
A. B.
【答案】C
【解析】
分析： 利用一元二次不等式的解法化简集合，求出集合的补集，解方程化简集合，利用
集合交集的定义进行计算 即可.
详解：因为
所以
又因为
所以 ，故选C.

，
或，
C.
，
D.
，则
点睛：本 题主要考查了解一元二次不等式，求集合的补集与交集，属于容易题，在解题过程
中要注意在求补集与交 集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集
合融合，体现了知识点之间的交汇.
2.的值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
分析：逆用二倍角正弦公式即可得到结果.
详解：sin75°cos75°=
故选：A．
点睛：本题考查了二倍角正弦公式，属于基础题.
3.下列函数中，与函数

sin75°cos75°=．
的定义域、单调性与奇偶性均一致的函数是
- 1 -
A.
C.
B.
D.


【答案】B
【解析】
易知原函数的定义域为，单调递增，奇函数，所以A、C、D错误，B正确.故选B.
4.
A.
的展开式中的系数为（ ）
B. 84 C. D. 280
【答案】C
【解析】
由题意，根据二项式定理展开 式的通项公式
，则
的系数为
展开式的通项为
.故选C.
，得
，由
展开式的通项为
，得，所以所求
点睛：此题主要考查二项式定理的通项公式的应 用，以及组合数、整数幂的运算等有关方面
的知识与技能，属于中低档题，也是常考知识点.在二项式定 理的应用中，注意区分二项式系
数与系数，先求出通项公式，再根据所求问题，通过确定未知的次数，求 出，
将的值代入通项公式进行计算，从而问题可得解.
5.设满足约束条件则的最大值为（ ）
A. B. 3 C. 9 D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】
画出可行域，通过平移动直线
【详解】可行域如图所示：
求最大值.
- 2 -

动直线平移到点时，取最大值.故选C.
【点睛】一般地，二元一次不等 式组条件下的二元一次函数的最值问题，可用线性规划的方
法求解.
6.已知斜率为3的直线与双曲线
则双曲线的离心率等于（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】
设，

交于两点，若点是的中点，
则，
所以，，
所以

，得，所以，
- 3 -
所以
7.的值为
。故选A。
，则判断框内应填入( )

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
流程图是判断何时
【详 解】第一次执行判断前，
第三次执行判断前，
以此类推，有
故，，因此判断框应填，
，
，故选A.
，逐次计算即可.
；第二次执行判断前，； < br>【点睛】对于流程图的问题，我们可以从简单的情形逐步计算归纳出流程图的功能，在归纳
中注意 各变量的变化规律.
8.日晷是中国古代利用日影测得时刻的一种计时工具，又称“日规”.通常由铜 制的指针和
石制的圆盘组成，铜制的指针叫做“晷针”，垂直地穿过圆盘中心，石制的脚盘叫做“晷面”，它放在石台上，其原理就是利用太阳的投影方向来测定并划分时刻.利用日晷计时的
方法是人 类在天文计时领域的重大发明，这项发明被人类沿用达几千年之久，下图是一位游
客在故宫中拍到的一个 日晷照片，假设相机镜头正对的方向为正方向，则根据图片判断此日
晷的侧(左）视图可能为（ ）
- 4 -

A. B.
C.
【答案】A
【解析】
【分析】
D.
从左边看，圆盘的投影是椭圆，而晷针的投影是左虚右实，故可判断选项.
【详解】从左边看，圆盘在底面的投影为椭圆，
又晷针斜向下穿盘而过，故其投影为左虚右实，故选A.
【点睛】本题考察三视图，属于基础题.
9.在中，，，则角（ ）
A. B. C. 或 D.
【答案】D
【解析】
分析：在中，利用 ，结合题中条件，利用和差角公式可求得，
利用正弦定理与二倍角的正弦即可求得结果.
详解 ：在
即
得
中，因为
，因为
，即
，所以
，
， 所以
，所以由正弦定理得
，所以，所以，所以
，所以，
，联立两式可
，故选D.
之后，一定点睛：本题主要考查三角函数的计算以及正余弦定理的应用，最后求得
要抓住题中条件，最后确定出角的大小.
10.如图，有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器，其中侧棱长为，底面边长为
- 5 -
，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为
如果不计容 器的厚度，则球的表面积为( )
，

A.
C.
B.
D.


【答案】B
【解析】
由题意得，设求和三棱柱的上底面的三个焦点分别为,
，
，
，故选B。 设截面圆的半径为，因为上底面是边长为的正三角形，则
设求的半径为，根据球的性质可得
所以球的表面积为

11.已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于
的取值范围是（ ）
D.
两点，若为线段的中点，连接
并延长交抛物线于点，则
A. B. C.
【答案】D
【解析】
由题意知，
。由
的焦点的坐标为（2,0）。直线的斜率存在且不为0，设直线方程为
。消去y整理得，设，
- 6 -
则，故，所以
，直线OS的方程为，代入抛物线方程，解得
，由条件知
故选：D
。所以。
点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求
这个函 数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：
①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
③利用基本不等式求出参数的取值范围；
④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
12.已知函数
A.
C.
，则（ ）
在上为减函数
有个极值点
有个零点 B.
的图象关于点对称 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
因为，故可判断无零点，而，
当，可通过的符号确定其单调性，通过考虑
对称.
，故判断
与可得极值点的 个数.
最后通过取特殊值去判断函数的图像是否关于
【详解】因此，故，所以无零点判断，A错 .
又
当

，
时，故在为减函数，所以B正确.
- 7 -
，因
考虑及
，故函数的图像不关于对称，所以C错误.
的图像（如图所示），

它们在
故
故
在
上有且仅有一个交点，
上有且仅有一个实数 根，且在其左右两侧，导数的符号发生了变化，
有一个极值点，所以D错.综上，选B.
【点 睛】（1）函数的零点的个数判断有时可以根据解析式的特点去判断，大多数情况下需要
零点存在定理和 函数的单调性来考虑.
（2）如果函数的解析式满足，那么函数的图像关于对称.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若复数满足
【答案】.
【解析】
分析：先求出复数z，再求复数z的虚部.
详解：由题得所以复数z的虚部为-1.故答案为：-1
是虚数单位，则的虚部为____．
点睛：（1）本题主要考查复数的运算及复数的虚部的概念，意在考查学生复数基础知识的掌
握 能力.(2)复数的虚部是b,不是bi,这一点要注意.
，则向量与的夹角是__________． 14.已知向量与的夹角是，且
【答案】
【解析】

分析：先根据题意画出平行四边形，再解三角形得解.
- 8 -
详解：如图所示，

∴
∵
∴
∴

，


的夹角是120°. 所以向量与
故填120°.
点睛：本题主要考查平行四边形法则和向量的夹角，属于基础题.
15.已知函数
【答案】
【解析】
函数f（x）=，

，函数，则不等式的解集为_______.
当﹣1≤x≤1时，f（x）=1﹣x；
当x＜﹣1时，f（x）=x+3；
当x＞1时，f（x）=（x﹣1）
2
．
①当x＞1，即﹣x＜﹣1，
可得g（x）=（x﹣1）
2
+3﹣x=x
2
﹣3x+4，
由g（x）≤2，解得1＜x≤2；
②当x＜﹣1时，﹣x＞1，则g（x）=x+3+（x+1）=x+3x+4，
由g（x）≤2，解得﹣2≤x＜﹣1；
③当﹣1≤x≤1时，﹣1≤﹣x≤1，
可得g（x）=1﹣x+1+x=2，
由g（x）≤2，解得﹣1≤x≤1，
综上可得，原不等式的解集为[﹣2，2]．
22
- 9 -
故答案为：[﹣2，2]．
16.将函数的图像向左平移个单位长度后得到的图像.若在上单调递减，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据三角变换和图像变换得到
利用是其子区间可得的取值范围．
，故
，故
在为减函数，所以存在，使得
，故
又，故，所以填．
，．
，
．
，先求出该函数的单调减区间的一般形式，

【详解】
令
因为
【点睛】若在给定区间上是单调函数，那么我们可以先求出单调区间 的一般
形式（实际上是无数个单调区间），其中必定存在一个区间，使得给定的区间是其子集，从而求得参数的取值范围．
解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.已知各项均为正数的数列
（1）求数列
（2）设
【答案】（1）
【解 析】
分析：第一问需要利用条件确定出项与和的关系，之后类比着往前写，之后两式相减，求得
相邻两项的关系，确定出数列为等比数列，之后应用等比数列的通项公式求得结果；第二问
利用利用题 中条件，求得，之后应用裂项相消法求和即可得结果.
- 10 -
的前项和为，且成等差数列。
的通项公式；
，求
；（2）
的值。
详解：（1）由题知
当
当
即
时，
时，，所以数列
；
，
，
为以2为公比的等比数列，
所以数列
（2）由
所以
所以
的通项公式为
，得
；
，
，

点睛：该题属于数列的综合题，题中考查了数列的通项公式以及求 和问题，在解题的过程中，
需要明确对数列的项的关系的转化，利用等比数列的定义得结果，在求和时， 一定需要熟记
裂项的规则，从而求得结果.
18.如图，已知四边形
形，
是直角梯形，
，为的中点．
，，且，是等边三角

（1）求证：
（2）求二面角
平面；
的余弦值．
. 【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
分析: (1)先证明
的余弦值．
详解：（1）证明：取
由题意知
平面,再证明平面.(2)利用空间向量法求二面角
的中点为，连接

，，
为平行四边形，所以． ，可得四边形
- 11 -
由题可知，
所以又∵
∵
又∵
∴
又
∴
平面
，
平面
平面
平面
，
，
，∴
，且，平面，面，
，
，
平面，平面，
为正三角形，∴
，
，
．
平面，又平面，则平面平面，
的
（2）解：由（1）可知
为正三角形，因此 取
垂线为轴，
∵
∴
则
设平面
则
，
，
的法向量为
即
的中点为坐标原点，以为轴，在底面内过作
为轴，建立空间坐标系，
，
，，
，
，
可取
，
，
，，
，
，
设二面角的大小为，则．

点睛：本题主要 考查空间位置关系的证明和空间角的计算，意在考查学生立体几何和空间向
量的基础知识的掌握能力和基 本的运算能力.证明位置关系和求空间的角都有两种方法，一是
几何的方法，一是向量的方法，各有特色 ，要根据具体情况灵活选择，提高解析效率.
- 12 -
19.已知椭圆的左、右焦点 分别为、，圆经过椭圆的两个焦点和
两个顶点，点在椭圆上，且
（Ⅰ）求椭圆的方程和点的坐标 ；
，.
（Ⅱ）过点的直线与圆相交于、两点，过点与垂直的直线与椭圆相交于另一点，求的面积的取值范围.
， 点
P
的坐标为.(Ⅱ). 【答案】(Ⅰ)椭圆的方程为
【解析】
分析：（
I
）由题意计算可得
可得点
P
的坐标为.
， ， 则椭圆的方程为， 结合几何性质
（
II
）由题意可知直线
l
2
的斜率存在，设
l
2
的方程为
， 由弦长公式可得
，与椭圆方程联立可得
； 结合几何关系
和勾股定理可得， 则面积函数， 换元求解函
数的值域可得△
ABC
的面积的取值范围是
详解： （
I
）设，，
，
．
可知圆经过椭圆焦点和上下顶点，得
由题意知
由，得
，得
，
，
，
所以椭圆的方程为
点
P
的坐标为.
（
II
）由过点
P
的直线
l
2
与椭圆相交于两点 ，知直线
l
2
的斜率存在，
设
l
2
的方程为联立椭圆方程，得
设，则，得
，由题意可知，
，
，
- 13 -
所以；
由直线
l
1
与
l
2
垂直，可设
l
1
的方程为，即
圆心到
l
1
的距离，又圆的半径，
所以，
，
由即，得，
，
设，则，，
当且仅当即时，取“＝”，
． 所以△
ABC
的面积的取值范围是
点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆 、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与
系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题 ，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可
直接使用公式|
AB
|＝< br>x
1
＋
x
2
＋
p
，若不过焦点，则必须用一 般弦长公式．
20.2017年5月，“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国“新四大发明”： 高铁、支付
宝、共享单车和网购.2017年末，“支付宝大行动”用发红包的方法刺激支付宝的使用. 某商
家统计前5名顾客扫描红包所得金额分别为5.5元，2.1元，3.3元，5.9元，4.7元， 商家
从这5名顾客中随机抽取3人赠送台历.
（1）求获得台历的三人中至少有一人的红包超过5元的概率；
（2）统计一周内每天使用支 付宝付款的人数与商家每天的净利润元，得到7组数据，如表
所示，并作出了散点图.
- 14 -


（i）直接根据散点图判断，
型.（的值取整数）
与 哪一个适合作为每天的净利润的回归方程类
（ii）根据（i）的判断，建立关于的回归方 程，并估计使用支付宝付款的人数增加到35
时，商家当天的净利润.
参考数据：


22.86


附：对于一组数据
194.29 268.86 3484.29
，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计
分别为.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）（ⅰ）见解析; （ⅱ）见解析.
【解析】
【分析】 < br>（1）总的基本事件有10种，至少有1人的红包超过5元的有9种，利用古典概型的计算公
式可 求概率.
（2）利用公式计算回归方程并预测相应的数据.
- 15 -
【详 解】（Ⅰ）记事件“获得台历的三人中至少有一人的红包超过5元”为事件，5名顾客
中红包超过5元的 两人分别记为
机抽取3人，共有抽取情况如下：
共10种.
其中至少有一人的 红包超过5元的是前9种情况，所以
（Ⅱ）（ⅰ）根据散点图可判断，选择
（ⅱ）由最小二乘法 求得系数
.
，不足5元的三人分别记为，从这5名顾客中随
作为每天的净利润的回归方程类型比较适合.
，
所以
所以关于的回归方程为
当时，商家当天的净利润

.
元，
故使用支付宝付款的人数增加到35时，预计商家当天的净利润为352元.
【点睛】古典概 型的概率计算，关键是总的基本事件的个数和随机事件中基本事件个数的计
算.可以用枚举法或排列组合 的知识来计数.
21.设函数，其中为实常数，其图像与轴交于两点，且.
（I） 求的取值范围；
（II）设，证明：.
【答案】(1) 见解析;(2)见解析.
【解析】
试题分析：（1）求出函数导数后，通过分类讨论，分析函数单调性，结合函数零点 个数，得
出a的范围；（2）先计算
试题解析：
(1)
①若
最多一个交点，与题意矛盾。
- 16 -
，利用分析法证明结论.


②若，所以


又函数图像与x轴有两个交点，则
又，当
，
故
(2)由题可知
所以
要证，则只需要证
，下面证明：，令
则上式可化简为，
则
所以，而，所以
故 ，即.
点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成 立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度
大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则 ，力争第一二问答对，第三问争取能写
点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意 分类讨论，对于恒成立问
题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等 式的函数问
题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.
22.【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，
. 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
（Ⅰ）求曲线的极坐标方程和的直角坐标方程；
- 17 -
（Ⅱ）直线
【答案】（1）
【解析】
与曲线分别交于第一象限内的
（2）
，

两点，求.
试题 分析：（1）第（1）问，先把曲线的参数方程化为直角坐标方程，再将直角坐标方程化
为极坐标方程. 直接利用极坐标直角坐标互化公式将曲线的极坐标方程化成直角坐标方程.
（2）第（2）问，联立方程 组求出A、B的极径，再求出|AB|.
试题解析：
（1）曲线，
把，，代入，
得，
化简得，曲线的极坐标方程为
曲线的极坐标方程为
所以曲线的普通方程为.
（2）依题意可设
所以，
即，所以，
因为点在一象限，所以，即，
所以.


- 18 -