仓库公式2020年(最新整理历年)高考数学三轮冲刺专题椭圆练习(含解析)-下载

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椭圆
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1. 已知O为坐标原点，F是椭圆C：
一点，且
的左焦点，A，B分别为C的左，右 顶点为C上
轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点若直线BM经过OE的中点，则C< br>的离心率为
A. B. C. D.
（正确答案）A
解：由题意可设，，，
令，代入椭圆方程可得，
可得，
，
，令，可得，
设直线AE的方程为
令，可得
设OE的中点为H，可得
由B，H，M三点共线，可得
，
，
即为，
化简可得，即为，
可得
故选：A．
．
由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为 ，分别令，，可得M，E的坐标，
再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结 合离心率公式，即可得到所求值．
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1
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本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以 及直线方程的运用和三点共线的条件：斜
率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

2. 已知椭圆C：
点，若的周长为
的左、右焦点为、，离心率为，过的直线l交C于 A、B两
，则C的方程为
A. B. C. D.
（正确答案）A
解：的周长为
的周长
，
，
，
，
离心率为，
，，
，
椭圆C的方程为
故选：A．
．
利用的周长为，求出，根据离心率为，可得，求出b，即可得出椭圆的方程．
本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．

3. 曲线的方程为
共点，则k的取值范围是
，若直线l与曲线有公
A. B.
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2
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C. D.
（正确答案）A
试题分析：方程 表示的是动点到点，
的距离之和为2，即有P的轨迹为线段，
直线l为恒过定点的直线，
， ，
直线l与曲线有公共点，等价为，即为 ．


4. 若椭圆C：的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
（正确答案）C
解：依题意可知，而
椭圆的离心率．
故选：C．
先根据题意可知，进而求得a和c的关系，离心率可得．
本题主要考查了椭圆的简单性质属基础题．

5. 已知中，A、B的坐标分别为和，若三角形的周长为10，则顶点C的轨迹方程是
A. B.
C. D.
（正确答案）B
解：，三角形的周长为10，，
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3
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根据椭圆的定义知，顶点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，且，，
，故椭圆的方程为
故选：B．
根据三角形的周长及，可得
，
，根据椭圆的定义知顶点C的轨迹是以A、B为
焦点的椭圆，待定系数法求椭圆的方程．
本题考查根据椭圆的定义，用待定系数法求椭圆的标准方程的方法，属于基础题．

6. 已知椭圆
上有且只有一个点P满足
的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点 分别是
，则椭圆的离心率为
，，在线段AB
A. B. C. D.
（正确答案）A
解：依题意，作图如下
，，，，
直线AB的方程为：
设直线AB上的点
则，

，整理得：，
，
，

，
令，
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4
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则，
由得：，于是，
，
整理得：，又
，
，，
，又椭圆的离心率，
，
椭圆的离心率为
故选A．
．

由题意可求得AB的方程，设出P点坐标，代入AB的方程，由
心率的性质即可求得答案． < br>本题考查椭圆的性质，考查向量的数量积，考查直线的方程，着重考查椭圆性质的应用，是重点更是难点，
属于难题．

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，得，结合椭圆的离
5
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7. 过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为
A. B. C. D.
（正确答案）C
解：椭圆的焦点，可得，设椭圆的方程为：，
可得：，，解得，，
所求的椭圆方程为：．
故选：C．
求出椭圆的焦点坐标，设出方程利用椭圆经过的点，求解即可．
本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，考查计算能力．

8. 已知椭圆
于A，B两点，如果
A. B. C.
的左、右焦点分别为，，过作一 条直线不与x轴垂直与椭圆交
恰好为等腰直角三角形，该直线的斜率为
D.
（正确答案）C
解：可设
若
则
由椭圆的定义可得
即有，即
，
则
在中，
，
，，
构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，
，，
的周长为4a，
，
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6
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，
直线AB的斜率为
故选：C．
假设构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，根据椭圆的定义及性质求得
，则直线AB的斜率为．
，
，
本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线斜率与倾斜角的关系，考查计算能力，属于中档题．

9. 椭圆与双曲线有相同的焦点，且两曲线的离心率互为倒数，则双
曲线渐近线的倾斜角的正弦值为
A. B. C. D.
（正确答案）D
解：椭圆的焦点坐标，离心率为：，
双曲线的焦点，，双曲线的离心率为2．
可知，则，
双曲线渐近线
故选：D．
的倾斜角的正弦值为：．
求出椭圆的离心率，得到双曲线的离心率，求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，然后求解即可．
本题考查椭圆的简单性质，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力

10. 椭圆上的点到直线的距离的最小值为
A. B. C. 3 D. 6
（正确答案）A
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7
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解：椭圆，P为椭圆上一点，
设
到直线
，，
的距离：
，
，
当且仅当时取得最小值．
点P到直线
故选：A．
的距离的最小值为．
设，，，求出P到直线的距离d，由此能求出点P到直线的距
离的最小值．
本题考查点到直线的距离公式的最小值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的参数方程的合理运用．

11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于A、B两点，若
是以 A为直角顶点的等腰直角三角形，则离心率为
A. B.
（正确答案）D
解：如图，设
若
则
C. D.
，，
构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，
，，
的周长为4a，
，即
，
8
由椭圆的定义可得
即有
则
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，
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在直角三角形中，
，
即
，
，
则
．
故选：D．
设，，若
，
构成以A为 直角顶点的等腰直角三角形，则，
，再由椭圆的定义和周长的求法，可得m，再由勾股定理，可得a，c 的方程，求得，开方得
答案．
本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，同 时考查勾股定理的运用，灵活运用椭圆的
定义是解题的关键，是中档题．

12. 已知椭圆
上有且只有一个点P满足
的左顶点和上顶点分别为A、B，左、右焦点分别是
，则椭圆的离心率为
，，在线段AB
A. B. C. D.
（正确答案）D
解：依题意，作图如下：
由，，，，
可得直线AB的方程为：
设直线AB上的点，则
，整理得：
，
，
，
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9
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由，

，
令，
则，
由得：，于是，
，
整理得：，又
，
，，
，又椭圆的离心率，
，
可得
故选：D．
，
由题意可求得AB的方程，设出P点坐标，代入AB的 方程，由
极值点，结合椭圆的离心率公式，解方程即可求得答案．
，得，运用导数求得
本题考查椭圆的性质，向量的数量积的坐标表示，考查直线的方程的运用，着重考查椭圆离心率，以及化
简整理的运算能力，属于中档题．

二、填空题（本大题共4小题，共20分）
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10
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13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆
两点，且

，则该椭圆的离心率是______．
的右焦点，直线与椭圆交于B，C
（正确答案）
【分析】
本题考查椭圆的 离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为，考查化简整理的运算能力，
设右焦点，将代入 椭圆方程求得B，C的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为，结合
离心率公式，计算即可得到所求 值方法二、运用向量的数量积的性质，向量垂直的条件：数量积为0，结
合离心率公式计算即可得到所求 属于中档题．
【解答】
解：设右焦点，
将代入椭圆方程可得，
可得
由
，
，可得
，
，
即有
化简为
由，即有
，
，
，
由，可得，
可得，
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11
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另解：设右焦点，
将代入椭圆方程可得，
可得，，
，，
，则
因为
十
，代入得
，
，
由，可得，
可得．
故答案为．

14. 已知，
为______ ．
为椭圆C的两个焦点，P为C上一点，若，，成等差数列，则C的离心率
（正确答案）
解：，，成等差数列，
，
即，
．
故答案为：．
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12
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根据等差中项的定义及椭圆的定义列方程即可得出离心率．
本题考查了椭圆的定义，等差中项的性质，属于基础题．

15. 椭圆的左、右焦 点分别为，上、下顶点分别为，，右顶点为A，直
线与交于点若，则C的离心率等于______ ．
（正确答案）
解：如图所示，设，由，得：，
根据三角形相似得：，求得：，
又直线的方程为
将点代入，得：，
．

故答案为：．
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13
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由，得：，根据三角形相似得：，则，代入即可求得
e的值．
本题考查椭圆的离心率，考查三角形的相似的性质，考查数形结合思想的应用，属于中档题．

16. 已知椭圆
心率 ______ ．
经过点，且点A到椭圆两焦点的距离之和为4，则该椭圆的离
（正确答案）
解：根据题意，椭圆上A到椭圆两焦点的距离之和为4，则，即，
又由椭圆
又由
则
，解可得
经过点
，
，
，则有，
则该椭圆的离心率；
故答案为：．
根据题意，由椭圆的定义分 析可得，将点A的坐标代入椭圆方程可得，由a的值解可得b
的值，计算可得c的值，由椭圆离心率公式 计算可得答案．
本题考查椭圆的几何性质，要掌握椭圆的定义以及离心率的计算公式．

三、解答题（本大题共3小题，共30分）
17. 已知椭圆E：
点N在E上，
Ⅰ当，
．
的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为的直线交E于A，M两点，
时，求的面积；
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14
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Ⅱ当时，求k的取值范围．
（正确答案）解：Ⅰ方法一、时，椭圆E的方程为，，
直线AM的方程为，代入椭圆方程，整理可得，
解得或，则，
由，可得，
由，，可得，
整理可得，由无实根，可得，
即有的面积为；
方法二、由，可得M，N关于x轴对称，
由可得直线AM的斜率为1，直线AM的方程为，
代入椭圆方程，可得，
解得或，，，
则的面积为；
Ⅱ直线AM的方程为，代入椭圆方程，
可得，
解得或，
即有，
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15
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，
由，可得，
整理得，
由椭圆的焦点在x轴上，则
可得
，即有
．
，即有，
，即k的取值范围是
Ⅰ方法一、求出
公式求得
的面积；
时，椭圆方 程和顶点A，设出直线AM的方程，代入椭圆方程，求交点M，运用弦长
，再由，解得，运用三角形的面 积公式可得，由垂直的条件可得
方法二、运用椭圆的对称性，可得直线AM的斜率为1，求得AM的方程 代入椭圆方程，解方程可得M，N的
坐标，运用三角形的面积公式计算即可得到；
Ⅱ直线AM 的方程为
求得t，再由椭圆的性质可得
，代入椭圆方程，求得交点M，可得
，解不等式 即可得到所求范围．
，，再由，
本题考查椭圆的方程的运用，考查直线方程和椭圆方程联立， 求交点，以及弦长公式的运用，考查化简整
理的运算能力，属于中档题．

18. 设椭圆的左焦点为F，右顶点为A，离心率为已知A是抛物线的
焦点，F到抛物线的准线l的距离为．
求椭圆的方程和抛物线的方程；
设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点异 于，直线BQ与x轴相交于点若
的面积为，求直线AP的方程．
（正确答案）Ⅰ解：设F的坐标为．
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16
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依题意可得，
解得，，，于是．
所以，椭 圆的方程为
Ⅱ解：直线l的方程为
，抛物线的方程为
，设直线AP的方程为
．
，
联立方程组，解得点，故
联立方程组，消去x，整理得，解得，或．

直线BQ的方程为，
令，解得，故D．
．
又的面积为，，
整理得
直线AP的方程为
，解得
，或
，．
．
根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a，b，p即可得出方程；
设AP方程为，联立 方程组得出B，P，Q三点坐标，从而得出直线BQ的方程，解出D点坐标，
根据三角形的面积列方程解 出m即可得出答案．
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本题考查了椭圆与抛物线的定义与性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．

19. 已知椭圆E：的离心率为，右焦点为．
求椭圆的方程；
设点O为坐标原点，过点F作直线l与椭圆E交于M，N两点，若，求直线l的方程．
（正确答案）解：依题意得，，；分
解得，；
椭圆E的标准方程为；分
设，，
当MN垂直于x轴时，MN的方程为，不符题意；分
当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为；分
由得：，分
，；分
；
又，；
，
解得，分
直线l的方程为：分
根据椭圆的几何性质，求出a、b的值即可；
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讨论直线MN的斜率是否存在，设出MN的方程，与椭圆方程联 立，利用根与系数的关系，结合
求出直线的斜率k，即可求出直线l的方程．
，
本题 考查了椭圆的几何性质的应用问题，也考查了直线与椭圆的应用问题，考查了根与系数关系的应用问
题， 平面向量的应用问题，是综合题．




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