福建警察学院分数线-成都职业学校
2020年安徽省安庆市高考数学二模试卷(文科)
一、选择题(本大题共
12
小题,共
60.0
分)
0
,
1
,,1.
已知全集,
A. B. C.
2.
已知复数,则复数
z
的共轭复数是
”的
,则
D.
为
A. B.
”是“
C. D.
3.
设
m
,
n
为实数,则“
A.
充分不必要条件
C.
充要条件
4.
函数在
B.
必要不充分条件
D.
既不充分也不必要条件
上的图象大致是
A.
B.
C.
D.
5.
我国古代数学著作九章算术中有如下问题:“今有器中米,不知其数,前人取半 ,中人三
分取一,后人四分取一,余米一斗五升,问:米几何?”如图是执行该计算过程的一个程序框< br>图,当输出的单位:升,则器中米
k
应为
第1页,共15页
A.
2
升
6.
数列和数列
B.
3
升
满足:,
C.
4
升
D.
6
升
,,则
A.
7.
若
B.
,则
C.
D.
A.
B.
C.
D.
8.
掷铁饼是一项体育竞技活动.如图是一位掷铁饼运动员在准备掷出铁饼
的瞬间,张开的双臂及肩部近似看成一张拉满弦的“弓”经测量此时
两手掌心之间的弧长是,“弓”所在 圆的半径为
参考数据:
米,估算这位
掷铁饼运动员两手掌心之间的距离约为
A.
B.
C.
D.
米
米
米
米
9.
“爱护地球节约用水”是我们每个公民 的义务与责任.某市政府为了对自来水的使用进行科学
管理,节约水资源,计划确定一个家庭年用水量的 标准.为此,对全市家庭日常用水量的情况
进行抽样调查,获得了
n
个家庭某年的用水 量单位:立方米,统计结果如表所示.
分组
频数
频率
25
50
第2页,共15页
5
则估计全市家庭年用水量的中位数是
A.
10.
点,
立方米
B.
立方米
C.
立方米
D.
立方米
与该双曲线交于两点分别是双曲线的左、右焦点,直线
,
P
,
Q
,则
B.
4
C.
11.
已知在四面体中,,
面体的外接球的表面积是
12.
已知函数
大值是
A. D.
2
,平面
PBC
,则四
A. B.
的图象在点
C.
处的切线斜率是
4
,则
D.
的最
A.
B.
C.
D.
3
二、填空题(本大题共
4
小题,共
20.0
分)
13.
直线被圆
E
:截得的弦长是
______
.
______
. 14.
设函数若,则
15.
已知圆锥的顶点为
A
,过母线
AB
、
AC
的截面面积是若< br>AB
、
AC
的夹角是,且
AC
与圆
锥底面所成的角是 ,则该圆锥的表面积为
______
.
16.
在中,
O
为其外心,,且,则边
AC
的
长是
______
.
三、解答题(本大题共
7
小题,共
82.0
分)
17.
2015
年
7
月
31
日,国际体 育奥委会在吉隆坡正式宣布
2022
年奥林匹克冬季奥运会简称冬奥
会在北京和张家口 两个城市举办.某中学为了普及奥运会知识和提高学生参加体育运动的积
极性,举行了一次奥运知识竞赛 .随机抽取了
25
名学生的成绩,绘成如图所示的茎叶图.成绩
在平均分以上含平均分 的学生所在组别定义为甲组,成绩在平均分以下不含平均分的学
生所在组别定义为乙组.
Ⅰ在 这
25
名学生中,甲组学生中有男生
6
人,乙组学生中有女生
11< br>人,试问有没有的
把握认为学生按成绩分在甲组或乙组与性别有关?
Ⅱ如果用分层抽样 的方法从甲组和乙组中抽取
5
人,再从这
5
人中随机抽取
2
人,求至少有
1
人在甲组的概率.
附表及公式:,其中
k
第3页,共15页
18.
设数列是一个公差为
成等比数列.
Ⅰ求公差
d
的值;
Ⅱ设数列的前
n
项和为
的等差 数列,其前
n
项和为,,且三项、、
,求使不等式成立的最小正整数
n
.
19.
正三角形
ABC
的边长为
a
,将它沿平行于
BC
的 线段
PQ
折起其中
P
在边
AB
上,
Q
在< br>AC
边
上,使平面平面,
E
分别是
PQ
,
B C
的中点.
Ⅰ证明:平面
ADE
;
Ⅱ若折叠后,A
,
B
两点间的距离为
d
,求
d
最小时,四棱 锥
的体积.
第4页,共15页
20.
在平面直角坐标系
xOy
中,中心在 原点的椭圆
C
经过点
的焦点重合.
Ⅰ求椭圆
C
的标准方程;
Ⅱ设点
试判断
21.
已知函数
Ⅰ求
a
的值;
Ⅱ若函数
的极小值为
1
,其中,
e
为自然对数的底数. < br>为长轴上的一个动点,过点
M
作斜率为的直线
l
交椭圆
C于
A
,
B
两点,
是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请 说明理由.
,其右焦点与抛物线
无零点,求实数
k
的取值范围.
22.
在平面直 角坐标系中,以原点为极点,
x
轴正半轴为极轴建立极坐标系,并在两坐标系中取相同
的长度单位.已知曲线
C
的极坐标方程为,直线
l
的参数方程为
为参 数.
Ⅰ求直线
l
的普通方程和曲线
C
的直角坐标方程;
Ⅱ若直线
l
与曲线
C
交于
A
,
B
两点,< br>
,且,求的值.
第5页,共15页
23.
已知,,且.
恒成立,求实数
x
的取值范围; Ⅰ若对于任意的正数
a
,
b
,不等式
Ⅱ证明:
.
第6页,共15页
-------- 答案与解析 --------
1.
答案:
A
解析:解:由题设解得,且,
故选
A
B
为二次方程的解集,首先解出,再根据交集、补集意义直接求解.
本题考查集合的基本运算,属容易题.
2.
答案:
D
解析:解:
.
故选:
D
.
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.
本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.
3.
答案:
B
解析:解:
因为
m
,< br>n
可以为负数.由
故“
故选:
B
.
利用,但不能推出,即可判断出关系.
”是“
,但不能推出
可以得到.
,
,
,
”的必要不充分条件.
本题考查了指数函数与对数函 数的单调性、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属
于基础题.
4.
答案:
B
解析:解:函数在上是奇函数,其图象关于原点对称,
所以排除选项
A
,
D
;
当时,,所以,排除选项
C
.
故选:
B
.
根据函数在上是奇函数,排除选项
A
,
D
;
再根据时,排除选项
C
.
本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用问题,是基础题.
5.
答案:
D
解析:解:由
由得,
得,
,;
,;
第7页,共15页
由得,,.
故选:
D
.
根据题意一步一步进行运算,直到跳出循环.
本题考查算法框图与数学文化,程序框图,属于基础题.
6.
答案:
C
解析:解:,
于是.
故选:
C
.
直接根据递推关系式得到数列是个等比数列,求出其通项即可求得结论.
本题主要考查了递推公式的应用以及等比数列的通项公式,属于基础题.
7.
答案:
A
解析:解:,,
.
,
故选:
A
.
由题意利用三角恒等变换,化简所要求的式子,可得结果.
本题主要考查三角函数的化简与计算,属于基础题.
8.
答案:
B
解析:解:根据题意作出下图,弧
AD
的长为,,
所以.
故选:
B
.
由已知结合弧长公式可求弧
AD
,进而可求.
本题主要考查圆与数学文化,属于基础试题.
9.
答案:
D
< br>解析:解:用水量在内的频数是
50
,频率是
用水量在内的频数是
25
,
则,
用水量在内的频率是
用水量在内的频率是,
设中位数为
x
立方米.
则,解得.
故选:
D
.
求出,从而用水量在内的频率是
能求出中位数.
,
,
,用水量在内的频率是,由此
第8页,共15页
本题主要考查频率分布表、频率分布 直方图、中位数的求法.考查频率分布直方图等基础知识,考
查运算求解能力,是基础题.
10.
答案:
B
解析:解:双曲线
P
,
Q
两点在右支上,于是
故选:
B
.
的右焦点是,直线经过点,
.
求出双曲线的右焦点是,直线经过点,
P
,
Q
两点在右 支上.转化
求解即可.
本题主要考查直线与双曲线的位置关系.考查分析问题解决问题的能力,是中档题.
11.
答案:
C
解析:解:,,又平面
PBC
,,
.
四面体
于是四面体
的外接球半径为
的外接球的表面积是.
.
故选:
C
.
根据题意可知四面体由两两垂直的三条边,可嵌入到长方体中,求其外接球.
本题考查四面体的外接球,注意是否是特殊的四面体,有没有通用的方法,属于中档题.
12.
答案:
C
解析:解:因为,所以,.
因此.
于是.
当
当
所以当
,即
,即
时,
时,< br>时,
取得最大值
.
故选:
C
.
先对函数求导,然后结合导数的几何意义可求
m
,结合导数与单调性的关系即可求解.
本题主要考查三角函数的最值与导数几何意义的应用,属于基础试题.
13.
答案:
解析:解:根据题意,圆
圆心为,半径,
的标准方程为,
;
.
第9页,共15页
则圆心到直线
则直线
的距离
被圆
E
:
;
,
截得的弦长为
故答案为:.
根据题意,将圆的一般方程变形为圆的标准 方程,分析可得圆心的坐标以及半径,由点到直线的距
离公式可得圆心到直线的距离,结合勾股定理分析 可得的弦长为,计算
即可得答案.
本题考查直线与圆的位置关系,涉及弦长公式的应用,注意利用点到直线的距离公式计算.
14.
答案:
解析:解:
.
,
,则
故答案为:
由已知可得,代入即可求解.
本题主要考查了利用奇偶性求解函数值,属于基础试题.
15.
答案:
、
AC
的夹角是,
,
,
解析:解:如图所示,
是等边三角形,
解得.
与圆锥底面所成的角是,
.
则该圆锥的表面积
故答案为:.
.
如图所示,根据等边三角 形的面积计算公式可得由
AC
与圆锥底面所成的角是,可得底面半
径即可得出该圆锥的 表面积.
本题考查了等边三角形的面积计算公式、线面角、圆锥的表面积,考查了推理能力与计算能力 ,属
于基础题.
16.
答案:
解析:解:,
,
,
第10页,共15页
,
在
又
代入式,可得
中,
O
为其外心,
,
,
.
.
故答案为:
本题根据
O
为
.
的外心,代入已知式子中,消 去,求得,通过平面
向量的线性运算和模长公式求得边
AC
的长.
本题考查 了平面向量与三角形外心的综合应用,涉及向量线性运算、数量积和模长公式,属综合考
查类题目. < br>17.
答案:解:Ⅰ由茎叶图数据计算得,平均分为
80
,所以甲组
1 0
人,乙组
15
人.
作出列联表如下:
男生
女生
合计
将列联表数据代入公式计算得,
甲组
6
4
10
乙组
4
11
15
合计
10
15
25
.
所以有的把握认为学生按成绩分在甲组或乙组与性别有关.
Ⅱ由分层抽样知,甲组应抽
2
人记为
A
、,乙组应抽
3
人记为
a
,
b
,.
从这
5
人中抽取
2
人的情况分别是
AB< br>,
Aa
,
Ab
,
Ac
,
Ba
,Bb
,
Bc
,
ab
,
ac
,
bc,共有
10
种.
其中至少有一人在甲组的种数是
7
种,分别是
AB
,
Aa
,
Ab
,
Ac
,
Ba
,
Bb
,
Bc
.
故至少有
1
人在甲组的概率是.
解析:Ⅰ由茎叶图数据计算得, 平均分为
80
,得到甲组,乙组人数.作出列联表,求出,
即可判断是否与性别有关.
Ⅱ由分层抽样知,甲组应抽
2
人记为
A
、,乙组应抽
3人记为
a
,
b
,从这
5
人中抽取
2
人 共有
10
种.至少有一人在甲组的种数是
7
种,然后求解至少有
1< br>人在甲组的概率.
本题考查了独立性检验的应用问题,古典概型概率的求法,也考查了计算能力 的应用问题,是基础
题目.
、、成等比数列,,
18.
答案:解:Ⅰ
而是等差数列,,.
于是
即
解得
,
,
.
第11页,共15页
由知,
,得
.
,解得.
, Ⅱ由Ⅰ知
.
由,解得.
故使不等式成立的最小正整数
n
为
2020
.
解析:Ⅰ由、、成等比数列,得
关系式,再由列式求得.
Ⅱ由Ⅰ知
,得
,结合是等差数列,得关于首项与公差的
,可得,< br>利用裂项相消法求得,再求解不等式可得使不等式成立的最小正整数
n
.
本题 考查等差数列的通项公式与前
n
项和,考查等比数列的性质,训练了利用裂项相消法求数列的< br>前
n
项和,是中档题.
19.
答案:证明:连接
AD
,
DE
,
AE
,
在中,,
D
是
PQ
的中点,所以.
又因为
DE
是等腰梯形
BPQC
的对称轴,所以.
而,所以平面
ADE
.
解:因为平面平面
BPQC
,,所以平面
PBCQ
,
连结
BD
,则.
设
于是
,为
BC
的中点,
.
,
当
此时四棱锥
解析:
设
时,.
的体积为. < br>连接
AD
,
DE
,
AE
,可证
,
, ,从而可证平面
ADE
.
,从而可为
BC
的中点,则计算可得得
d
何时最小并能求得此时四棱锥的体积.
线面垂直的判定可由线线垂直得到, 注意线线是相交的,也可由面面垂直得到,注意线在面内且线
垂直于两个平面的交线.立体几何中的最值 问题应选择合适的变量,再根据条件得到目标函数,最
后根据函数的性质得到最值.
第12页,共15页
20.
答案:解:Ⅰ由题意知椭圆
C
的两个焦点.
设椭圆由解得,.
故椭圆
C
的标准方程是
Ⅱ由题意可设直线
l
的方程为
.
.
联立消去
y
得,.
因为< br>因为点
此时
于是
设
,所以
为椭圆
C
长轴上的 一个动点,所以
,,则
.
.
.
.
故
解析:Ⅰ由题意知椭圆
C
的两个焦点
用已知条件求出
a
,
b
,即可得到椭圆
C
的标准方程.
Ⅱ由题意可设直线
l
的方程为联立椭圆方程,消去
y
得,
设椭圆利
为定值
13
.
设,,利用韦达定理以及弦长公式,转化求解即可.
本题考查椭圆方程的求法,椭圆的简单性 质,直线与椭圆的位置关系的综合应用,考查转化思想以
及计算能力,是难题.
21.
答案:解:Ⅰ已知函数
当
当
时,
时,令
,
,所以
当
所以在
因此在
故
a
的值为
1
.
Ⅱ当
恒成立,则在
R
上单调递增,所以函数无极值,不符合题意.
,得,.
;当,.
内单调递减,在内单调递增.
处取得极小值,且极小值为,解得.
时,,则.
第13页,共15页
函 数无零点,等价于方程在
R
上没有实数解,即关于
x
的方程:在
R< br>上没有实数解.
当
当
令
时,方程为
时,方程化为
, 则
,
所以当
,易知方程没有实数解.
.
由
.
时,方程无实数解,解得.
得,是的极小值,也是最小值,
综上可知,实数
k
的取值范围是.
解析:先对函数求导,然后结合导数与单调性的关系对
a
进行分类讨论,确定导数的符 号,进而
可求函数取得极小值的条件,结合已知可求;
函数无零点,等价于方程在
R
上没有实数解,即关于
x
的方程:
在
R
上没有实数解,然后 结合
k
的范围及函数的性质可求.
本题主要考查了函数继续存在条件的应用及利用导 数求解函数的零点,考查了运算求解能力,属于
中档试题.
22.
答案:解;Ⅰ由直 线
l
的参数方程消去参数
t
,得直线
l
的普通方程为
将,
得曲线
C
的普通方程为
代入
.
,
,
Ⅱ设
A
,
B
对应的参数为,将代入,
得
由于直线
l
过
于是
,所以
,且
,
,
,所以
故
.
,.
.
解析:Ⅰ相切参数方程中的
t
,即可得到直线
l
的普通方程和,利用
,即可化简曲线
C
的极坐标方 程为直角坐标方程;
Ⅱ利用直线参数方程的几何意义,结合韦达定理,化简求解
,代入
的值.
本 题考查极坐标方程,参数方程的的应用,直线参数方程的几何意义,考查转化思想以及计算能力,
是中档 题.
23.
答案:解:Ⅰ因为
即,当且仅当
,所以
时取等号,因此 的最小值是
4
.
第14页,共15页
于是,所以
.
.
故实数
x
的取值范围是
Ⅱ证明:
,
当且仅当
时取等号.故.
解析:Ⅰ利用基本不等式转化求解
围;
Ⅱ:
的最小值,然后转化求解不等式 ,即可实数
x
的取值范
展开,通过构造法,结合基本不等式求解不等式的最小值,即可 证明不等式.
本题考查考生对绝对值不等式的理解和转化以及对绝对值函数的运算求解能力,考查绝对 值不等式
的性质,考查利用平均不等式证明相关不等式的方法.
第15页,共15页
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