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中位值公式高中数学必修3海伦公式的证明方法

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-12 11:23
tags:海伦公式

高二化学知识点总结-郁闷的心情


高中数学必修3海伦公式的证明方法



海伦公式的证明⑴

与海伦在他的著作《度量论》)中的原始证明不同,
在此 我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c
的对角分别为A、B、C,则余弦定理为 [1]

cosC=(a^2+b^2-c^2)2ab

S=12*ab*sinC

=12*ab*√(1-cos^2C)

=12*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^24a^2*b^2]

=14*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]

=14*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]

=14*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]

=14*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]

设p=(a+b+c)2

则p=(a+b+c)2,p-a=(-a+b+c)2, p-b=(a-b+c)2,p-c=(a+b-
c)2,

上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)16]

=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

所以,三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

海伦公式的证明⑵

中国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公< br>式基本一样,其实在《九章算术》中,已经有求三角形公式“底乘
高的一半”,在实际丈量土地面 积时,由于土地的面积并不是三角
形,要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来
求三角形的面积?直到南宋,中国 著名的数学家秦九韶提出了“三斜
求积术”。

秦九韶他把三角形的三条边分别称为小 斜、中斜和大斜。“术”
即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方,送到中斜平方,
取 相减后余数的一半,自乘而得一个数,小斜平方乘以大斜平方,
送到上面得到的那个。相减后余数被4除 ,所得的数作为“实”,
作1作为“隅”,开平方后即得面积。

所谓“实”、“隅” 指的是,在方程px2=q,p为“隅”,q为
“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜 、小斜,所以

q=14{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)2]^2}

当P=1时,△2=q,

△=√14{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)2]^2}

因式分解得

△^2=14[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2]

=14[(c+a)^2-b^2][b^2-(c-a)^2]

=14(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)

=14(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)

=14[2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)]

=p(p-a)(p-b)(p-c)

由此可得:

S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

其中p=12(a+b+c)

这与海伦公式完全一致,所以这一公式也被称为“海伦-秦九韶
公式”。

S=√14{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)2]^2}.其中c>b>a.

根据海伦公式,我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如
下题:

已知 四边形ABCD为圆的内接四边形,且AB=BC=4,CD=2,DA=6,
求四边形ABCD的面积

这里用海伦公式的推广

S圆内接四边形=根号下(p-a)(p-b)( p-c)(p-d)(其中p为周长一
半,a,b,c,d,为4边)

代入解得s=8√3

海伦公式的证明⑶

在△ABC中∠A、∠B、∠C对应边a、b、c

O为其内切圆圆心,r为其内切圆半径,p为其半周长

有tanA2tanB2+tanB2tanC2+tanC2tanA2=1

r(tanA2tanB2+tanB2tanC2+tanC2tanA2)=r

∵r=(p-a)tanA2=(p-b)tanB2=(p-c)tanC2

∴r(tanA2tanB2+tanB2tanC2+tanC2tanA2)

=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA2tanB2tanC2

=ptanA2tanB2tanC2

=r

∴p^2r^2tanA2tanB2tanC2=pr^3

∴S^2=p^2r^2=(pr^3)(tanA2tanB2tanC2)

=p(p-a)(p-b)(p-c)

∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c)

海伦公式的证明⑷

通过使用正弦定理和余弦定理的结合证明(具体可以参考证明方
法1)

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