高二化学知识点总结-郁闷的心情
高中数学必修3海伦公式的证明方法
海伦公式的证明⑴
与海伦在他的著作《度量论》)中的原始证明不同,
在此 我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c
的对角分别为A、B、C,则余弦定理为 [1]
cosC=(a^2+b^2-c^2)2ab
S=12*ab*sinC
=12*ab*√(1-cos^2C)
=12*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^24a^2*b^2]
=14*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
=14*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
=14*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=14*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
设p=(a+b+c)2
则p=(a+b+c)2,p-a=(-a+b+c)2, p-b=(a-b+c)2,p-c=(a+b-
c)2,
上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)16]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以,三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
海伦公式的证明⑵
中国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公< br>式基本一样,其实在《九章算术》中,已经有求三角形公式“底乘
高的一半”,在实际丈量土地面 积时,由于土地的面积并不是三角
形,要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来
求三角形的面积?直到南宋,中国 著名的数学家秦九韶提出了“三斜
求积术”。
秦九韶他把三角形的三条边分别称为小 斜、中斜和大斜。“术”
即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方,送到中斜平方,
取 相减后余数的一半,自乘而得一个数,小斜平方乘以大斜平方,
送到上面得到的那个。相减后余数被4除 ,所得的数作为“实”,
作1作为“隅”,开平方后即得面积。
所谓“实”、“隅” 指的是,在方程px2=q,p为“隅”,q为
“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜 、小斜,所以
q=14{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)2]^2}
当P=1时,△2=q,
△=√14{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)2]^2}
因式分解得
△^2=14[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2]
=14[(c+a)^2-b^2][b^2-(c-a)^2]
=14(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)
=14(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)
=14[2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)]
=p(p-a)(p-b)(p-c)
由此可得:
S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中p=12(a+b+c)
这与海伦公式完全一致,所以这一公式也被称为“海伦-秦九韶
公式”。
S=√14{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)2]^2}.其中c>b>a.
根据海伦公式,我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如
下题:
已知 四边形ABCD为圆的内接四边形,且AB=BC=4,CD=2,DA=6,
求四边形ABCD的面积
这里用海伦公式的推广
S圆内接四边形=根号下(p-a)(p-b)( p-c)(p-d)(其中p为周长一
半,a,b,c,d,为4边)
代入解得s=8√3
海伦公式的证明⑶
在△ABC中∠A、∠B、∠C对应边a、b、c
O为其内切圆圆心,r为其内切圆半径,p为其半周长
有tanA2tanB2+tanB2tanC2+tanC2tanA2=1
r(tanA2tanB2+tanB2tanC2+tanC2tanA2)=r
∵r=(p-a)tanA2=(p-b)tanB2=(p-c)tanC2
∴r(tanA2tanB2+tanB2tanC2+tanC2tanA2)
=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA2tanB2tanC2
=ptanA2tanB2tanC2
=r
∴p^2r^2tanA2tanB2tanC2=pr^3
∴S^2=p^2r^2=(pr^3)(tanA2tanB2tanC2)
=p(p-a)(p-b)(p-c)
∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c)
海伦公式的证明⑷
通过使用正弦定理和余弦定理的结合证明(具体可以参考证明方
法1)
国企名单-20亩是多少平方米
give的过去式是什么-百二秦关终属楚三千越甲可吞吴
郡县制的意义-渡汉江唐宋之问
大学有哪些系-如何与孩子沟通
拍照解题-初中读大专
梯形周长-什么生意好做又赚钱
机械自动化就业方向-拉丁
女生学什么专业好就业-热恋感动到哭的情话
本文更新与2020-09-12 11:23,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/392818.html
-
上一篇:(完整版)海伦秦九韶公式
下一篇:海伦公式的证明及两个推论-文档