公式斜体§2 广勾股定理及斯特瓦尔特定理及海伦公式证明

§2 广勾股定理及斯特瓦尔特定理
一、广勾股定理
勾股定理反映了直角 三角形三边之间的度量
关系，即“斜边的平方等于两直角边的平方之
和”．如果不是直角三角形 ，而是锐角或钝角三
角形，那么它们的三边之间存在怎样的度量关系
呢？这就涉及到广勾股定理 了．
广勾股定理：在任一三角形中，
(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方
和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射
影乘积的两倍．
(2)钝角对边 的平方等于其他两边的平方和，
加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘
积的两倍．
证明
(1)设△ABC中，AC是锐角B的对边(图2－
4)．作BH⊥AC于H，因为
AB
2
=BH
2
+AH
2
，
BC
2
=BH
2
＋CH
2
，
所以，
BC-AB=CH-AH．
∴BC
2
=AB
2
+CH2
-AH
2
． (1)
但是CH=(AC－AH)
=AC-2AC·AH+AH． (2)
将(2)代入(1)就得到
BC=AB＋AC-2AC·AH．
(当H在AC边的延长线上时，结论是一样的．)
B
222
22
22
2222
C
H
图2-4
A

(2)设在△ABC中，BC是钝角A的对边(图2
－5)．
作BH⊥CA于H，
则 BC
2
＝CH
2
+BH
2
．
AB=AH+BH．
∴BC＝AB+CH-AH． (1)
但是
CH=(AC+AH)=AC＋2AC·AH＋AH．(2)
将(2)代入(1)就得到
BC=AB＋AC＋2AC·AH．
由勾股定理和广勾股定理可以得到如下结
论：
三角形的一角是锐角、直角或钝角时，它的
对边的平方比其他两边的平方和较小、相等或较
大，并且其逆命题也成立．
二、斯特瓦尔特(stewart)定理
设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点
D，则有
AB·DC+AC·BD- AD·BC＝BC·DC·BD．
222
222
2222
2222
222
证明 在图2－ 6中，作AH⊥BC于H．为了明
确起见，设H和C在点D的同侧，那么由广勾股
定理有
AC
2
=AD
2
＋DC
2
-2DC·DH，(1)
AB
2
=AD
2
+BD
2
+2BD·DH． (2)
用BD乘(1)式两边得
AC
2
·BD=AD
2·BD+DC
2
·BD-2DC·DH·BD，(1)′
用DC乘(2)式两边得
AD
2
·DC=AD
2
·DC＋BD2
·DC＋2BD·DH·DC．(2)′
由(1)′+(2)′得到
AC
2
·BD+AB
2
·DC=AD
2
(BD＋DC)+D C
2
·BD＋BD
2
·DC
而AD
2
(BD＋D C)+DC
2
·BD＋BD
2
·DC
=AD·BC+BD·DC·BC．
∴AB·DC＋AC·BD- AD·BC=BC·DC·BD．
222
2

三、三角形中几条重要线段的计算
(一)已知△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB=c，ma，mb，mc分别表示BC、AC、AB边上的中线，
求m
a
，m
b
，m
c
．
解在图2－7中，设D是BC边的中点，AD＝
ma，

代入斯特瓦尔特定理之关系式则有



(二)设AD= ta为△ABC中角A的平分线(图2
－8)．AB＝c，AC＝b，BC=a，求ta．
解
∵AD是∠A的平分线，

将BD、CD之值代入斯特瓦尔特定理之关系
式，则有



(t
b
、t
c
分别是△ABC中∠B、∠C的角平分线
之长．)
(三)设△ABC中，h
a
是BC边上的高线，求h
a
和△ABC的面积．

解：设图2－9中，AD⊥BC于D，AD=ha．由
广勾股定理得
b
2
=c
2
＋a
2
-2a·BD．

消去BD，得


同理：

(h
b
、h
c
分别为AC、AB边上的高．)

∴三角形ABC的面积：

这个三角形的面积公式在我国叫三斜求积公
式，国外叫做海伦公式．