高等数学的公式数学史(第2章古希腊数学)

第2章 古代希腊数学
主题：
希腊文化与理论数学的起源
人类理性思维的形成
在唯理的社会气氛中，希腊人将埃及和美索不达米亚的数学经验算术和几 何法则
加工成具有初步逻辑结构的论证数学体系。
概述：
希腊数学分为三个阶段： 一是从公元前6C到约公元前3C，这一时期以雅典为中
心，形成了论证几何数学的思想基础和有关方法 上的基础；二是从约公元前3C到约
公元前30年，这一时期主要以亚历山大为中心，形成的系统的论证 几何体系，建立
理论方法，为数学的发展提供了一种基本的观点和方法。三是从约公元前30年到公元6C，这是希腊数学发展后期，主要发展带有实用特点的数学。同时也有对前人进行
评述和整理工 作。
主要成就：
1 论证数学的鼻祖及主要贡献：
泰勒斯（前625－前547） 泰勒斯领导的爱奥尼亚学派据说开了希腊命题论证之
先河，并证明了四条定理和“泰勒斯定理”。
毕达哥拉斯（前580－前500） 毕达哥拉斯创立了毕达哥拉斯学派，从事哲学和
数学研究 。普鲁克鲁斯在《评注》中论述了毕达哥拉斯学派的主要成就有：（1）证明
了毕达哥拉斯定理，即勾股 定理。其方法最著名的猜测是“面积剖分法”。（2）正多
面体作图（包括正四、六、八、十二、二十面 体）。以正十二面体的作图最为著名，
它的每个面都是正五边形，并且和“黄金分割”相关（注：黄金分 割这一名字并不是
来源该学派，见书36页注）。（3）关于数的研究，毕达哥拉斯学派的基本信条是“ 万
物皆数” （这里指整数），并讨论了许多数论的性质，如偶数与奇数，完全数等。该
学派还 有关于“形数”的研究，他们把数作为几何思维元素的精神，“形数”体现了
数与形的结合。（4）发现 了不可公度量。
评论：毕达哥拉斯学派把数看成是世界的基础，客观上形成对世界数量关系的认
识，是人类认识上的一大进步。加强了数概念中的理论倾向，推动了几何学的抽象化
倾向，这些研究使 人类抽象思维能力达到了一个高的水平。不可公度量的发现，由此
产生了“第一次数学危机”，这一问题 的根本解决是人们对连续性有更精确的定义后
才完全解决。
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2 雅典时期的希腊学派活动
这一时期，雅典是希腊的政治经济文化中心，学派林立（这些学派有哪些？） 。
学派主要讨论哲学问题。但是一些讨论涉及到了无限性、连续性等深刻概念。讨论极
大地强化 了数学的理论色彩。这一时期的主要成就表现在下面的一些方面：
一 三大几何问题：
化圆为方 倍立方体 三等分任意角（你知道这些问题的具体含义吗？）
在化圆为方的研究中 诡辩学派的代表人物安提丰产生了“穷竭法”的思想而被称
为“穷竭法”的始祖。关于被倍立方体问题， 柏拉图学派的梅内赫莫斯发现了圆锥曲
线。但是，真正对问题的解决是到了19世纪，数学家才弄清三大 问题是不可解的。
二 无限的早期探索：
主要以芝诺悖论为代表，提出了四个悖论，（具体 是什么？）揭示了无限性概念
的矛盾（即：事物一方面需要无限可，另一方面又不可分无限小量）。这些 问题的解
决最终是借助极限、连续等抽象概念才解决。
三 逻辑演绎结果的倡导
这 一时期，数学中的演绎化倾向有了实质性的进展，主要归功于柏拉图、亚里斯
多德和他们的学派。柏拉图 认为数学是一切学问的基础（学院大门上写着“不懂几何
者莫入”），这一学派对数学研究方法有颇多的 贡献（分析法和归谬法）。亚里斯多德
是柏拉图的学生，他发展和完善了柏拉图的方法，最大的贡献是将 前人使用的数学推
理规律规范化和系统化，独立创立了逻辑学，即形式逻辑。其中的矛盾律和排中律是< br>数学间接证法（如反证法）的核心。为欧几里得的演绎几何体系奠定了方法论的基础。
3 亚历山大学派——希腊数学黄金时代（前338年－前30）（重点）
主要人物：欧几里得、阿基米德和阿波罗里奥斯
欧几里得
希腊论证几何学的集大成 者。两个典故：“几何学无王者之道”；“不要希望从几
何中捞点什么”。欧几里得写了很多著作，包括 数学、天文、光学和音乐。最重要的
是《原本》。
《原本》：用公理化方法对当时的数学知识 作了系统化、理论化的总结，全书分
为13卷，包括有5条公理、5条公设、119个定义和465条命 题，构成了历史上第一
个数学公理体系。（注：这里公理是指一切科学公有的真理（基本原理），公设是 为某
一学科所接受的第一性原理。）
《原本》包括了平面几何的基本内容，如全等形、平行线、多边形、圆、毕达哥

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拉斯定理、初等作图及相似形等。“几何代数”内容，体现了数形结合的思想。“比例
论”消除 了部分当时对不可公度量认识上的危机（注：在对不可公度量的根本解决，
到19世纪，出现在借助于极 限过程对无理数作出严格定义之后）。还有数论内容，不
可分度量的讨论，立体几何内容。详细陈述了“ 穷竭法”。
评论：《原本》是数学史上的一座丰碑，最大的功绩就在于数学中的演绎范式的
确 立，即公理化思想。
阿基米德（前287－前212）
阿基米德的成就涉及数学、力学和天 文学，有流传于世的丰富文稿，其中数学著
作集中探讨与面积和体积计算相关的问题，比如用穷竭法计算 圆的周长和面积公式。
求出了球的表面积和体积公式。阿基米德是数学工作的严格证明和创造技巧相结合 的
典范，用“平衡法”求球的体积公式，实质上是一种原始的积分法。发现与求证是阿
基米德的 独特思维方式。
阿波罗里奥斯（前262－前190）
主要贡献涉及几何学和天文学，最主 要的是数学成就，创立了完美的圆锥曲线理
论，直至17世纪笛卡儿和帕斯卡之前无人超越。
《圆锥曲线论》共8卷，有487各命题。阿波罗里奥斯第一次从一个对顶圆锥得
到所有的圆锥曲线，并 命名现在的椭圆（elipse）、双曲线（huperbola）和抛物线
（parabola），还 广泛讨论了圆锥曲线的性质，甚至包含了现代微分几何和射影几何的
思想和萌芽。《圆锥曲线论》是希腊 演绎几何的最高成就，阿波罗里奥斯用纯几何的
形式，推出了今天解析几何的主要结论。
4 亚历山大后期（公元30年－公元6世纪）和希腊数学的衰落
从论证数学转向实用的数学
海伦：主要讨论几何图形的面积和体积计算，如海伦公式（阿基米德发现，命名
是海伦公式）。
建立三角学：代表人物是托勒枚《大成》：弦表和托勒枚定理，他是第一个有明
确的构造原理并 流传于世系统的三角函数表。
突破了前期以几何学为中心的传统，算术和代数成为独立的学科。丢番图 的《算
术》，用纯分析的途径处理数论与代数问题，是希腊算术与代数成就的最高标志。
丢番 图的《算术》是希腊算术与代数成就的最高标志。共10卷，含290个问题。
主要对不定方程问题进行 了广泛的讨论，最出名的一个不定方程是勾股定理的整数解
问题。还创立了“简写代数”。局限是代数问 题的解法缺乏一般性。

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帕波斯《数学汇编》：主要荟萃总结前人的成果，同时 也有创造性的成果。许多
宝贵资料正是《数学汇编》的记载得以保存。
5 本章研讨题目
1、 希腊文化与理论数学的起源
2、 “穷竭法”的历史起源及其价值
3、 “圆锥曲线”的历史起源
4、 “公理化”思想方法的起源与发展
5、 托勒枚“弦表”算法与三角公式


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