捕捞季节指标公式一种证明三元对称不等式方法研究

一种证明三元对称不等式方法的研究
摘 要:本文将探讨一种证明三元对称不等式的方法,通 过一系列
例题,来反映这种方法在证明三元对称不等式中(尤其是对称三角
不等式)的应用。
关键词:三元对称不等式 应用
三元对称不等式在不等式中经常出现(尤其是关于三角形的不 等
式),本人发现许多三元对称不等式都可以通过一种换元方法来证
明,下面来介绍这种方法( 姑且称为“p-q-m”法)
设x,y,z为正数,记p=x+y+z,q=xy+xz+yz,m= xyz,它们满足如下性
质:
(1)pq9≥m;
(2)p2≥3q;
(3)p3+tm≥(3+t9)pq,只要t≤9;
(4)q2≥3pm;
(5)q3+tm2≥(3+t9)pqm,只要t≤9;
性质一二是显而易见的(均值不等式),对于性质三,我们先来证
明一个引理;
引理:舒尔不等式:
设x>0,y>0,z>0,x(x-y)(x-z)+y(y-z)( y-x)+z(z-x)(z-y)≥0;
证明:不妨设x≥y≥z
∑x(x-y)(x- z)=x(x-y)(x-z)+y(y-x)(y-z)+z(z-x)(z-y)≥
x(x-y)( x-z)+y(y-x)(y-z)=(x-y)2(y-z)≥0
又∑x(x-y)(x-z)=p3+9m-4pq,p3+9m -4pq≥0
性质三的证明:p3+tm=p3+9m-(9-t)m ≥
4pq-(9-t)pq9=(3+t9)pq
将yz代替x,xz代替y,xy代替z,性质四由性质二得,性质五由性
质三得到。
问题探究:对于不等式p3+tm≥(3+t9)pq,对于任意x,y,z为正数
均成立的充要条件 为t≤9吗?
回答是肯定的,充分性已证明,我们来证明必要性。
令x=1,y=1,则p=2+z,q=2z+1,m=z,
则(2+z)3+tz≥(3+t9)(2+z)(2z+1)
(2+z)(z-1)2≥2t(z-1)29;
t≤9+4.5z对于z>0恒成立,当z为正无穷小时,t≤9。
这三条形质对于证明许多三元对称不等式很有用处,我们来看一
个纯代数例子:
(1)内斯比特不等式对任何正实数a,b,c,都有:
■+■+■≥■
证明:同上引入p,q,m,则原式等价于
2∑a(a+c)(a+b)≥3(b+c)(a+c)(a+b)
化简得 p3+9m2≥72pq,利用性质三(t=92),易证
该方法更多的应用在于三角不等式, 在三角不等式中,通过恰当
的换元,可用p-q-m法来证明
换元方法:已知a,b,c为三 角形abc的三边,s,r,r,s分别为三角
形abc的半周长,外接圆半径,内接圆半径,面积,作 代换
x=(b+c-a)2,y=(a+c-b)2,z=(b+c-a)2,引入p,q,m,其中< br>p=x+y+z,q=xy+xz+yz,m=xyz,则s=p,由海伦公式,得
s2=sx yz=(sr)2,得到r=■,s=■,tan(a2)=■,sina=2■
(a+b)(a+c) ,r=(b+c)2sina=(pq-m)4■
(2)证明gerretsen不等式:s2≥16rr-5r2
证明:16rr-5r2=4(pq-m)p-5mp=(4pq-9m)p
要证s2≥16rr-5r2,只需证明p3+9m-4pq≥0(由性质三t=9可知)
(3)欧拉不等式:rr≥2;
证明:rr=(pq-m)4m≥(9m-m)4m=2(性质一)
(4)1.外森比克不等式:a2+b2+c2≥4■s
2.外森比克不等式的加强:(a- b)2+(b-c)2+(c-a)2≤a2+b2+c2-4
√3a≤3(a-b)2+3(b-c) 2+3(c-a)2
证明:
1.a2+b2+c2=2p2-2q≥6q-2q(性质二)≥4q≥4■(性质四)
2.(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=2p2-6q,原不等式等价于
p2-3q≤p2-q-2■≤3p2-9q?圳4q-p2≤■≤q,
由性质三t=9,得4q-p2≤9mp,9mp≤■?圳p3-27m≥0
(性质三t=-27)
不等式右边由性质四可证。
该方法在三元对称不等式中的应 用还有很多,尤其是在三角不等
式中的应用,会很轻松解决一些貌似很难的对称三角不等式,限于
篇幅,不再一一列举。
作者单位:中山大学物理科学与工程技术学院