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pid算法公式重要不等式及其运用 人教版 2

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-12 12:10
tags:海伦公式

孔雀东南飞原文及翻译-辽宁体育


重要不等式及其运用
学习目标:
1.掌握定理的推证;
2.能够灵活运用定理证明不等式;
3.能够灵活运用定理求解函数的最值问题;
4.争取掌握补充内容。
学习重点难点:
灵活运用定理证明不等式和求函数的最值问题。
一、教材分析:
本节所介绍的公 式在整个代数中占有重要地位,它不仅用来为证明不等式提供理论依据,还在其它问题的求
解中有着广泛 的应用,例如求最值问题,求范围问题等。
主要内容:
重要结论1:如果a,b∈R, 那么 (当且仅当a=b时取“=”号)。
定理:如果a,b∈R
+
, 那么 (当且仅当a=b时取“=”号)
重要结论2(补充):如果a, b, c∈R
+
, 那么 。(当且仅当a=b=c时取“=”号)
重要结论3(补充):如果a, b, c∈R
+
, 那么 (当且仅当a=b=c时取“=”号)
重要结论4(补充):如果a
1
, a
2
,.., a
n
∈R
+
, 那么
时取“=”号),其中n∈N, 且n>1。
(当且仅当a
1
=a
2
=……=a
n
以上内容有几点说明:
①对于结论1,应注意灵活变形:
比如 ;如果b>0,那么 ;
另外 。
②定理指出:两个数的算术平均数不小于它们的 几何平均数,反映了两个数的和与积的重要关系,它是基础,
因为它不仅应用广泛,而且 也可由它推出,现证明如下:
设a, b, c∈R
+
, ,则A>0, 且a+b+c=3A, 于是

∴ , , ∴ 。
可以看出,当且仅当a=b, c=A且 ,即a=b=c(=A)时取“=”号。
的几何意义是“半径不小于半弦”。
我们知道 ,即两个正
数的平方平均数不小于算术平均数。且 ,即两个正数的算
术平均数不小于这两数的调和平均数,显然需要比较的是 与 的大小。
∵ 。
综上可得出: 。
③结论2的条件是a,b,c∈R
+
,实际上,由推证过程:a+b+c-3abc=
333
(a+b+c)[(a-b)+(b-c)+(c-a)]≥0。
333
222
只需a+b+c≥0即可,但为了使用方便 ,往往限制a,b,c∈R
+
。这一点必须清楚,例如a+b+c≥3abc成立的充要
条件是:a+b+c≥0 或a=b=c。
④结论4,设
算术平均数A不小于它们的几何平均数G。
,本定理反映的是n个(n是大于1的整数)正数的
⑤应用不等式证题时,一定要注意条件和“=”的说明,尤其在求函数最值时,“=”号成立与否是很关键的。
二、重要不等式的应用:
例1.设a, b, c∈R
+
,求证: 。
分析:本题的难点在于
能解决。
不易处理,如能找出a+b与a+b之间的关系,问题就
22
证明:∵ a, b, c∈R
+
, a+b≥2ab,∴ 2(a
2
+b
2
) ≥(a+b)
2
,
22
∴ ,
同理: , ,

例2.若a, b, c∈R
+
,求证(a+b+c)·(a+b+c)≥243a
2
b
2
c
2

分析:这类不等式可看作是“和的形式≥积的形式”经迭乘而成。
4222
证明:∵ a,b,c>0,∴ ,∴ ,

∴ (a+b+c)
4
(a< br>2
+b
2
+c
2
)≥243a
2
b
2
c
2

,∴(a+b+c)
4
(a
2
+b
2
+c
2
)≥3
5
(abc)
2

例3.若a>2,求证 。
分析:两个对数的积不好处理,而和易处理,从而想到重要不等式。
证明:∵ a>2, ∴ log
a
(a-1)>0, log
a
(a+1)>0,且 ,

∴ log
a
(a-1)log
a
(a+1)<1。
例4.若0 解:∵ , ∴2-5x>0,∴
当且仅当5x=2-5x,即 时,原式有最大值 。
例5.求函数 的最小值 (a>0)。
解:
(1)当0min
=2。
(2)当a>1时,令 (t≥ )。
∵ 在 为增函数,∴ ,此时x=0。
综上可知,0min
=2;a>1时, 。
三、课外练习
1.若-4 A、最小值1 B、最大值1 C、最小值-1 D、最大值-1
2.若x+2y=4, x>0, y>0,则lgx+lgy的最大值为________。
3.若lgx+lgy=1,则 的最小值为_____。
4.已知a,b,c∈R
+
, a+b+c=1。求证: 。
5.某游泳馆出售冬季学生游泳卡,每张卡240元。并规定不记名 ,每卡每次只限1人,每天只限1次。某班
有48名学生,教师准备组织学生集体冬泳,除需要购买若干 张游泳卡外,每次去游泳还要包一辆汽车,无论乘坐
多少学生,每次的包车费为40元。要使每个学生游 8次,每人最少交多少钱?
参考答案:1.D 2. lg2 3. 2
1.
2. ,当且仅当 x=2y=2时取“=”。
3.lgx+lgy=1, xy=10, ∵ 。
4. 证明:∵ a,b,c∈R
+
, a+b+c=1。 (a+b+c)=a+b+c+2(ab+bc+ca)。
2222
∴ ,∴ ,
∵ ,∴ , ∴

5.设购买x张游泳卡,活动开支为y元, 则
当且仅当x=8时取“=”号,此时每人最少交80元。
谈对均值不等式的理解和应用
均值不等式是不等式一章中最基础、应用最广泛的灵活因子,它是考查素质、能力的一个窗口,是高考的
热点。对均值不等式的应用可从以下三个方面着手。
1 通过特征分析,用于证不等式
均值不等式:
1)
2)


两端的结构、数字具有如下特征:
1)次数相等;
2)项数相等或不等式右侧系数与左侧项数相等;
3)左和右积。
当要证的不等式具有上述特征时,考虑用均值不等式证明。
例1.已知a,b,c为不全相等的正数,求证:a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)>6abc.
分析:观察要证不等式的两端都是关于a,b,c的3次多项式,左侧6项,右侧6项,左和右积, 具备均值
不等式的特征。
证明:∵ b+c≥2bc, a>0, ∴ a(b
2
+c
2
)≥2abc
同理,b(c+a)≥2bac, c(a
2
+b
2
)≥2cab, 又 ∵a,b,c不全相等,
∴ 上述三个不等式中等号不能同时成立,因此
a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)>6abc。
222222
22
22
222222
例2. 若a,b,c∈R
+
,且a+b+c=1,求证 .
分析:由a,b,c ∈R
+
,联想均值不等式成立的条件,并把1=a+b+c代换 中的“1”,要证不等式
变为 ,
即 ,
亦即 ,
发现 互为倒数,已具备均值不等式的特征。
证明:∵a,b,c∈R
+
,
∴ , ,
∴ ,
∴ .
∵ a+b+c=1, ∴ .
说明:
1)此题的证明方法采用的是综合法。用综合法证不等式即由已知不等式推证要证不等式。
2)在 附加条件的变换下,要证的不等式会隐含均值不等式的部分特征,显示其一个或两个特征,这时,仍可
考 虑用特征分析法,合理选择思路,寻找解决问题的切入点。
2 抓条件“一正、二定、三等”求最值
由均值不等式2),推证出最值定理及其使用的前提条件:“一正、二定、三等”,求最值时,三者缺一不可。
例3. 已知x, y∈R
+
且9x+16y=144,求xy的最大值。
分析:由题设一正:x, y∈R
+
,二定: 9x+16y=144。求积的最大值,可考虑用均值不等式求解。
解:∵ x, y∈R
+

∴ ,
当且仅当9x=16y,即 时,(xy)
max
=36.
说明:本题若改为:x,y∈R且9x+16y=144,求xy的最大值呢?请同学们一试。
22
3 抓“当且仅当……等号成立”的条件,实现相等与不等的转化
在均 值不等式中“当且仅当……等号成立”的“当且仅当”是“充要条件”的同义词,它给出了相等与不等
的 界,是相等与不等转化的突破口。
例4.在ΔABC中,若三边a,b,c满足条件(a+b+c)=27abc,试判定三角形ABC的形状。
分析:(a+b+c)=27abc,具有三元均值不等式的结构特征,且属均值不等式的特例(取 等号情形),所以有下
面解法。
解:∵a>0, b>0, c>0,故有不等式
时,上式等号成立,故三角形为等边三角形。
(见阅读材料),即(a+b+c) 27abc,当且仅当a=b=c
3
3
3
例5.已知x,y,z为正实数,且x+y+z=3, . 求x+y+z的值。
222
解:由题设得 。
∵ x,y,z>0, ∴ ,
∴ .
此不等式等号成立,当且仅当上述三个不等式的等号同时成立,即
, ∴x
2
=1,y
2
=1, z
2
=1, ∴x
2
+y
2
+z
2
=3.
说明:均值不等式给出了相等、不等的界,即等号成立的条件。
又如解方程: ,读者不妨试解。
总之,均值不等式成立的条件,结构特征,积、和为定值,等号成立的条件,是理解应用均值不等式 的认知
角度。同学们要学会观察已知和未知的结构特征、数字特征,认清其区别、联系,联想相关的知识 点、方法,寻
找解决问题的突破口。
用基本不等式求最值
借助基本不等式:
或 ,a,b∈R
+

或 ,a,b,c∈R
+

求函数的最大值或最小值,在确保“各项为正”的前提下,还必须满足两点:
第一,求和的最小值时,它们的积应为定值;求积的最大值时,它们的和应为定值。
第二,使上述不等式中的等号成立时的自变量为一个确定的值,且在该函数定义域内。
要满足上 述两点,在运算过程中,必须对式子作适当的恒等变形,方能达到目的。本文分析用基本不等式求
最值容 易产生的错误,并归纳一般方法。
1.常见致错原因分析
例1.若x>0,求 的最小值。
解法1:由于 ,故知P
min
=1.
说明:以上解法是错误,虽说满足了“积为定值”这个条件,但使等号成立的先决条件:
成立。正确解法如下:
却不
解法2:∵ ,
∴ 。
在 即 时,有 。
说明:以上求解中采用了“变换系数”的办法,使得“第一”, “第二”两个条件都得以满足。“变换系数”
是变形中的常用方法之一。
例2.已知x,y∈R
+
,且2x+y=4,求 的最小值。
解法1:由2x+y=4,知y=4-2x,∴x∈(0,2),故 ,
而x(4-2x)在x=1时有最大值2,故 有最小值 ,
所以 在x=1∈(0,2)时,有最小值 。
说明:以上解法是错误的。其一, 的积 不是定值;其二,要取得等号,必须 ,
即x=y。而当x=y=1时,与条件2x+y=4相悖。
解法2.由2x+y=4,得 。于是 。
说明:以上解法又是错的。这里两次用到基本不等式,然而,使等号成立的条件并不相同:对于
中取等号,必须
x=0,与已知矛盾。
,即y=2x;对于 取等号,必须 ,即x=y,这便导致2x=x,得出
解法3:由2x+y=4,得 ,
∴ 。
∴ 。
说明:以上解法满足“第一”,“第二”两个要求,所以正确。等号在
入2x+y=4得x=2(2- )∈(0,2)。
,即 时成立,代
解法4:由2x+y=4,可令2x=4cosα,,y=4sinα,于是
22
,∴

说明:以上解法满足要求,答案正确。等号在
, ,满足2x+y=4。
即 时成立,由此可得
2. 常见一般方法
(1)变更系数法
例3. 若x>1,求 的最小值。
解: 。
等号在 即x=2∈(1,+∞)时,有 。
例4.边长为a的正方形铁片,在其四角剪去相等的小正方形 后,折成一个方盒。问剪去的尺寸为多少时,
小方盒有最大容积。
解:设剪去的小正方形边长为x,则小方盒边长为a-2x,又其高为x,
故小方盒容积为V=(a-2x)x,而4V=4x(a-2x)≤
22
,故当4x=a-2x, 时,有

例5.若a≥b>0,求 的最小值。
解: 。
说明:本题两次用到基本不等式,第一次在条件2a-b=b即a=b时取等号,第二次在条件
取等号,并不矛盾,解法正确。
即a=2时
(2)取倒数或作平方
例6.周长为定值时,哪种三角形面积最大?
解:据海伦公式,三角形的面积 ,这里 。
显然 ,同理p-b>0,p-c>0,
故S=p(p-a)(p-b)(p-c)
2
,
即 ,等号在p-a=p-b=p-c即a=b=c时成立,即周长为定值时,等边三角形面积最大。
(3)待定系数法
例7.总长为24m的铁丝剪成若干段,焊成一个长方体容器的框架。若底面长 方形邻边之比为3∶2,试问长
方体的高为多少时,其容积有最大值。
分析:设底面长方形较长的一边为x,则其邻边长为 ,设长方体高为y,则有 ,
即 ,故知x∈(0,3.6)为函数 的定义域。
虽说 为定值,但使等式 成立的x却不存在,为此,需采用其他办法。
解法1:由于 ,所以


故得 ,等号在 时成立,即x=2.4∈(0,3.6),这时 。
说明:以上解法仍是“变更系数法”,问题是(*)处的变形很难想到,是否有别的方法呢?
解法2 对于 ,取待定系数m,使 。
要使 ,即 为(与x无关的)定值,必须 ,
∴ 。于是 。
∴ 。等号在 ,即x=2.4∈(0,3,6)时成立,这时 .
说明:较之解法1,技巧性降低了,也就比较容易入手,解法2的方法就是最简单的待定系数法。用 待定系
数法目的,就是为了本文开头提到的“第一”,“第二”两个条件得以实现,在构成积的三个因式 中有两个相同,
另一个不相等,总可以用变更系数法或待定系数法来处理。
例8.若x>0,求V=x(x+0.5)(3.2-2x)的最大值。
解:取待定系数m, n使 mnV=x(mx+0.5m)(3.2n-2nx)
要使 x+(mx+0.5m)+(3.2n-2nx)即0.5m+3.2n+(1+m-2n)x为(与x无关的) 定值,必须1+m-2n=0(*)
由x=mx+0.5m=3.2n-2nx得 。
代入(*)整理得3x-2.2x-0.8=0,解得x=1及
2
,当x=1时, ,
于是
即当x=1时, 。
另解:取待定系数m,n使mnV=mx(nx+0.5n)(3.2-2x).
要使mx+(n x+0.5n)+(3.2-2x)即0.5n+3.2+(m+n-2)x为(与x无关的)定值,必m+n- 2=0(*).
而由mx=nx+0.5n=3.2-2x,即得
代入(*)整理得3x-2.2x-0.8=0(下略)
2

说明:本例中构 成积的三个因式互不相同,为确保“第一”,“第二”两个条件得以实现,用待定系数法求
解时,需用两 个待定系数。这两个系数如何配置,结果总为一样,惟繁简不同而已。
1.已知i,m,n是正整数,且1 (I)证明n
i
n
i

m
(II)证明(1+m)>(1+n)。
本题考察排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力.
证明:(I) 对于1 同理 ,
由于m 所以 ,即m
i
>n
i

(II) 证明:由二项式定理有 (1+m)=
n
m
i
, (1+n)=
m
n
i
,
由(I)知m
i
>n
i
(1 而 , 所以,m
i
>n
i
(1 因此, ,
又m
0
=nC =1, m
0
=n =mn, m
i
>0 (m ∴ ,即(1+m)>(1+n).
nm
2. a>b>1, P= , Q= (lga+lgb), R=lg( ),则( )。
A、R 精析:观察P,Q,R三式的结构特点,联想对数运算法则,注意到均值不等式,就有如下解法过程。
∵ a>b>1, ∴ lga>lgb>0, lga+lgb>2 ,
即 (lga+lgb)> , 故Q>P,
又由 > 得lg( )>lg ,
即lg( )> (lga+lgb)。故R>Q,从而选B。
注意:本题也可用特殊值法来判定,如取a=100, b=10,很容易选B。解这类题要善于利用特例法求解 ,利用
均值不等式和函数单调性比较大小,是比较大小常用的方法。
3.已知a,b,c是实数,函数f(x)=ax+bx+c, g(x)=ax+b, 当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1.
(1)证明:|c|≤1; (2)证明:-1≤x≤1时,|g(x)|≤2;
(3)设a>0,当 -1≤x≤1时,g(x)的最大值为2,求f(x)。
精析:(1)由条件-1≤x≤1, |f(x)|≤1, 取x=0,得|c|=|f(0)|≤1,即|c|≤1.
(2)由于g(x)=ax+b中含有字母未知数a,因而用分类讨论,结合函数g(x)的单调性来证明。
当a>0时,g(x)=ax+b,在[-1,1]上是增函数,∴ g(-1)≤g(x)≤g(1),
∵ |f(x)|≤1 (-1≤x≤1), |c|≤1, ∴ g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|≤2.
g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(|f(-1)|+|c|)≥-2,
由此 得|g(x)|≤2,
当a<0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是减函数,
∴ g(-1)≥g(x)≥g(1),
∵ |f(x)|≤1 (-1≤x≤1), |c|≤1,
∴ g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≤|f(-1)|+|c|≤2,
g(1)=a+b=f(1)-c≥-(|f(1)|+|c|)≥-2,
由此得|g(x)|≤2,
当a=0时,g(x)=b,f(x)=bx+c
∵ -1≤x≤1
∴ |g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2
综上所述,得|g(x)|≤2.
2
(3)利用题设先求c值,再求f(x).
∵ a>0, g(x)在[-1,1]上是增函数,当x=1时取得最大值2,
即g(1)=a+b=f(1)-f(0)=2,
∵ -1≤f(0)=f(1)-2≤1-2=-1, ∴ c=f(0)=-1,
∵ 当-1≤x≤1时,f(x)≥-1, 即f(x)≥f(0),
根据二次函数性质,直线x=0为二次函数f(x)的图像的对称轴,
故有- =0,那么b=0,a=2. ∴f(x)=2x
2
-1。
注意:本题综合性 较强。前两问考查绝对值不等式的证明,第三问求函数的表达式,技巧性较高。要求考生
会灵活应用绝对 值不等式的性质及函数的单调性,并会进行合理的分类讨论。
注:在高考中单纯的不等式证明题比较少,多数是和应用题等其它知识结合在一起考察的。

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