收缩公式八年级数学下册12.1二次根式古代数学的高峰素材

古代数学的高峰
到了唐代，随着社会经济的高度发达，对解决实际计算问题的算术也提出 了更高的要求，
促进了算术的发展，为了加快计算速度，出现了不用纸和笔的珠算，算盘在宋代以后逐渐 推
广应用，成为当时世界上最先进的计算工具，沿用至今．
宋元两代，古代中国数学达到 了一个新的水平．涌现出了以秦九韶、李冶、杨辉和朱世
杰等人为代表的一批数学大家和数量可观的数学 著作，这些成果在当时处于世界领先的水
平．
秦九韶与《数学九章》
秦九韶（ 1202－1261年），南宋末年生于四川安岳，曾在湖北、江苏等地做官，虽仕
途坎坷，在数学研究 上却是成就卓著．其代表著作是《数学九章》，秦九韶在这本书中提出
了“大衍求一术”和“正负开方术 ”（即以增乘开方法求高次方程正根的方法），是非凡的
数学创造．
19世纪20年代初 ，英国人霍纳和意大利数学界为“霍纳方法”——一种解任意高次方
程的巧妙方法的发明权而争得不可开 交，直到他们了解到有个叫秦九韶的中国人，早在570
多年前就发现了这种方法时，这场争论才显得毫 无意义了．
秦九韶还有许多数学创造．他是世界上最早提出“十进小数”概念和表示法的人，这一
成果比荷兰人斯蒂文要早三个世纪．他还独立地推导出已知三边求三角形面积的公式，与古
希腊 有名的海伦公式暗合．秦九韶是中世纪世界上最伟大的数学家之一，而《数书九章》则
标志着中国古代数 学的一个高峰．
李冶与“天元术”
李冶（1192－1279年），河北正定人，是生 活在金元之际的数学家，一生淡泊名利，
长期过着隐居生活，潜心著述讲学，1248年他完成了《测圆 海镜》，主要讲述根据给定直
角三角形的边长求内切圆和旁切圆的直径的问题，他在此书中提出了“天元 术”．所谓天元
术就是根据问题的已知条件列出方程和解方程的方法．“天元”相当于未知数X．天元术 的
出现标志着我国传统数字中符号代数学的诞生．传说有个叫“洞渊老人”的世外高人教给他
九 个公式，都是关于直角三角形和圆的关系的．回到住处后，李冶反复地琢磨这些公式，觉
得还可以大大发 挥，于是他借助“天元术”这个刚刚发现的数学工具，推演出了五百多个公
式，后来都写进了《测圆海镜 》这部不朽的数学著作中．1259年李冶又写成《益古演段》，
力图向读者通俗地解释天元术．
蒙古灭宋之后，由于一位故友的大力举荐，李冶推脱不过，出山为官，被任命为翰林学
士； 但他就职还不到一年就以年老多病坚决告退了．关于此事，他曾在笔记中写道：“翰林
学士要看皇帝的眼 色写书，史馆的工作人员也要受宰相监督，他们都不能根据自己的见解去
评判历史．有人以为进翰林院和 史馆是件光宗耀祖的事，我想有见地的人是不会这样看了.”

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李冶晚年一 直在封龙山下过着隐居生活，虽然没有高头大马、山珍海味，但却淡泊充实、
悠然自得，许多人慕名前来 向他学习“天元术”．1279年，李冶逝世，享年87岁，后来，
李冶被人们尊为宋元数学四大家之一 ，他刻苦治学的精神和鄙薄名利的品德一直为后人所称
颂．
杨辉与《杨辉算法》
杨辉是南宋末年著名的数学家，留下了十分丰富的数学著作，其中有《详解九章算法》
《日用算法》《乘 除通变本末》《田亩比类乘除捷法》《续古摘奇算法》，其中后三种统称
《杨辉算法》，他的主要贡献在 于改进计算技术，提高乘除法的运算速度．他主张以加减代
替乘除，以归除代商除，并创造了一套乘除演 算的便捷方法．杨辉发明了用“垛积术”为高
阶等差级数求和的方法，他还首创了“纵横图”研究． < br>“纵横图”又叫“九宫图”，记载于《大戴礼记》（西汉学者戴德编纂的一部记载古
代各种礼仪制 度的文集），南北朝时代北周的数学家甄鸾在《数术记遗》一书对这种图做过
解释：“‘九宫者，二、四 为肩，六、八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．’”但没
有进一步的研究．“2、9、4；7、5 、3；6、1、8”这九个数字依次写成纵横三行，每一纵
行、每一横行和两条对角线上的三个数字的和 都等于15．据说杨辉在台州府任地方官时，
有一天听见学童边走边念“二、九、四；七、五、三；六、 一、八”这些数字而受到了启发．杨
辉发现了这些数字排列的规律．但对于这个九宫图是如何造出来的也 百思不得其解．所以九
宫图一直被视为神秘的东西，实际上这种图还可以做出很多，有兴趣的读者不妨试 一试．


朱世杰与《四元宝鉴》
朱世杰，河北人，元代数学家，其 生平不详．在宋元对峙的时候，由于南北交通阻绝，
学术交流十分困难．元朝统一中国之后，朱世杰周游 各地，以教授数学为生，同时也注意学
习当地的数学知识．朱世杰在长期的游历和讲学生活中，对南北两 派的数学成果兼收并蓄，
成为当时最有名的数学家．杨辉的著作在民间也广为流传．他所写的《算学启蒙 》和《四元
玉鉴》分别于公元13世纪末和14世纪初年在扬州刊印．
《算学启蒙》从四 则运算开始一直讲到高次开方、天元术等内容，由浅入深，是一部很
好的数学启蒙教材．这本书出版以后 ，不但在国内受到欢迎，还传到朝鲜、日本等国．17
世纪中后期，这本书的国内刻本已经失传了，幸亏 清代学者罗士琳在北京的旧书店中找到了
这本书的一个朝鲜刻本，才使它流传下来，这可以说是中外文化 交流史上的一段佳话．
朱世杰更重要的著作是《四元宝鉴》，全书共分二十四卷，二百八十八门， 书中特别讨
论了很多高深的问题，如高次方程组、高阶等差级数的求和等，给出的解决方法如三次内插< br>法等也十分精彩．欧洲，到了十七世纪，才由英国数学家格里高利和牛顿首先研究了内插方
法，他 们的工作要比朱世杰的《四元宝鉴》晚得多．正因为如此，朱世杰和他的著作《四元

2 宝鉴》享有巨大的国际声誉．近代日、法、英、美、比等国都有学者向本国介绍《四元宝鉴》．美
国 已故著名科学史家萨顿说朱世杰“是中华民族的，他所生活的时代的，同时也是贯穿古今
的一位最杰出的 数学家……《四元宝鉴》是中国数学著作中最重要的，同时也是中世纪最杰
出的数学著作之一．”这个评 价是恰如其分的．宋元时期中国的数学成就举世瞩目，但是自
明代以后，中国传统数学只是在计算技术的 普及与数学应用的广泛性上有所进步，在符号化
和形式化的方面进展缓慢，整体水平开始落后于欧洲．
阿基米德
阿基米德是整个历史上最伟大的数学家之一，后人对阿基米德给以极高的评价， 常把他
和牛顿、高斯并列为有史以来三个贡献最大的数学家．他大约在公元前287年出身于西西里岛上的希腊城市叙拉古，早年曾在当时希腊的学术中心亚历山大跟随欧几里得的门徒学习，
并在那里 结识许多同行好友，如科农（Conon of Samos）、多西修斯（Dositheus）、埃拉
托塞尼等等．回到叙拉古以后仍然和他们保持密切的联系，因此阿基米德也算是亚历山大里
亚学派的成 员，他的许多学术成果就是通过和亚历山大的学者通信往来保存下来的．
公元前212年罗马军队 攻入叙拉古，并闯入阿基米德的住宅，看见一位老人在地上埋头
作几何图形，士兵将图踩坏．阿基米德怒 斥士兵：“不要弄坏我的图！”士兵拔出短剑，刺
死了这位旷世绝伦的大科学家，阿基米德竟死在愚蠢无 知的罗马士兵手里．他的生平没有详
细记载，但关于他的许多故事却广为流传．据说他确立了力学的杠杆 定理之后，曾发出豪言
壮语：“给我一个立足点，我就可以移动这个地球！”，被誉为“力学之父”.
另一个著名的故事是：叙拉古的亥厄洛王叫金匠造一顶纯金的皇冠，因怀疑里面掺有银
子， 便请阿基米德鉴定一下．当他进入浴盆洗澡时，水漫溢到盆外，于是悟得不同质料的物
体，虽然重量相同 ，但因体积不同，排去的水也必不相等．根据这一道理，就可以判断皇冠
是否掺假．阿基米德高兴得跳起 来，赤身奔回家中，口中大呼：“尤里卡！尤里卡！”（希
腊语enrhka，意思是“我找到了”）他 将这一流体静力学的基本原理，即物体在液体中的
减轻的重量，等于排去液体的重量，总结在他的名著《 论浮体》（On Floating Bodies）中，
后来以“阿基米德原理”著称于世．
《论浮体》更是古代第一部流体静力学著作，是第一次将数学用于流体静力学，阿基米
德亦 因此被尊为流体静力学的创始人．阿基米德的著作是数学阐述的典范，写得完整、简练，
显示出巨大的创 造性、计算技能和证明的严谨性．他对数学的最大贡献，也许是某些积分学
方法的早期萌芽．现存的阿基 米德著作中，有三本是讲平面几何的，它们是：《圆的量度》
（Measurement of a C ircle）计算圆内接与外切96边形的周长，求得圆周率π：
310
＜
71
π＜
31
．《抛物线的求积》（Quadrature of the Parabola），确定抛物线与任一弦所围
7

3
弓形的面积．《论螺线》（On Spirals）利用一组内接和一组外接的扇形，确定“阿基米德
螺线”第一圈与始线所包围的面积．
现存的阿基米德著作中，有两部是讲立体几何的，即《论球和圆柱》（On the Sphere and
Cylinder）及《论劈锥曲面体和球体》（On Conoids and Spher oids）前者包括了许多重大
的成就．他从几个定义和公理出发，推出关于球与圆柱面积体积等五十多 个命题．用几何方
法解决相当于三次方程
x
2
（
a
-
x
）＝
b
2
c
的问题．后者研究几种圆锥曲线的旋转体，以及这些
立体被平面截取部份的体积．在引理中给出公式1＋2＋3＋…＋
n
＝
222 2
1
n
（
n
＋1）（2
n
＋
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1 ）．《数沙术》（The Sand Reckoner）是现存论术算术的随笔，设计一种可以表示任何大数目的方法，纠正有的人认为沙子是不可数的，即使可数也无法用算术符号表示的错误看
法．尚存关 于应用数学的有《论平板的平衡》（On plane equilibrium）和《论浮体》.他
还 设计了一个“群牛问题”，导致二次不定方程
x
－4729494
y
＝1．此 外，他还发现13种
半正多面体，用边表示三角形面积的“海伦公式”和七边形的作图法．现已公认海伦 公式是
阿基米德发现的，但这个名称已成为习惯用法．
在数学史方面，现代最惊人的发现 之一是丹麦语言学家海伯格（Heiberg）于1906年在
土耳其君士坦丁堡发现的阿基米德的长期 失传的著作，后以《阿基米德方法》（Method）为
名刊行于世．
《阿基米德方法》 的中心思想是：要计算一个未知量，先将它分成许许多多的微小量，
再用另一组微小量来和它比较（通常 是建立一个杠杆，找一个合适的支点，使前后两组微小
量取得平衡），而后者的总体该是较易计算的．于 是通过比较，即可求出未知量来．这实质
上就是积分法的基本思想．阿基米德的睿智，业已伸展到17世 纪中叶的无穷小分析领域里
去了．阿基米德运用这种富有启发性的方法，获得大量的辉煌成果，为后人开 辟了一个广阔
的领域．历史上有的数学家勇于开辟新的园地，而缺乏缜密的推理；有的数学家偏重于逻辑
证明，而对新领域的开拓却徘徊不前．阿基米德则兼有二者之长，他常常通过实践直观地洞
察到 事物的本质，然后运用逻辑方法使经验上升为理论（如浮力问题），再用理论去指导实
际工作（如发明机 械）．没有一位古代的科学家，像阿基米德那样将熟练的计算技巧和严格
证明融为一体，将抽象的理论和 工程技术的具体应用紧密结合起来．

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