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奥数的公式【最新北师大版精选】北师大初中数学七下《1.5平方差公式》word教案 (2).doc

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-12 13:19
tags:平方和公式

现在什么行业比较好-易成语


精品【初中语文试题】
1.5 平方差公式(一)
●教学目标
(一)教学知识点
1.经历探索平方差公式的过程.
2.会推导平方差公式,并能运用公式进行简单的运算.
(二)能力训练要求
1.在探索平方差公式的过程中,发展学生的符号感和推理能力.
2.培养学生观察、归纳、概括等能力.
(三)情感与价值观要求
在计算的过程中发现规律,并能用符号表达,从而体会数学语言的简捷美.
●教学重点
平方差公式的推导和应用.
●教学难点
用平方差公式的结构特征判断题目能否使用公式.
●教学方法
探究与讲练相结合.
使学生在计算的过程中发现规律,并运用自己的语言进行表达,用符号证明这个规律,
并探索出 平方差公式的结构特点,在老师的讲解和学生的练习中学会应用.
●教具准备
投影片四张
第一张:做一做,记作(§1.5.1 A)
第二张:例1,记作(§1.5.1 B)
第三张:例2,记作(§1.5.1 C)
第四张:练一练,记作(§1.5.1 D)
●教学过程
Ⅰ.创设情景,引入新课
[师]你能用简便方法计算下列各题吗?
(1)2001×1999;(2)99-1
[生]可以.在(1)中2001×1999= (2000+1)(2000-1)=2000-2000+2000-1×1=2000
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精品【初中语文试题】
精品【初中语文试题】
-1=4000000-1=39 99999,在(2)中99-1=(100-1)-1=(100-1)(100-1)-1=100-100
-100+1-1=10000-200=9800.
[师]很好!我们利用多项式与多项式 相乘的法则,将(1)(2)中的2001,1999,99化
成为整千整百的运算,从而使运算很简便 .我们不妨观察第(1)题,2001和1999,一个比2000
大1,于是可写成2000与1的和 ,一个比2000小1,于是可写成2000与1的差,所以
2001×1999就是2000与1这两 个数的和与差的积,即(2000+1)(2000-1);再观察利用多
项式与多项式相乘的法则算出 来的结果为:2000-1,恰为这两个数2000与1的平方差.

(2000+1)(2000-1)=2000-1.
那么其他满足这个特点的运算是否也有类似的结果呢?
我们不妨看下面的做一做.
Ⅱ.使学生在计算的过程中,通过观察、归纳发现规律,并用自己的语言和符号表示
其规律
[师]出示投影片(§1.5.1 A)
做一做:计算下列各题:
(1)(x+2)(x-2);
(2)(1+3a)(1-3a);
(3)(x+5y)(x-5y);
(4)(y+3z)(y-3z).
观察以上算式,你发现什么规律?运算出结果,你又发现什么规律?再举两例验证你的
发现?
[生]上面四个算式都是多项式与多项式的乘法.
[生]上面四个算式每个因式都是两项.
[生]除上面两个同学说的以外,更重要的是:它们都是两个数的和与差的积.例如:
算式(1 )是“x”与“2”这两个数的和与差的积;算式(2)是“1”与“3a”这两个数的和与
差的积;算 式(3)是“x”与“5y”的和与差的积;算式(4)是“y”与“3z”这两个数的和与
差的积.
[师]我们观察出了算式的结构特点.像这样的多项式与多项式相乘,它们的结果如何
呢?只要 你肯动笔、动脑,相信你一定会探寻到答案.
[生]解:(1)(x+2)(x-2)
精品【初中语文试题】
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精品【初中语文试题】
=x-2x+2x-4=x-4;
(2)(1+3a)(1-3a)
=1-3a+3a-9a=1-9a;
(3)(x+5y)(x-5y)
=x-5xy+5xy-25y
=x-25y;
(4)(y+3z)(y-3z)
=y-3yz+3zy-9z
=y-9z
(如有必要的话可以让学生利用乘法分配 律将多项式与多项式相乘转化成单项式与多项
式相乘,进一步体会乘法分配律的重要作用以及转化的思想 )
[生]从刚才这位同学的运算,我发现:
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即两个数的和与差的积等于这两个数的平方差.这和我们前面的一个简便运算得出同样
的结果.


[师]你还能举两个例子验证你的发现吗?
[生]可以.例如: < br>(1)101×99=(100+1)(100-1)=100-100+100-1=100-1=10 000-1=9999;
(2)(-x+y)(-x-y)=(-x)(-x)+xy-xy-y=(-x)-y=x-y.

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精品【初中语文试题】
精品【初中语文试题】

上面两个例子,同样可以验证:两个数的和与差的积,等于它们的平方差.
[师]为什么会有这样的特点呢?
[生]因为利用多项式与多项式相乘的运算法则展开后,中 间两项是同类项且系数互为
相反数,所以相加后为零.只剩下这个数的平方差.
[师]很好!你能用一般形式表示上述规律,并对规律进行证明吗?
[生]可以.上述规律用符号表示为:
(a+b)(a-b)=a-b
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其中a,b可以表示任意的数,也可以表示代表数的单项式、多项式.
利用多项式与多项式相乘的运算法则可以对规律进行证明,即
(a+b)(a-b)=a-ab+ab-b=a-b
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[师]同学们确实不简单用符号表示和证明我们发现的规律简捷明快.
你能给我们发现的规律 (a+b)(a-b)=a-b起一个名字吗?能形象直观地反映出此
规律的.
[生]我们可以把(a+b)(a-b)=a-b叫做平方差公式.
[师]大家同意吗?
[生]同意.
[师]好了!这节课我们主要就是学习讨论这个公式的.你能用语言描述这个公式吗?
[生]可以.这个公式表示两数和与差的积,等于它们的平方差.
[师]平方差公式是多项式 乘法运算中一个重要的公式.用它直接运算会很简单,但要
注意必须符合公式的结构特点才能利用它进行 运算.
Ⅲ.体会平方差公式的应用,感受平方差公式给多项式乘法运算带来的方便,进一步熟
悉平方差公式.
出示投影片(§1.5.1 B)
[例1](1)下列多项式乘法中,能用平方差公式计算的是( )
A.(x+1)(1+x)









B.(a+b)(b-a)
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1
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C.(-a+b)(a-b) D.(x-y)(x+y)
精品【初中语文试题】
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E.(-a-b)(a-b) F.(c-d)(d+c)
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(2)利用平方差公式计算:
(5+6x)(5-6x);(x-2y)(x+2y);
(-m+n)(-m-n). < br>[生](1)中只有B、E、F能用平方差公式.因为B.(a+b)(b-a)利用加法交换律可
得(a+b)(b-a)=(b+a)(b-a),表示b与a这两个数的和与差的积,符合平方差公
式的特点;E.(-a-b)(a-b),同样可利用加法交换律得(-a-b)(a-b)=(-b-a)(- b+a),
表示-b与a这两个数和与差的积,也符合平方差公式的特点;F.(c-d)(d+c)利 用加法
和乘法交换律得(c-d)(d+c)=(c+d)(c-d),表示c与d这两个数和与差的积 ,同样
符合平方差公式的特点.
[师]为什么A、C、D不能用平方差公式呢?
[生]A、C、D表示的不是两个数的和与差的积的形式.
[师]下面我们就来做第(2)题,首先分析它们分别是哪两个数和与差的积的形式.
[生] (5+6x)(5-6x)是5与6x这两个数的和与差的形式;(x-2y)(x+2y)是x与2y
这两个数的和与差的形式;(-m+n)(-m-n)是-m与n这两个数的和与差的形式.
[师]很好!下面我们就来用平方差公式计算上面各式.
[生](5+6x)(5-6x)=5-(6x)=25-36x;
(x-2y)(x+2y)=x-(2y)=x-4y;
(-m+n)(-m-n)=(-m)-n=m-n.
[师]这位同学的思路非常清楚.下面我们再来看一个例题.
出示投影片(记作§1.5.1 C)
[例2]利用平方差公式计算:
(1)(-x-y)(-x+y);
(2)(ab+8)(ab-8);
(3)(m+n)(m-n)+3n.
[师]同学们可先交流、讨论,然后各小组派一代表到黑板上演示.然后再派一位同
学讲评.
[生]解:(1)(-x-y)(-x+y)——(-x)与y的和与差的积
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精品【初中语文试题】
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=(-x)-y——利用平方差公式得(-x)与y的平方差
=
2
1
2
x-y——运算至最后结果
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1
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(2)(ab+8)(ab-8)——ab与8的和与差的积
=(ab)-8——利用平方差公式得ab与8的平方差
=ab-64——运算至最后结果
(3)(m+n)(m-n)+3n——据运算顺序先计算m与n的和与差的积
=(m-n)+3n——利用平方差公式
=m-n+3n——去括号
=m+2n——合并同类项至最简结果
[生]刚才这位同学的运算有条有理,有根有据,我觉 得利用平方差公式计算必须注意
以下几点:
(1)公式中的字母a、b可以表示数,也可以是表示数的单项式、多项式即整式.
(2)要符合公式的结构特征才能运用平方差公式.
(3)有些多项式与多项式的乘法表面上 不能应用公式,但通过加法或乘法的交换律、结
合律适当变形实质上能应用公式.
[生]还需注意最后的结果必须最简.
[师]同学们总结的很好!下面我们再来练习一组题.
投影片(§1.5.1 D)
1.计算:
(1)(a+2)(a-2);
(2)(3a+2b)(3a-2b);
(3)(-x+1)(-x-1);
(4)(-4k+3)(-4k-3).
2.把下图左框里的整式分别乘(a+b),所得的积写在右框相应的位置上.
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解:1.(1)(a+2)(a-2)=a-2=a-4;
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(2)(3a+2b)(3a-2b)=(3a)-(2b)=9a-4b;
(3)(-x+1)(-x-1)=(-x)-1=x-1;
(4)(-4k+3)(-4k-3)=(-4k)-3=16k-9.
2.(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a+ab+ab+b=a+2ab+b;
(a-b)(a+b)=a-b;
(-a+b)(a+b)=(b+a)(b-a)=b-a;
(-a-b)(a+b)=-a(a+b)-b(a+b)
=-a-ab-ab-b
=-a-2ab-b
(教师在让学生做练习,可巡视练习的情况,对确实有困难的学生要给以指导)
Ⅳ.课时小结
[师]同学们有何体会和收获呢?
[生]今天我们学习了多项式乘法运算中的一个重要公式— —平方差公式即(a+b)(a-
b)=a-b.
[生]应用这个公式要明白公式的特征:
(1)左边为两个数的和与差的积;
(2)右边为两个数的平方差.
[生]公式中的a、b可以是数,也可以是代表数的整式.
[生]有些式子表面上不能用公式,但通过适当变形实质上能用公式.
[师]同学们总结的很 好!还记得刚上课的一个问题吗?计算99-1,现在想一想,能
使它运算更简便吗?
[生]可以.99-1可以看成99与1的平方差,从右往左用平方差公式可得:
99-1=99-1=(99+1)(99-1)=100×98=9800.
[师]我们发 现平方差公式的应用是很灵活的,只要你准确地把握它的结构特征,一定
能使你的运算简捷明了.
Ⅴ.课后作业
课本习题1.9,第1题.
Ⅵ.活动与探究
有10位乒乓 球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场),用x
1
,y
1
顺次表示第1号选 手胜
与负的场数,用x
2
,y
2
顺次表示第2号选手胜与负的场数, ……用x
10
,y
10
顺次表示第10号选
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精品【初中语文试题】
手胜与负的场数.则10名选手胜的场数的平方和与他们负的场数的平方和相等,即
x
1
+x
2
+…+x
10
=y
1
+y
2< br>+…+y
10
,为什么?
经过:由于是单循环赛,每名运动员恰好参加9局比 赛,即x
i
+y
i
=9(其中i=1、2、3、…10),
在比赛中 一人胜了,另一人自然败了,则x
1
+x
2
+…+x
10
= y
1
+y
2
+…+y
10
,这两个隐含条件是解题
的关键,从作差比较入手.
[结果]由题意知x
i
+y
i
=9(i =1、2、3、…10)且x
1
+x
2
+…+x
10
=y< br>1
+y
2
+…+y
10

(x
1
+ x
2
+…+x
10
)-(y
1
+y
2
+… +y
10
)
=(x
1
-y
1
)+(x
2
-y
2
)+…+(x
1
0-y
10
)
= (x
1
+y
1
)(x
1
-y
1
)+(x< br>2
+y
2
)(x
2
-y
2
)+…+(x10
+y
10
)(x
10
-y
10
)
=9[(x
1
-y
1
)+(x
2
-y
2
)+(x
3
-y
3
)+…+(x
10
-y
10)]
=9[(x
1
+x
2
+…+x
10
)- (y
1
+y
2
+…+y
10
)]
=0
所以,x
1
+x
2
+…+x
10
=y
1
+ y
2
+…+y
10
.
●板书设计
§1.5.1 平方差公式(一)
做一做
解:(1)(x+2)(x-2)=x-2x+2x-4=x-4;
(2)(1+3a)(1-3a)=1-3a+3a-9a=1-9a;
(3)(x+5y)(x-5y)=x-5xy+5xy-25y=x-25y;
(4)(y+3z)(y-3z)=y-3yz+3zy-9z=y-9z.
归纳、猜想规律
(a+b)(a-b)=a-b
两数和与这两数差的积,等于它们的平方差.
用符号运算证明
(a+b)(a-b)=a-ab+ab-b=a-b.
应用、升华
例1.(抓住平方差公式的特征,准确地利用平方差公式计算)
例2.(对公式中a、b含义的理解,既可以是具体的数也可以是整数)
随堂练习(熟悉平方差公式).
●备课资料
精品【初中语文试题】
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参考例题
[例1]用简便方法计算:
(1)79×81 (2)99×101×10001
解:(1)原式=(80-1)(80+1)=80-1=6399;
(2)原式=(100-1)(100+1)(10000+1)
=(100-1)(10000+1)
=(10000-1)(10000+1)
=10000-1
=100000000-1=99999999.
[例2]计算:
(1)(b-2)(b+4)(b+2)
(2)[2a-(a+b)(a-b)][(c-a)(a+c)+(-c+b)(c+b)]
分析:(1)题可利用乘法交换律和结合律,先求(b-2)与(b+2)的积,所得结果再与(b+4)相乘,可两次运用平方差公式;(2)题根据混合运算的运算顺序,先算括号里的其中(a+b)(a
-b),(c-a)(a+c),(-c+b)(c+b)都可直接运用平方差公式计算.
解:(1)(b-2)(b+4)(b+2)
=[(b-2)(b+2)](b+4)
=(b-4)(b+4)
=(b)-4
=b-16
(2)[2a-(a+b)(a-b)][(c-a)(a+c)+(-c+b)(c+b)]
=[2a-(a-b)][(c+a)(c-a)+(b-c)(b+c)]
=[2a-a+b][c-a+b-c]
=(a+b)(b-a)
=(b)-(a)
=b-a
[例3]计算:
(1)(
x
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x
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+y)(-+y)
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(2)(a+b-c)(a-b+c)
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(3)(x+3y)(x-3y)(x+9y)
分析:(1)题中,可把相同的项放在对应的 位置上,再把互为相反数的项放在对应的位
置上,使之满足(a+b)(a-b),然后用平方差公式; (3)题先逆用积的乘方公式,然后用平方
差公式.
解:(1)(
=(y+
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x
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+y)(-+ y)
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)(y-)
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)
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=(y)-(
=y-< br>4
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(2)(a+b-c)(a-b+c)
=[a+(b-c)][a-(b-c)]
=a-(b-c)
=a-(b-2bc+c)
=a-b+2bc-c
(3)(x+3y)(x-3y)(x+9y)
=[(x+3y)(x-3y)(x+9y)]
=[(x-9y)(x+9y)]
=[x-81y]
=x-162xy+6561y.


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