胡克定律公式宏观压强的微观实质和统计性质

宏观压强的微观实质和统计性质
摘要：本文对理想气体压强公式的推导过程作了详细分析，说明了宏观量
的微观实质和统计性质。
关键词：宏，微观，微观模型，统计假设，分类，统计平均值，宏观，微
观。
分类号：055
“气体分子运动论的基本概念”一章，从气体分子微观结构 的一些简化模
型出发，运用统计的概念和统计平均的方法来揭示宏观物理量的微观本质，统
计概 念的建立是物理思维方法上一个较大的飞跃，本文试从理想气体压强公式
的导出过程，阐明宏观压强的微 观实质和统计性质，从中体会统计平均的方
法，进而建立初步的统计观念。
一.理想气体的微观模型和统计假设
理想气体可以从不同方面来解释，从微观的角度可以把理想气体概括为
以下三个特点（或称为微观模型）
1.分子本身的大小比起它们之间的平均距离来，可以忽略不计，即可把
分子视为没有1体积的质点。
2.分子与分子之间或分子与器壁间的碰撞是完全弹性的。
3.分子间的有效作用距离很短（约10 厘米），除碰撞瞬间外，相互作
用可以忽略不计，通常气体分 子被放在容器中，所以重力的影响也可略去，分
子连续两次碰撞之间的运动是自由的。
由上述三个特点，可以把理想气体看作是自由地无规则运动着的弹性小
球的集合。
根据经验和实验，我们对处于平衡态下的理想气体分子作出以下两点假
设（或称为统计假设）
1.分子位于各处的机会是均等的，或简称“空间均匀假设”。
2.分子沿各方向运动的机会是均等的，或简称为“各向同性假设”。
上述两点假设都是在统计意义下给出的，因此又称为统计假设。
二.理想气体压强公式的推导分析
从上述模型和假设出发，采用统计平均的方法，可以导出理想气体的
压强公式。
压强概念来自力学，按照力学观点，当一个物体表面受到另外物体作
用时，则：
压力
压强＝-------- （1）
压力面积
式（1）中的压力通常来自物体间的相互挤压。
在容器中，分子对器壁有力的作用， 这个力并不是由分子的重量引
起，而是分子对器壁碰撞的结果。仿照力学的压强定义，我们把单位器壁上 所
受的气体分子的作用力，称为气体对器壁的压强，即：
dF dI
P＝----==----------（2）--- da dtdA
式（2）中的dI是分子在dt时间内施于器壁dA面的冲量.
而对容器中混乱运动着的气体分子，怎样才能求得dI呢？
下面我们将说明，单凭力学的概念和 规律是得不到结果的，必须采用一
种不同于力学的新方法，即统计平均法，问题才能得到解决，具体可采 取以下
几个步骤：
（一）.把全部分子按速度分类
设单位体积中，速度基本为：V1 ,V2 ,V3 ----, Vi-----,的分子
数分别为 ：n1,n2,n3,----,ni----,每类分子中基本上具有大小相等.方向相同
的速度，首 先考虑具有代表性的Vi类分子与器壁的碰撞。这类分子要想在dt
时间内能够碰到dA面上，它们必须 位于以dA为底，Vi的方向为母线，Vixdt
为高的柱体内（如图1所示），这一思想是解决分子碰 撞问题的关键！因为通
过这一步，找到了无序中的有序，为以下的计算开辟了通路。
类分子中的某个分子在一次碰撞中，施于器壁dA面的冲量为：
2mVix (3)

分析：
这个结果，是把器壁dA面作为“固定”.“ 平滑”面的情况下，
利用微观模型特点2（弹性碰撞）和牛顿第三定律而得到的，善于思考的读者
一定会问：“平滑是宏观的概念，从微观角度看，器壁也是由分子构成的，而
且分子也不是固定的，为 什么可以这样处理呢？”这是因为，在平衡态下由于
统计假设2，在任一时刻沿各个方向运动的分子数目 都相等，所以对于入射角
为 i的分子，总有反射角也为 i的其它分子存在，而且就大量分子的平均效
果看来，两者的分子数是基本相同的。从等效的观点，我们可以认为某个分子
的入射角和反射角 相同。这就是“平滑”的道理所在。另外分子和器壁分子碰
撞时本来具有能量交换的，即碰撞前后速度的 X分量并不等大反向，但因系统
处于平衡态，碰撞又是弹性的，就大量分子的平均效果来看，碰撞前后的 平均
平动动能是一样的，故可以把器壁分子认为是固体的。
可见，这里所讨论的:“ 某个分子”与器壁的碰撞已经不是牛顿力学中
一个确定对象，而是一个平均意义下的等效分子。
类所有分子在dt时间内施于器壁dA面的冲量为：
2mVix (VixdtdA nj) (4)
(4)式中（）内的量，表示柱体内Vi类的分子数。
分析：
这步推导中 用到了微观模型特点3（即分子是匀速直线运动）；还
用到了统计假设1（即ni与空间位置无关）。而 没有考虑分子在射向器壁的过
程中所受到的碰撞。这是由于有统计假设2，当某处Vi类分子因碰撞而减 少
时，该处必有相应的其它分子由于碰撞变成Vi类分子，而且由于微观模型特点
1.2（即弹 性质点）使得碰撞后位置基本不变，所以原处Vi类的分子基本不
变。微观模型的三个特点和两个统计假 设在这一步全都用上了。
（二）.对发生碰撞的各类分子求和
在dt时间内 ，能与dA面相碰撞的分子有很多类，只要是向着dA面运
动而且在dt时间内可以到达dA面的那些类 分子都对器壁有冲量作用。因此，
需要对这些类分子施于器壁的冲量求和，即在dt时间内，能与dA面 相碰的各
类分子施于dA面的冲量为：
2 2
dI= 2nimV1xdAdt= nimVixdAdt
(5)
分析：
（5）式中，第一个求和中的限制条件Vix>0表示只对 向dA面运动的
分子求和；第二个求和不受Vix的限制，但因子2去掉了。这里用到了假设
2 ，即在任一时刻沿任一方向运动的分子数相等，也就是说Vix>0的分子数和
Vix<0的分子数相同 。
（三）.对时间和面积取平均
dI 2
P=----------=m niVix (6)

分析：
由（6）式所决定的压强p与dt和dA的大小有关，从微观 看来，如果
很小，则P值将有明显的起伏变化即涨落。（如图2所示）。为了使P
具有一个稳定 的值，微观上要求dt时间内有大量分子与dA面相碰，但从宏观
看来，dt应是足够短的，dA也应是 足够小的，因为宏观压强的测量是在短时间
内对某处进行的。
推导进行到这一步，我们已经看出了统计平均方法的基本思想－－－分
类.求和.取平均。其核心是 . . . . . . 分类。
（四）.统计平均值概念的引入
根据上述思想，我们定义分子速度的X分量平方的统计平均值：
2 2 2
--2 niVix n1Vix+n2V2x+------
Vx=----------=-------------------------- ni
n
(7)
(7)式中，n= ni=n1+n2+--------为分子的数密度（7）式正是分 类.求和.
取平均值的体现，其中｛ni}=(n1,n2,---,ni,---)起着分类的作用， 利用｛ni},
原则上可以求得统计平均值。
（五）.压强公式
利用各向同性的统计假设2，必有：
--2 --2 --2
Vx=Vy=Vz
2 2 2 2
又 V1x+V1y+Viz=Vi
利用统计平均值概念，不难得到：
2 2 2 2
--2 niVi ni(Vix+V1y+V1z)
V=-------=--------------------------

ni ni
--2 --2 --2
=Vx+Vy+Vz
--2 1 --2
Vx=-----V (8)
3
显然
将（7）代入（6）并考虑到（8）式，得：
1 --2 2 --
P=----- nimV=------ne (9)
3
3