等价代换公式算术平均值的实验标准差和单次测量值的实验标准差的区别

一、问题的提出
在不等精度直接测量时，由各测量值x
i
及其σ
i
计算加权算术平均值的标准
差时，有两个计算公式

式中 :p
i
——各测量值的权；σ
i
——各测量值的标准差；σ——单位权标准差 ；
——加权算术平均值的标准差。
但这两个公式的计算结果有时会相差很大。那么，在这 种情况下，采用哪个
公式更为合理呢？本文对此从公式的推导到公式的选用进行探讨，并给出了一般性的原则。
二、公式的数学推导
在不等精度测量时，各测量值的权的定义式为:

测量结果的最佳估计值为:


则测量结果的不确定度评定为:
对式(5)求方差有

设各测量值x
i
的方差都存在，且已知分别为
由(4)式有=σ
2
p
i


，即D(x
i
)=


从公式(1 )的推导，我们可以看出，此时各测量值的方差(或标准差)必须是已
知的。而在实际测量中，常常各测 量值的方差(或标准差)是未知的，无法直接应
用公式(1)进行不确定度评定。但是，从分析来看，如 果能由各测量值的残差(其
权等于测量值的权)求出单位权标准差的估计值，并将其代入公式(1)中， 就可计
算出加权算术平均值标准差的估计值。为此，作如下推导:
由残差ν
i
=x
i
- i=1，2，……n
对ν
i
单位权化

由于

v
i< br>的权都相等，因而可设为1，故用v
i
代替贝塞尔公式中的ν
i
可得单
位权标准差的估计值

将此式代入公式(1)，即得到加权算术平均值标准差的估计值

从上面的 推导我们可以看出，公式(1)是在各测量值的标准差已知时计算出的不
等精度测量结果的不确定度的准 确值；而公式(2)是在各测量值的标准差未知时
计算出的不等精度测量结果的不确定度的估计值。从概 率论与数理统计知识可
知，只有在n→∞时，其单位权标准差的估计值才能等于单位权的标准差，而由< br>于测量次数的有限性和随机抽样取值的分散性，这两者是不相等的，所以由公式
(1)和公式(2 )确定的不确定度的值是也不相同的。

三、公式选用的一般原则
笔者用了较大的篇幅来进行公式的数学推导，主要是为了说明这两个公式推导
的前提是不一样的，其应用 当然也就不同。我们分两种情况来进行讨论。
1.各测量值的标准差未知时
显然，在这种情况下，由于其测量值的权是由其他方法得到的，而各测量值的
标准差未知，无法应用公式 (1)来进行不确定度评定，而只能用公式(2)。
2.各测量值的标准差已知时
当已知测量值x
i
和其标准差σ
i
时，有两种方法计算的标准差:第一种方法
是用公式(1)进行计算，第二种方法是用公式(2)进行计算。前面已述这两种方法
在理论上 是不相等的。两种方法的区别是:第一种方法是根据已知的σ
i
计算，
没有用到测量数 据x
i
。而第二种方法既用到了σ
i
(确定权)，也用到了测量数据x
i
(计
算残差)。公式(2)是一个统计学公式，与观测次数n有关，只有n足够大，即观< br>测数据足够多时，该公式才具有实际意义。所以，根据前面的推导分析，当测量
次数较少时，考虑 到随机抽样取值的分散性，建议采用公式(1)进行不确定度评
定，当测量次数较多时，采用公式(2) 评定不确定度更能真实地反映出这一组数
据的不确定度值，它包含了由随机效应引起的不确定度，也包含 了由系统效应引
起的不确定度，因而更具有实验性质。现在的问题是，测量次数究竟为多少时才
是较少或较多呢？根据概率论与数理统计知识，单次测量的标准差与平均值的标
准差的关系为:，当σ一 定时，n>10以后，已减少得非常缓慢。所以
常把n=10作为一个临界值。综上所述，当测量次数n <10时，用公式(1)进行计
算效果较好；当测量次数n≥10时，采用公式(2)来评定不确定度会 更客观一些。
另外，还有一个问题值得注意:不等精度测量本来就是改变了测量条件的复现性
测 量，这些改变了的测量条件有可能带来系统误差。当n足够大时且本次测量条
件与以前的测量条件变化不 大时，两个公式计算的结果应近似相等。否则本次测
量数据可能存在系统误差。

四、实例
[实例1]用国家基准器在相同的条件下连续3天检定某一基准米尺，检定 的结
果为999.9425mm(3次测量取平均值)，999.9416mm(2次测量取平均值.雪 ，
999.9419mm(5次测量取平均值)，试求最终的检定结果。
[解]由于 测量条件相同，3天里的10次测量是等精度的。3个检定结果所以精
度不等，是因为每天测量的次数不 同，所以其权为:
p
1
:p
2
:p
3
= σ
2
n
1
:σ
2
n
2
:σ
2n
3
=3:2:5
所以，加权算术平均值为:

因各测量值的标准差未知，故σ
x
应按公式(2)估算，所以

[实例2]对某物理量进行9次直接测量，数据见下表，评定测量结果的不确定
度。



[解](1)计算各测量值的权:
由式(4)知
p
i
=σ
2

令单位权标准差σ=50，则各测量值的权为:
p
1
:p
2
:p
3
:p
4
:p
5
:p
6
:p
7
:p
8
:p
9

=1:1:1:1.93:12.8:2.97:4.34:2.78:4.73
(2)计算最佳估计值:

(3)计算的标准差:
第一种方法；用公式(1)计算

第二种方法:用公式(2)计算

从本例看，两种方法计算的结果相差较大。依据第三节的原则，该例采用第 一
种方法计算的结果为好。从对观测列的分析来看，x
max
-x
min=132，取值很分散，
似有系统误差存在。当系统误差大于随机误差时，测量值的变化规律会明显 地为
系统误差所左右，因而无法用统计的方法得到正确的测量结果，原有的测量值也
就失去了意 义。要有效地提高测量准确度，必须认真分析测量过程中系统效应的
影响，并采取措施，减小或消除其影 响。