初一优秀作文-如何写好字技巧和方法
22.1
二次函数的图象和性质
同步练习
一、选择题（共
19
小题）
1
．抛物线
y=（
x
﹣
1
）
2
+
2
的顶点坐标是（ ）
A
．（﹣
1
，
2
）
B
．（﹣
1
，﹣
2
）
C
．（
1
，﹣
2
）
D
．（
1
，
2
）
2
．
0
）
3
）
已知抛物线
y= ax
2
+
bx
+
c
（
a
＞
0）过（﹣
2
，，（
2
，两点，那么抛物线的对称轴（ ）
A
．只能是
x=
﹣
1
B
．可能是
y
轴
C
．可能在
y
轴右侧且在直线
x=2
的左侧
D
．可能在
y
轴左侧且在直线
x=
﹣
2
的右侧
3
．对于二次函数
y=
﹣
x
2
+
2x
．有下列四个结论：
①
它的对称轴是直线
x=1
；
②
设
y
1
=
﹣
x
1
2
+
2 x
1
，
y
2
=
﹣
x
2
2
+
2x
2
，则当
x
2
＞
x
1
时， 有
y
2
＞
y
1
；
③
它的图象与
x
轴的两个交点是（
0
，
0
）和（
2
，
0< br>）；
④
当
0
＜
x
＜
2
时，
y
＞
0
．其中正确的结论的个数为（ ）
A
．
1 B
．
2 C
．
3 D
．
4
4
．二次函数
y=x
2
+
4x< br>﹣
5
的图象的对称轴为（ ）
A
．
x=4 B
．
x=
﹣
4 C
．
x=2 D
．
x=
﹣
2
5
．二次函数
y=x
2< br>﹣
2x
﹣
3
的图象如图所示，下列说法中错误的是（ ）
A
．函数图象与
y
轴的交点坐标是（
0
，﹣3
）
B
．顶点坐标是（
1
，﹣
3
）
C
．函数图象与
x
轴的交点坐标是（
3
，
0
）、（﹣
1
，
0
）
D
．当
x
＜
0时，
y
随
x
的增大而减小
6
．在下列二次函数中，其图象对称轴为
x=
﹣
2
的是（ ）
A
．
y=
（
x
+
2
）
2
B
．
y=2x
2
﹣
2 C
．
y=
﹣
2x
2
﹣
2 D
．
y=2
（
x
﹣
2
）
2
7
．若抛物线
y=
（
x
﹣
m
）
2+（
m
+
1
）的顶点在第一象限，则
m
的取值范围为（ ）
A
．
m
＞
1 B
．
m
＞
0 C
．
m
＞﹣
1 D
．﹣
1
＜
m
＜
0
8
．已知一个函数图 象经过（
1
，﹣
4
），（
2
，﹣
2
）两点 ，在自变量
x
的某个取值范围内，
都有函数值
y
随
x
的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（ ）
A
．正比例函数
B
．一次函数
C
．反比例函数
D
．二次函数
9
．已知二次函数
y=x
2
+（
m
﹣
1
）
x
+
1
，当
x
＞
1
时，
y
随
x
的增大而增大，而
m
的取值范围
是（ ）
A
．
m=
﹣
1 B
．
m=3 C
．
m
≤﹣
1 D
．
m
≥﹣
1
10
．
m
）如图，反比例函数
y=
的图象经过二次函数
y= ax
2
+
bx
图象的顶点（﹣，（
m
＞
0
），
则有（ ）
A
．
a=b
+
2k B
．
a=b
﹣
2k C
．
k
＜
b
＜
0 D
．
a
＜
k
＜
0
11
．设二次函数y=
（
x
﹣
3
）
2
﹣
4
图象 的对称轴为直线
l
，若点
M
在直线
l
上，则点
M< br>的坐
标可能是（ ）
A
．（
1
，
0
）
B
．（
3
，
0
）
C
．（﹣
3
，
0
）
D
．（
0
，﹣
4
）
12
．若正比例函数
y=mx
（
m
≠
0
），
y
随
x< br>的增大而减小，则它和二次函数
y=mx
2
+
m
的图
象大致是（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
13
．二次函数
y=ax
2
+
bx
+
c
的图象如图所示，则一次函数
y=ax
+
b
与 反比例函数
y=
在同一平
面直角坐标系中的大致图象为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
14
．数形结合是数学中常用的思想方法，试运用这一思想方法确定函数
y=x
2
+
1
与
y=
的交
点的横坐标
x
0
的取值范围是（ ）
A
．
0
＜
x
0
＜
1 B
．
1
＜
x
0
＜
2 C
．
2
＜
x
0
＜
3 D
．﹣
1
＜
x
0
＜
0
15
．已 知二次函数
y=a
（
x
﹣
1
）
2
﹣
c
的图象如图所示，则一次函数
y=ax
+
c
的大致图象可能是（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
16
．下列三个函数：
①
y =x
+
1
；
②
心对称图形的个数有（ ）
A
．
0 B
．
1 C
．
2 D
．
3
；
③
y=x
2
﹣
x
+< br>1
．其图象既是轴对称图形，又是中
17
．已知二次函数
y=
﹣
x
2
+
2x
+
3
，当
x
≥2
时，
y
的取值范围是（ ）
A
．
y
≥
3 B
．
y
≤
3 C
．
y
＞
3 D
．
y
＜
3
18
．在同一直角坐标系中，函数
y=mx
+
m
和
y=
﹣
mx
2
+
2x
+
2
（
m
是常数 ，且
m
≠
0
）的图象
可能是（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
19
．一次函数
y=ax
+
b
（
a
≠
0
）、二次函数
y=ax
2
+
bx
和反比例函数
y =
（
k
≠
0
）在同一直角
坐标系中的图象如图所示，
A
点的坐标为（﹣
2
，
0
），则下列结论中，正确的是（ ）
A
．
b=2a
+
k
B
．
a=b
+
k C
．
a
＞
b
＞
0 D
．
a
＞
k
＞
0
二、填空题（共
8
小题）
20
．抛物线
y=x< br>2
+
2x
+
3
的顶点坐标是 ．
21
．定义：给定关于
x
的函数
y
，对于该函数图象上任意两点（
x
1
，
y
1
），（
x
2
，
y
2
），当
x
1
＜
x
2
时，都有
y
1
＜
y
2
，称该函数为增函数，根据以上定义，可以判断下面所 给的函数中，
是增函数的有 （填上所有正确答案的序号）
①
y =2x
；
②
y=
﹣
x
+
1
；
③< br>y=x
2
（
x
＞
0
）；
④
y=﹣．
22
．下列函数（其中
n
为常数，且
n
＞
1
）
①
y=
（
x
＞
0
）；
②
y=
（
n
﹣
1
）
x
；< br>③
y=
（
x
＞
0
）；
④
y=
（
1
﹣
n
）
x
+
1
；
⑤
y=
﹣
x
2
+
2nx
（
x
＜
0
）中，
y
的值随
x
的值增大而增大的函数有 个．
23
．已知二次函数
y=
（
x
﹣
2
）
2
+
3
，当
x
时，
y
随
x
的增大而减小．
24
．二次函数y=
﹣
x
2
+
2x
﹣
3
图象的顶点坐 标是 ．
25
．二次函数
y=x
2
+
2x
的顶点坐标为 ，对称轴是直线 ．
26
．函数
y=x
2
+< br>2x
+
1
，当
y=0
时，
x=
；当
1
＜
x
＜
2
时，
y
随
x的增大而
（填写
“
增大
”
或
“
减 小
”
）．
27
．二次函数
y=x
2
﹣< br>2x
+
3
图象的顶点坐标为 ．
三、解答题（共
3
小题）
28
．已知抛物线
y= ax
2
+
bx
+
3
的对称轴是直线
x=1
．
（
1
）求证：
2a
+
b=0
；
（
2
）若关于
x
的方程
ax
2
+
bx﹣
8=0
的一个根为
4
，求方程的另一个根．
29< br>．已知点
A
（﹣
2
，
n
）在抛物线
y=x< br>2
+
bx
+
c
上．
（
1
）若
b=1
，
c=3
，求
n
的值；
（< br>2
）若此抛物线经过点
B
（
4
，
n
），且二 次函数
y=x
2
+
bx
+
c
的最小值是﹣
4
，请画出点
P
（
x
﹣
1
，
x
2
+
bx
+
c
）的纵坐标随横坐标变化的图象，并说明理由．
30
．在平面直角坐标系
xOy
中，过点（
0
，
2
）且平行于
x
轴的直线，与直线
y=x
﹣
1
交于点
A
，点
A
关于直线
x=1
的对称点为
B
， 抛物线
C
1
：
y=x
2
+
bx
+
c
经过点
A
，
B
．
（
1
）求点
A
，
B
的坐标；
（
2
）求抛物线
C
1
的表达式及顶点坐标；
（
3
）若抛物线
C
2
：
y=ax
2
（
a
≠
0
）与线段
AB
恰有一个公共点，结合函数的图象，求
a
的取
值范围．
参考答案
一、选择题（共
19
小题）
1
．抛物线
y=（
x
﹣
1
）
2
+
2
的顶点坐标是（ ）
A
．（﹣
1
，
2
）
B
．（﹣
1
，﹣
2
）
C
．（
1
，﹣
2
）
D
．（
1
，
2
）
【解答】解：∵顶点式
y=a
（
x
﹣
h
）
2
+
k
，顶点 坐标是（
h
，
k
），
∴抛物线
y=
（< br>x
﹣
1
）
2
+
2
的顶点坐标是（
1
，
2
）．
故选
D
．
2
．
0
）
3
）
已知抛物线
y= ax
2
+
bx
+
c
（
a
＞
0）过（﹣
2
，，（
2
，两点，那么抛物线的对称轴（ ）
A
．只能是
x=
﹣
1
B
．可能是
y
轴
C
．可能在
y
轴右侧且在直线
x=2
的左侧
D
．可能在
y
轴左侧且在直线
x=
﹣
2
的右侧
【解答】解：∵抛物线
y=ax
2
+
bx
+c
（
a
＞
0
）过（﹣
2
，
0
），（
2
，
3
）两点，
∴点（﹣
2
，< br>0
）关于对称轴的对称点横坐标
x
2
满足：﹣
2
＜< br>x
2
＜
2
，
∴﹣
2
＜＜
0
，
∴抛物线的对称轴在
y
轴左侧且在直线
x=
﹣
2
的右侧．
故选：
D
．
3
．对于二次函数
y=
﹣< br>x
2
+
2x
．有下列四个结论：
①
它的对称轴是直线
x=1
；
②
设
y
1
=
﹣
x
1
2
+
2x
1
，
y
2
=
﹣x
2
2
+
2x
2
，则当
x
2
＞
x
1
时，有
y
2
＞
y
1
；③
它的图象与
x
轴的两个交点是（
0
，
0
）和 （
2
，
0
）；
④
当
0
＜
x
＜
2
时，
y
＞
0
．其中正确的结论的个数为（ ）
A
．
1 B
．
2 C
．
3 D
．
4
【解答】解：
y=
﹣
x
2
+2x=
﹣（
x
﹣
1
）
2
+
1
，故
①
它的对称轴是直线
x=1
，正确；
②
∵直 线
x=1
两旁部分增减性不一样，∴设
y
1
=
﹣
x
1
2
+
2x
1
，
y
2
=
﹣
x
2
2
+
2x
2
，则当
x
2< br>＞
x
1
时，
有
y
2
＞
y
1
或
y
2
＜
y
1
，错误；
③当
y=0
，则
x
（﹣
x
+
2
）
=0
，解得：
x
1
=0
，
x
2
=2，
故它的图象与
x
轴的两个交点是（
0
，
0
）和（
2
，
0
），正确；
④
∵
a=
﹣
1
＜
0
，
∴抛物线开口向下，
∵它的图象与
x
轴的两个交点是（
0
，
0
）和（
2
，
0
），
∴当< br>0
＜
x
＜
2
时，
y
＞
0
， 正确．
故选：
C
．
4
．二次函数
y =x
2
+
4x
﹣
5
的图象的对称轴为（ ）
A
．
x=4 B
．
x=
﹣
4 C
．
x=2 D
．
x=
﹣
2
=
﹣
=
﹣
2
．
【解答】解：二次函数< br>y=x
2
+
4x
﹣
5
的图象的对称轴为：
x =
﹣
故选：
D
．
5
．二次函数
y=x
2
﹣
2x
﹣
3
的图象如图所示，下列说法中错误的是（ ）
A
．函数图象与
y
轴的交点坐标是（
0，﹣
3
）
B
．顶点坐标是（
1
，﹣
3
）
C
．函数图象与
x
轴的交点坐标是（
3
，
0
）、（﹣
1
，
0
）
D
．当
x
＜
0时，
y
随
x
的增大而减小
【解答】解：
A< br>、∵
y=x
2
﹣
2x
﹣
3
，
∴
x=0
时，
y=
﹣
3
，
∴函 数图象与
y
轴的交点坐标是（
0
，﹣
3
），故本选项说法正 确；
B
、∵
y=x
2
﹣
2x
﹣
3=
（
x
﹣
1
）
2
﹣
4
，
∴顶点坐标是（
1
，﹣
4
），故本选项说法错误；
< br>C
、∵
y=x
2
﹣
2x
﹣
3
，
∴
y=0
时，
x
2
﹣
2x
﹣
3=0
，
解得
x=3
或﹣
1
，
∴函数图象与
x
轴的交点坐标是（
3
，
0
）、（﹣1
，
0
），故本选项说法正确；
D
、∵
y= x
2
﹣
2x
﹣
3=
（
x
﹣
1）
2
﹣
4
，
∴对称轴为直线
x=1
，
又∵
a=1
＞
0
，开口向上，
∴
x＜
1
时，
y
随
x
的增大而减小，
∴
x
＜
0
时，
y
随
x
的增大而减小，故本选 项说法正确；
故选
B
．
6
．在下列二次函数中，其图象对称轴为
x=
﹣
2
的是（ ）
A
．
y=
（
x
+
2
）
2
B
．
y=2x
2
﹣
2 C
．
y=
﹣
2x
2
﹣
2 D
．
y=2
（
x
﹣
2
）
2
【解答】解：
y=
（
x
+
2
）
2
的对 称轴为
x=
﹣
2
，
A
正确；
y=2x< br>2
﹣
2
的对称轴为
x=0
，
B
错误；
y=
﹣
2x
2
﹣
2
的对称轴为
x=0
，
C
错误；
y=2
（
x
﹣
2< br>）
2
的对称轴为
x=2
，
D
错误．
故选：
A
．
7
．若抛物线
y=
（
x
﹣
m
）
2
+（
m
+
1
）的顶 点在第一象限，则
m
的取值范围为（ ）
A
．
m
＞
1 B
．
m
＞
0 C
．
m
＞﹣
1 D
．﹣
1
＜
m
＜
0
【解答】解：由
y=
（
x
﹣
m
）
2
+（
m
+
1
）
=x
2
﹣
2mx
+（
m
2
+
m
+
1
），
根据题意，，
解不等式（
1
），得
m
＞
0
，
解不等式（
2
），得
m
＞﹣
1
；
所以不等式组的解集为
m
＞
0
．
故选
B
．
8
．已知一个函数图象经过（
1，﹣
4
），（
2
，﹣
2
）两点，在自变量
x< br>的某个取值范围内，
都有函数值
y
随
x
的增大而减小，则符合 上述条件的函数可能是（ ）
A
．正比例函数
B
．一次函数
C
．反比例函数
D
．二次函数
【解答】解：设一次函数解析式为：
y=kx
+
b
，
由题意得，，
解得，
∵
k
＞
0
，
，
∴
y
随
x
的增大而增大，
∴
A
、
B
错误，
设反比例函数解析式为：
y=
，
由题意得，
k=
﹣
4
，
k
＜
0
，
∴在每个象限，
y
随
x
的增大而增大，
∴
C
错误，
当抛物线开口向上，
x
＞
1
时，
y
随
x
的增大而减小．
故选：
D
．
9
．已知二次函数
y=x
2
+（
m
﹣
1
）
x
+
1
，当
x
＞
1
时，
y
随
x
的增大而增大，而
m
的取值范围
是（ ）
A
．
m=
﹣
1 B
．
m=3 C
．
m
≤﹣
1 D
．
m
≥﹣
1
，
【解答】解：抛物线的对称轴 为直线
x=
﹣
∵当
x
＞
1
时，
y
的值随
x
值的增大而增大，
∴﹣≤
1
，
解得
m
≥﹣
1
．
故选
D
．
10
．
m
）如图，反比例函数
y=
的图象经过二次函数
y=ax
2
+
bx
图象的 顶点（﹣，（
m
＞
0
），
则有（ ）
A
．
a=b
+
2k B
．
a=b
﹣
2k C
．
k
＜
b
＜
0 D
．
a
＜
k
＜
0
【分析】把（﹣，
m< br>）代入
y=ax
2
+
bx
图象的顶点坐标公式得到顶点（﹣， ﹣），再把
（﹣，﹣）代入得到
k=
，由图象的特征即可得到结论．
【解答】解：∵
y=ax
2
+
bx
图象的顶点（﹣，
m< br>），
∴﹣
=
﹣，即
b=a
，∴
m==
﹣，
∴顶点（﹣，﹣），
把
x=
﹣，
y=
﹣代入反比 例解析式得：
k=
，
由图象知：抛物线的开口向下，
∴
a
＜
0
，
∴
a
＜
k
＜
0
，
故选
D
．
11
．设二次函数
y=
（x
﹣
3
）
2
﹣
4
图象的对称轴为直线
l
，若点
M
在直线
l
上，则点
M
的坐
标可 能是（ ）
A
．（
1
，
0
）
B
．（
3
，
0
）
C
．（﹣
3
，
0
）
D
．（
0
，﹣
4
）
【解答】解：∵二次函数y=
（
x
﹣
3
）
2
﹣
4
图象 的对称轴为直线
x=3
，
∴直线
l
上所有点的横坐标都是
3
，
∵点
M
在直线
l
上，
∴点
M
的横坐标为
3
，
故选
B
．
12
．若正比例函数
y=mx
（
m
≠
0
），
y
随
x
的增大而减小，则它 和二次函数
y=mx
2
+
m
的图
象大致是（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
【解答】解：∵正比例函数
y=mx
（
m
≠
0
），y
随
x
的增大而减小，
∴该正比例函数图象经过第二、四象限，且
m
＜
0
．
∴二次函数
y=mx
2
+
m
的图象开口方向向下，且与
y
轴交于负半轴．
综上所述，符合题意的只有
A
选项．
故选
A
．
13
．二次函数
y=ax
2< br>+
bx
+
c
的图象如图所示，则一次函数
y=ax
+
b
与反比例函数
y=
在同一平
面直角坐标系中的大致图象为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
【解答】解：∵二次函数图象开口方向向上，
∴
a
＞
0
，
∵对称轴为直线
x=
﹣
∴
b
＜
0
，
＞
0
，
∵与
y
轴的正半轴相交，
∴
c
＞
0
，
∴
y=ax
+b
的图象经过第一三象限，且与
y
轴的负半轴相交，
反比例函数
y=
图象在第一三象限，
只有
B
选项图象符合．
故选
B
．
14
．数形结合是数学中常用的思想方法，试运用这一思想方法确定函数
y=x
2
+
1
与
y=
的交
点的横坐标
x
0
的取值范围是（ ）
A
．
0
＜
x
0
＜
1 B
．
1
＜
x
0
＜
2 C
．
2
＜
x
0
＜
3 D
．﹣
1
＜
x
0
＜
0
【解答】解：如图 ，函数
y=x
2
+
1
与
y=
的交点在第一象限，横 坐标
x
0
的取值范围是
1
＜
x
0
＜
2
．
故选
B
．
15
．已 知二次函数
y=a
（
x
﹣
1
）
2
﹣
c
的图象如图所示，则一次函数
y=ax
+
c
的大致图象可能是（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
【解答】解：根据二次函数开口向上则
a＞
0
，根据﹣
c
是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出
c
＞
0
，
故一次函数
y=ax
+
c
的大致图象经过一、二、三象限，
故选：
A
．
16
．下列三个函数：
①
y=x
+
1
；
②
心对称图形的个数有（ ）
A
．
0 B
．
1 C
．
2 D
．
3
；
③
y=x
2
﹣
x
+< br>1
．其图象既是轴对称图形，又是中
【解答】解：
①
y=x
+
1
的函数图象，既是轴对称图形，又是中心对称图形；
②
y=
的函数图象，既是轴对称图形，又是中心对称图形；
③y=x
2
﹣
x
+
1
的函数图象是轴对称图形，不是中心 对称图形；
所以，函数图象，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
①②
共
2
个．
故选
C
．
17
．已 知二次函数
y=
﹣
x
2
+
2x
+
3
，当
x
≥
2
时，
y
的取值范围是（ ）
A
．
y
≥
3 B
．
y
≤
3 C
．
y
＞
3 D
．
y
＜
3
【考点】二次函数的性质．
【分析】先求出
x=2
时
y< br>的值，再求顶点坐标，根据函数的增减性得出即可．
【解答】解：当
x=2< br>时，
y=
﹣
4
+
4
+
3=3
，
∵
y=
﹣
x
2
+
2x
+
3 =
﹣（
x
﹣
1
）
2
+
4
，
∴当
x
＞
1
时，
y
随
x
的增 大而减小，
∴当
x
≥
2
时，
y
的取值范 围是
y
≤
3
，
故选
B
．
18
．在同一直角坐标系中，函数
y=mx
+
m
和
y=
﹣
mx
2
+
2x
+
2
（
m
是常数，且
m
≠
0
）的图象
可能是（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
【解答】解：解法一：逐项分析
A
、由函数
y=mx
+< br>m
的图象可知
m
＜
0
，即函数
y=
﹣
mx
2
+
2x
+
2
开口方向朝上，与图象不符，
故
A
选项错误；
B
、由函数
y=mx
+
m
的图象可知
m
＜
0
，对称轴为
x=
y
轴 左侧，与图象不符，故
B
选项错误；
C
、由函数
y=mx
+
m
的图象可知
m
＞
0
，即函数
y=﹣
mx
2
+
2x
+
2
开口方向朝下，与图象不 符，
故
C
选项错误；
D
、由函数
y=mx
+
m
的图象可知
m
＜
0
，即函数
y=
﹣
mx
2
+
2x
+
2
开口方向朝上，对称轴为
x=
解法二：系统分析
当二次函数开口向下时，﹣
m
＜
0
，
m
＞
0
，
一次函数图象过一、二、三象限．
当二次函数开口向上时，﹣
m
＞
0
，
m
＜
0
，
对称轴
x=
＜
0
，
==
＜
0< br>，则对称轴应在
y
轴左侧，与图象相符，故
D
选项正确；
< br>==
＜
0
，则对称轴应在
这时二次函数图象的对称轴在
y轴左侧，
一次函数图象过二、三、四象限．
故选：
D
．
19
．一次函数
y=ax
+
b
（
a
≠
0
）、二次函数
y=ax
2< br>+
bx
和反比例函数
y=
（
k
≠
0
）在同一直角
坐标系中的图象如图所示，
A
点的坐标为（﹣
2
，0
），则下列结论中，正确的是（ ）
A
．
b=2a
+
k B
．
a=b
+
k C
．
a
＞
b
＞
0 D
．
a
＞
k
＞
0
【解答】解：∵根据图示知，一 次函数与二次函数的交点
A
的坐标为（﹣
2
，
0
），
∴﹣
2a
+
b=0
，
∴
b=2a
．
∵由图示知，抛物线开口向上，则
a
＞
0
，
∴
b
＞
0
．
∵反比例函数图象经过第一、三象限，
∴
k
＞
0
．
A
、由图示知，双曲线位于 第一、三象限，则
k
＞
0
，
∴
2a
+< br>k
＞
2a
，即
b
＜
2a
+
k
．
故
A
选项错误；
B
、∵
k
＞
0
，
b=2a
，
∴
b
+
k
＞
b
，
即
b
+
k
＞
2a
，
∴
a=b
+
k
不成立．
故
B
选项错误；
C
、∵
a
＞
0
，
b=2a
，
∴
b
＞
a
＞
0
．
故
C
选项错误；
D
、观察二次函数
y=ax2
+
bx
和反比例函数
y=
（
k
≠
0
）图象知，当
x=
﹣
y=
﹣
k
＞﹣
=﹣
=
﹣
a
，即
k
＜
a
，
< br>=
﹣
=
﹣
1
时，
∵
a
＞
0
，
k
＞
0
，
∴
a
＞
k
＞
0
．
故
D
选项正确；
故选：
D
．
二、填空题（共
8
小题）
20
．抛物线
y=x< br>2
+
2x
+
3
的顶点坐标是 （﹣
1
，
2
） ．
【解答】解：∵
y=x
2
+
2x
+
3=x
2
+
2x
+
1
﹣
1
+
3=
（
x
+
1
）
2
+
2
，
∴抛物线
y=x
2
+
2x
+
3
的顶点坐标是（﹣
1
，
2
）．
故答案为：（﹣
1
，
2
）．
21
．定义 ：给定关于
x
的函数
y
，对于该函数图象上任意两点（
x
1
，
y
1
），（
x
2
，
y
2
），当
x
1
＜
x
2
时，都有
y
1
＜
y
2
，称该函数为增函数，根据以上定义，可以判断下面所给的函数中，
是增函数的有
①③
（填上所有正确答案的序号）
①
y=2x< br>；
②
y=
﹣
x
+
1
；
③
y =x
2
（
x
＞
0
）；
④
y=
﹣．
【解答】解：
y=2x
，
2
＞
0
，∴< br>①
是增函数；
y=
﹣
x
+
1
，﹣
1
＜
0
，∴
②
不是增函数；
y=x2
，当
x
＞
0
时，是增函数，∴
③
是增函数；
y=
﹣，在每个象限是增函数，因为缺少条件，∴
④
不是增函数．
故答案为：
①③
．
22
．下列函数（其中
n为常数，且
n
＞
1
）
①
y=
（x
＞
0
）；
②
y=
（
n
﹣
1
）
x
；
③
y=
（
x
＞
0
）；
④
y=
（
1
﹣
n
）
x
+1
；
⑤
y=
﹣
x
2
+
2nx
（
x
＜
0
）中，
y
的值随
x
的值增大而增 大的函数有
3
个．
【解答】解：
①
y=
（< br>x
＞
0
），
n
＞
1
，
y
的 值随
x
的值增大而减小；
②
y=
（
n
﹣
1
）
x
，
n
＞
1
，
y
的 值随
x
的值增大而增大；
③
y=
（
x
＞
0
）
n
＞
1
，
y
的值随
x
的值增大而增大；
④
y=
（
1
﹣
n
）
x
+
1
，
n
＞
1
，
y
的 值随
x
的值增大而减小；
⑤
y=
﹣
x
2
+
2nx
（
x
＜
0
）中，
n
＞< br>1
，
y
的值随
x
的值增大而增大；
y
的值随
x
的值增大而增大的函数有
3
个，
故答案为：
3
．
23
．已知二次函数
y=
（
x
﹣
2
）
2
+
3
，当
x ＜
2
时，
y
随
x
的增大而减小．
【解答】解：在
y=
（
x
﹣
2
）
2
+< br>3
中，
a=1
，
∵
a
＞
0
，
∴开口向上，
由于函数的对称轴为
x=2
，
当
x
＜
2
时，
y
的值随着
x
的值增大而减小；
当
x
＞
2
时，
y
的值随着
x
的值增大而增大．
故答案为：＜
2
．
24
．二次函数
y=﹣
x
2
+
2x
﹣
3
图象的顶点坐标是 （
1
，﹣
2
） ．
【考点】二次函数的性质．
【分析】此题既可以利用
y=ax
2
+
bx
+
c< br>的顶点坐标公式求得顶点坐标，也可以利用配方法求
出其顶点的坐标．
【解答 】解：∵
y=
﹣
x
2
+
2x
﹣
3
=
﹣（
x
2
﹣
2x
+
1
）﹣
2
=
﹣（
x
﹣
1
）
2
﹣
2
，
故顶点的坐标是（
1
，﹣
2
）．
故答案为（
1
，﹣
2
）．
25
．二次函数
y=x
2
+
2x
的顶点坐标为 （﹣
1
，﹣
1
） ，对称轴是直线
x=
﹣
1
．
【解答】解：∵
y=x
2
+
2x=
（
x
+
1
）
2
﹣
1
，
∴二次函数
y=x
2
+
4x
的顶 点坐标是：（﹣
1
，﹣
1
），对称轴是直线
x=
﹣
1
．
故答案为：（﹣
1
，﹣
1
），
x=
﹣
1
．
26
．函数
y=x
2
+
2x
+
1
，当
y=0
时，
x=
﹣
1
；当
1
＜
x
＜
2
时，
y< br>随
x
的增大而 增大 （填
写
“
增大
”
或< br>“
减小
”
）．
【解答】解：把
y=0
代入
y=x
2
+
2x
+
1
，
得
x
2
+
2x
+
1=0
，
解得
x=
﹣
1
，
当
x
＞﹣1
时，
y
随
x
的增大而增大，
∴当
1
＜
x
＜
2
时，
y
随
x
的增大而 增大；
故答案为﹣
1
，增大．
27
．二次函 数
y=x
2
﹣
2x
+
3
图象的顶点坐标为 （
1
，
2
） ．
【解答】解：∵
y=x
2
﹣
2x
+
3=
（
x
﹣
1
）2
+
2
，
∴抛物线顶点坐标为（
1
，
2
）．
故答案为：（
1
，
2
）．
三、解答题（共
3
小题）
28
．已知抛物线
y= ax
2
+
bx
+
3
的对称轴是直线
x=1
．
（
1
）求证：
2a
+
b=0
；
（
2
）若关于
x
的方程
ax
2
+
bx﹣
8=0
的一个根为
4
，求方程的另一个根．
【解答 】（
1
）证明：∵对称轴是直线
x=1=
﹣
∴
2a
+
b=0
；
（
2
）解：∵
ax
2
+
bx
﹣
8=0
的一个根为
4
，
∴
16a
+
4b
﹣
8=0
，
∵
2a
+
b=0
，
∴
b=
﹣
2a
，
∴
16a
﹣
8a
﹣
8=0
，
解得：
a=1
，则
b=
﹣
2
，
∴
ax
2
+
bx
﹣
8=0
为：
x
2
﹣
2x
﹣
8=0
，
则（
x
﹣
4
）（
x
+
2
）
=0
，
解得：
x
1
=4
，
x
2
=
﹣
2
，
故方程的另一个根为：﹣
2
．
29
．已知点
A
（﹣
2
，
n
）在抛物线
y=x
2
+
bx
+
c
上．
（
1
）若< br>b=1
，
c=3
，求
n
的值；
，
（
2
）若此抛物线经过点
B
（
4
，
n），且二次函数
y=x
2
+
bx
+
c
的最小值 是﹣
4
，请画出点
P
（
x
﹣
1
，
x
2
+
bx
+
c
）的纵坐标随横坐标变化的图象，并说明理 由．
【解答】解：（
1
）∵
b=1
，
c=3，
A
（﹣
2
，
n
）在抛物线
y=x
2
+
bx
+
c
上．
∴
n=4
+（ ﹣
2
）×
1
+
3=5
．
（
2< br>）∵此抛物线经过点
A
（﹣
2
，
n
），
B< br>（
4
，
n
），
∴抛物线的对称轴
x==1
，
∵二次函数
y=x
2
+
bx
+
c
的最小值是﹣
4
，
∴抛物线的解析式为
y=
（
x
﹣
1
）
2
﹣
4
，
令
x
﹣
1=x
′
，
∴点
P（
x
﹣
1
，
x
2
+
bx
+< br>c
）的纵坐标随横坐标变化的关系式为
y=x
′
2
﹣
4
，
点
P
（
x
﹣
1
，
x
2
+
bx
+
c
）的纵坐标随横坐标变化的如图：
30
．在平面直角坐标系
xOy
中，过点（
0
，
2
）且平行于
x
轴的直线，与直线
y=x
﹣
1交于点
A
，点
A
关于直线
x=1
的对称点为
B
，抛物线
C
1
：
y=x
2
+
bx
+
c
经过点
A
，
B
．
（
1
）求点
A
，
B
的坐标；
（
2
）求抛物线
C
1
的表达式及顶点坐标；
（
3
）若抛物线
C
2
：
y=ax
2
（
a
≠
0
）与线段
AB
恰有一个公共点，结合函数的图象，求
a
的取
值范围．
【解答】解：（
1
） 当
y=2
时，则
2=x
﹣
1
，
解得：
x=3
，
∴
A
（
3
，
2
），
∵点
A
关于直线
x=1
的对称点为
B
，
∴
B
（﹣
1
，
2
）．
（
2
）把（
3
，
2
），（﹣
2
，
2
）代入抛物线
C
1
：
y=x
2
+
bx
+
c
得：
解得：
∴
y=x
2
﹣
2x
﹣
1
．
顶点坐标为（
1
，﹣
2
）．
（
3
）如图，当
C
2
过
A
点，
B
点时为临界，
代入
A
（
3
，
2
）则
9a =2
，
解得：
a=
，
代入
B
（﹣
1
，
2
），则
a
（﹣
1
）
2
=2
，
解得：
a=2
，
∴
．
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