主力追踪指标公式《二次函数复习课》教学设计

第二十二章 复 习 课




1
.
知道二次函数的概念、图象和性质,能根据解析式判断抛物线的开口方向、对称轴、
顶点坐标和函数的增 减性
.

2
.
知道抛物线与对应的一元二次方程的关系,会用待定系 数法求二次函数的解析式
.

3
.
能够运用二次函数解决一些实际问题,从中体会数学建模思想
.

4
.
重点:二次函数解析式的求法,二次函数的图象、性质和应用
.



◆体系构建

◆核心梳理
1
.
一般地,形如
y=ax
2
+bx+c
(
a
,
b
,
c
是常数,
a

≠

0)的函数,叫做二次函数
.
其中
x
是< br>自变量,
a
,
b
,
c
分别是函数解析式的

二次项

系数、

一次项

系数和

常数项

.

2
.
二次函数
y=ax< br>2
+bx+c
(
a
≠0)与一元二次方程的关系:(1)当
b
2
-
4
ac>
0时,抛物线与
x
轴有

2

个交点,对应的一元二次方程有

两个不相等

的实数解;(2)当
b
2
-
4
ac=
0时,抛物线与x
轴
有

1

个交点,对应的一元二次方程有两个

相等

的实数解;(3)当< br>b
2
-
4
ac<
0时,抛物线与
x
轴

无

交点,对应的一元二次方程

无

实数解
.

3
.
填表:

特性

函数


开口方向

对称轴

顶点坐标

(0,0)

(0,
k
)

(
h
,0)

(
h
,
k
)

最值

最小值0

最大值0

最小值
k

最大值
k

最小值0

最大值0

最小值
k

最大值
k

最小值
y=ax
2

y=ax
2
+k

y=a
(
x-h
)
2

y=a
(
x-h
)
2
+k

a>
0时开口向上

a<
0时开口向下

a>
0时开口向上

a<
0时开口向下

a>
0时开口向上

a<
0时开口向下

a>
0时开口向上

a<
0时开口向下

a>
0时开口向上

y
轴

y
轴

x=h

x=h



y=ax
2
+bx+c

a<
0时开口向下

x=-

(
-
,)

最大值



专题一:二次函数的概念、图象和性质

1
.
二次函数
y=ax
2
+bx+c
的图象如图所示,那么
abc
,b
2
-
4
ac
,2
a+b
,
a+b+ c
这四个代数式中,值为
正数的有 (
B
)
A
.
4个

B
.
3个

C
.
2个

D
.
1个
2
.
二次函数
y=ax
2
+bx+c
与一次函数
y=ax+c
在同一坐标系中的图象可能是 (
C
)


3
.
如图,已知二次函数
y
1
=ax
2
+bx+c
与一 次函数
y
2
=kx+m
的图象相交于
A
(
-
2,4),
B
(8,2),则能
使
y
1
>y
2< br>成立的
x
的取值范围是

x<-
2或
x>
8
.

【方法归纳交流】根据抛物线的

开口方向

判断
a
的正负;根据抛物线与
y
轴

的交点
判断
c
的值;若抛物线的对称轴在
y
轴

左

侧,则
a
与
b
同号,若抛物线的对称轴在y
轴

右

侧,则
a
与
b
异号;根据抛物线与
x
轴交点的个数判断
b
2
-
4
ac
的符号
.

专题二:求抛物线的顶点和对称轴
4
.
求抛物线
y=x
2
-
4
x+
5的开口方向、对称轴及顶点坐标
.
( 用两种方法)
解:(1)
y=
(
x
2
-
8
x+
10)
=
[(
x
2
-
8
x+
16)
-
16
+
10]
=
(
x-
4)< br>2
-
3,所以抛物线的开口向上,对称轴是
x=
4,顶点坐标是
(4,
-
3)
.

(2)对称轴:
x=-=
4,
y
最小
==-
3,顶点坐标为(4,
-
3)
.
【方法归纳交流】求抛物线的顶点和对称轴一般有两种方法:

配方法和公式法
.

专题三:抛物线的平移
5
.说明抛物线
y=-
3
x
2
-
6
x+
8 通过怎样的平移,可得到抛物线
y=-
3
x
2
.

解:配方:
y=-
3
x
2
-
6
x+
8=-
3(
x
2
+
2
x-
)
=-
3[(
x
2
+
2
x+
1)
-
1
-
]
=-
3(
x+
1)
2
+
11,
∴
抛物线的顶点坐标是(
-
1,11),
∴
把抛
物线y=-
3
x
2
-
6
x+
8先向右平移1个单位 长度,再向下平移11个单位长度得到
y=-
3
x
2
.


6
.
如图,抛物线
y=ax
2
-
5ax+
4
a
与
x
轴相交于点
A
、
B< br>,且过点
C
(5,4)
.

(1)求
a
的值和该抛物线顶点
P
的坐标;
(2)请你设 计一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在第二象限,并写出平移后抛物线的
解析式
.
解:(1)把
C
(5,4)代入
y=ax
2
-
5
ax+
4
a
,得25
a-
25
a+
4
a=
4,

解得
a=
1
.
所以抛物线的解 析式为
y=x
2
-
5
x+
4
=x
2
-
5
x+-
(,
-
)
.

(2)答案不 唯一,如:把抛物线
y=x
2
-
5
x+
4先向上平移3个单 位长度,再向左平移3个单位长度,这时对应的
抛物线解析式为
y=
(
x+< br>)
2
+.

+
4
=
(
x-
)
2
-
,所以抛物线顶点
P
的坐标为

【方法归纳交流】抛物线的平移规律:

左加右减,上加下减
.

专题四:二次函数解析式的确定

7
.
已知函数
y=ax
2
+bx+c
的图象如图所示,则此函数的关系式为
A.
y=-x
2
+
2
x+
3 B.
y=x
2
-
2
x-
3
C.
y=-x
2
-
2
x+
3 D.
y=-x
2
-
2
x-
3
8
.
已知二次函数的顶点为(1,
-
3),且经过点
P
(2,0),求这个函数 的解析式
.

解:设所求函数解析式为
y=a
(
x-
1)
2
-
3,
∵
图象经过
P
(2,0),
∴
0
=a
(2
-
1)
2
-
3,解得a=
3
.

(
A
)
∴
所求函数的解 析式为
y=
3(
x-
1)
2
-
3,即
y=
3
x
2
-
6
x.


【方法归纳 交流】利用待定系数法求二次函数的解析式,若已知三点,通常设二次函数的
解析式为
y=ax
2
+bx+c
;若已知顶点,通常设二次函数的解析式为
y=a
(
x-h
)
2
+k
.

专题五:二次函数与一元二次方程
9
.
已知二次函数
y=
2
x
2
-
(
m+
1)
x+m-
1
.
(1)求证:不论
m
为何值时,函数的图象与
x
轴总有交点,并指出当
m
为何值时,只有一个交点
.
(2)当
m
为何 值时,函数的图象经过原点?(3)在(2)的图象
中,写出
y<
0时
x的取值范围及
y>
0时
x
的取值范围
.

解: (1)
∵b
2
-
4
ac=
[
-
(
m+
1)]
2
-
4
×
2(
m-
1)
=m
2
+
2
m+
1
-
8
m+
8
=m
2
-
6
m+
9
=
(
m-3)
2
.
显然不论
m
为何值时,总有
b
2-
4
ac=
(
m-
3)
2
≥0
.故不论
m
为何值时,抛物线与
x
轴总有交点,且当
x=
3时,只有一个交点
.


(2)
∵
函数的图象经过原点( 0,0),
∴
0
=
2
×
0
2
-
(
m+
1)
×
0
+m-
1,
∴m=
1
.
即当
m=
1时,函数的图象经过原点
.

(3)由(2 )得
y=
2
x
2
-
2
x.
其图象如图.∵
抛物线与
x
轴的两个交点分别为(0,0),(1,0),
∴
当
y<
0时,0
1;当
y>
0
时,
x<
0或
x>
1
.


【方法归纳交流】当
b
2
-
4
ac
≥0

时,抛物线
y=ax
2
+bx+c
与
x
轴有交点< br>.
抛物线在
x
轴上
方的部分,对应的函数值
>
0;抛物线在
x
轴下方的部分,对应的函数值
<
0
.

专题六:抛物线中三角形的面积

10
.
如图,已知直 线
AB
经过
x
轴上的点
A
(2,0),且与抛物线
y=ax
2
相交于
B
、
C
两点,已知
B
点 坐标为(1,1)
.

(1)求直线和抛物线的解析式;
(2)如果
D
为抛物线上一点,使得△
AOD
与△
OBC
的面积相等,求D
点坐标
.

解:(1)设直线
AB
的解析式为
y=kx+b
,
∵
直线过点
A
(2,0),
B
( 1,1),代入解析式求得
k=-
1,
b=
2
.∴
直线解析 式
为
y=-x+
2;把
B
(1,1)代入
y=ax
2
,求得
a=
1,
∴
抛物线解析式为
y=x
2.

(2)由
y=-x+
2与
y=x
2
,先求 抛物线与直线的另一个交点
C
的坐标为
(
-
2,4),
S< br>△
OBC
=S
△
AOC
-S
△
OAB
=
3
.∵S
△
AOD
=S
△
OBC
且< br>OA=
2,
∴D
点的纵坐标为3
.
又
∵D
在 抛物线
y=x
2
上,
∴x
2
=
3,即
x= ±
,
∴D
(
-
,3)或(,3)
.


【方法归纳交流】在求斜置于平面直角坐标系中的三角形的面积时,一般可用

割补法

将其转化为一边在坐标轴上的多边形的面积的和或差求解
.


专题七:二次函数的实际应用

11
.
某跳水运动员在进行10 m跳台跳水训练时,身体(看成一点)在空中的运动 路线是如图所
示的一条抛物线
.
在跳某个规定动作时,正常情况下,该运动员在空中的 最高处距水面10 m,
入水处距池边的距离为4 m,同时运动员在距水面高度5 m以前,必须完成规定的翻腾动作,
并调整好入水姿势时,否则就会出现失误
.

(1)求这条抛物线的函数解析式;
(2)在某次试跳中,测得运动员在空中的运动路线是( 1)中的抛物线,且运动员在空中调整好入
水姿势时,距池边的水平距离为3 m,问此次跳水会不会失误?并通过计算说明理由
.

解:(1)设抛物线解析式为< br>y=ax
2
+bx
,由最高点公式可得
由抛物线经过点(5,
-
10)可得25
a+
5
b=-
10,
②

由
①②
可得
a=-
,
b=
或
a=-
,< br>b=-
(舍去)
.

=
,
①

∴
抛物线解析式为
y=-x
2
+x.

(2)当运动员在空中距池边的水平距离为3 m时,
x=
3
+
1< br>=
,
y=-×
()
2
+×=-
面的高度为10
-
,此时运动员距水
<
5,因此,此次跳水会出现失误
.

12
.
某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500千克, 经市场调
查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价一元,日销售量将减少20千克
.
(1)现要保证每天盈利6000元,同时又要让顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?
(2)若该商场单纯从经济角度看,那么每千克应涨价多少元,能使商场获利最多?
解:(1 )设每千克水果应涨价
x
元,依题意可得方程(500
-
20
x)(10
+x
)
=
6000,整理,得
x
2
-
15
x+
50
=
0,解这个方
程,得
x
1
=
5,
x
2
=
10
.
要使顾客得到实惠, 应取
x=
5
.
答:每千克水果应涨价5元
.

(2 )设商场获利
y
元,
y=
(500
-
20
x
)(10
+x
),当
x=
7
.
5时
y
最 大
.


13
.
桥的部分横截面如图所示,上方可看成是一 个经过
A
、
C
、
B
三点的抛物线,以桥面的水平
线 为
x
轴,经过抛物线的顶点
C
且与
x
轴垂直的直线为
y
轴,建立直角坐标系
.
已知垂直于桥
面的相邻两柱之间的距离为2米(图 中用线段
AD
、
CO
、
BE
等表示桥柱)
.CO=
1 m,
FG=
2 m
.

(1)求经过
A
、
B
、
C
三点的抛物线的函数解析式;
(2)求柱子
AD
的高度
.

解:(1)由题意,可知点< br>C
的坐标为(0,1),点
F
的坐标为(
-
4,2),设抛物 线的函数解析式为
y=ax
2
+c.

∴
解得

∴
抛物线的函数解析式为
y=x
2
+
1;

(2)因为点
A
的横坐标为
-
10,当
x=-
10时,< br>y=
7
.
25,

即柱子
AD
的高度为7
.
25 m
.

【 方法归纳交流】
列与实际问题有关的二次函数解析式,应认真理解题意,明确各量之间的关系,同时也应
该注意自变量的取值范围