倍率公式三角函数公式的推导及公式大全

诱导公式

目录·诱导公式
·诱导公式记忆口诀
·同角三角函数基本关系
·同角三角函数关系六角形记忆法
·两角和差公式
·倍角公式
·半角公式
·万能公式
·万能公式推导
·三倍角公式
·三倍角公式推导
·三倍角公式联想记忆
·和差化积公式
·积化和差公式
·和差化积公式推导

诱导公式

★诱导公式★
常用的诱导公式有以下几组：

公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα

公式二：
设α为任意角，π+α的三 角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα

公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα

1



公式四：
利用公式二和公式三可以得到π- α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα

公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα

公式六：
π2±α及3π2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π2＋α）＝cosα
cos（π2＋α）＝－sinα
tan（π2＋α）＝－cotα
cot（π2＋α）＝－tanα

sin（π2－α）＝cosα
cos（π2－α）＝sinα
tan（π2－α）＝cotα
cot（π2－α）＝tanα

sin（3π2＋α）＝－cosα
cos（3π2＋α）＝sinα
tan（3π2＋α）＝－cotα
cot（3π2＋α）＝－tanα

sin（3π2－α）＝－cosα
cos（3π2－α）＝－sinα
tan（3π2－α）＝cotα
cot（3π2－α）＝tanα

(以上k∈z)
诱导公式记忆口诀

※规律总结※
上面这些诱导公式可以概括为：
对于k·π2±α(k∈z)的个三角函数值，

2

①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；
②当k是 奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.
（奇变偶不变）
然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
（符号看象限）

例如：
sin(2π－α)＝sin(4·π2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。
当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符号为“－”。
所以sin(2π－α)＝－sinα

上述的记忆口诀是：
奇变偶不变，符号看象限。
公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α（k∈z ），-α、180°±α，360°-α所在象
限的原三角函数值的符号可记忆
水平诱导名不变；符号看象限。
各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦”．
这十二字口诀的意思就是说：
第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；
第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；
第三象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”；
第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”．



其他三角函数知识：
同角三角函数基本关系

⒈同角三角函数的基本关系式
倒数关系:
tanα ·cotα＝1
sinα ·cscα＝1
cosα ·secα＝1
商的关系：
sinαcosα＝tanα＝secαcscα
cosαsinα＝cotα＝cscαsecα
平方关系：
sin^2(α)＋cos^2(α)＝1
1＋tan^2(α)＝sec^2(α)
1＋cot^2(α)＝csc^2(α)
同角三角函数关系六角形记忆法


3

六角形记忆法：（参看图片或参考资料链接）
构造以上弦、中切、下割；左正、右余、中间1的正六边形为模型。
（1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；
（2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数 值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是
两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可得 商数关系式。
（3）平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于 下面顶点上
的三角函数值的平方。
两角和差公式

⒉两角和与差的三角函数公式
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tanα＋tanβ
tan（α＋β）＝——————
1－tanα ·tanβ

tanα－tanβ
tan（α－β）＝——————
1＋tanα ·tanβ
倍角公式

⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）
sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2c os^2(α)－1＝1－2sin^2(α)

2tanα
tan2α＝—————
1－tan^2(α)
半角公式

⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）

1－cosα
sin^2(α2)＝—————
2

1＋cosα
cos^2(α2)＝—————
2

4


1－cosα
tan^2(α2)＝—————
1＋cosα
万能公式

⒌万能公式
2tan(α2)
sinα＝——————
1＋tan^2(α2)

1－tan^2(α2)
cosα＝——————
1＋tan^2(α2)

2tan(α2)
tanα＝——————
1－tan^2(α2)
万能公式推导

附推导：
sin2α=2si nαcosα=2sinαcosα(cos^2(α)+sin^2(α))......*，
（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）
再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α＝tan2α(1＋tan^2(α))
然后用α2代替α即可。
同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。
三倍角公式

⒍三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin3α＝3sinα－4sin^3(α)
cos3α＝4cos^3(α)－3cosα

3tanα－tan^3(α)
tan3α＝——————
1－3tan^2(α)
三倍角公式推导

附推导：
tan3α＝sin3αcos3α
＝(sin2αcosα＋cos2αsinα)(cos2αcosα-sin2αsinα) ＝(2sinαcos^2(α)＋cos^2(α)sinα－sin^3(α))(cos^3(α)－ cosαsin^2(α)－
2sin^2(α)cosα)

5

上下同除以cos^3(α)，得：
tan3α＝(3tanα－tan^3(α))(1-3tan^2(α))

sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα
＝2sinαcos^2(α)＋(1－2sin^2(α))sinα
＝2sinα－2sin^3(α)＋sinα－2sin^2(α)
＝3sinα－4sin^3(α)

cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα
＝(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α)
＝2cos^3(α)－cosα＋(2cosα－2cos^3(α))
＝4cos^3(α)－3cosα
即
sin3α＝3sinα－4sin^3(α)
cos3α＝4cos^3(α)－3cosα
三倍角公式联想记忆

记忆方法：谐音、联想
正弦三倍角：3元 减 4元3角（欠债了(被减成负数)，所以要“挣钱”(音似“正弦”)）
余弦三倍角：4元3角 减 3元（减完之后还有“余”）
☆☆注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。
和差化积公式

⒎三角函数的和差化积公式

α＋β α－β
sinα＋sinβ＝2sin—----·cos—---
2 2

α＋β α－β
sinα－sinβ＝2cos—----·sin—----
2 2

α＋β α－β
cosα＋cosβ＝2cos—-----·cos—-----
2 2

α＋β α－β
cosα－cosβ＝－2sin—-----·sin—-----
2 2
积化和差公式

⒏三角函数的积化和差公式

6

sinα ·cosβ＝0.5[sin（α＋β）＋sin（α－β）]
cosα ·sinβ＝0.5[sin（α＋β）－sin（α－β）]
cosα ·cosβ＝0.5[cos（α＋β）＋cos（α－β）]
sinα ·sinβ＝－ 0.5[cos（α＋β）－cos（α－β）]
和差化积公式推导

附推导：
首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=s ina*cosb-cosa*sinb
我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb
所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))2
同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))2
同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb- sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb
所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb
所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))2
同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))2
这样,我们就得到了积化和差的四个公式:
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))2
好,有了积化和差的四 个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.我们把上述
四个公式中的a+b设为 x,a-b设为y,那么a=(x+y)2,b=(x-y)2
把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:
sinx+siny=2sin((x+y)2)*cos((x-y)2)
sinx- siny=2cos((x+y)2)*sin((x-y)2)
cosx+cosy=2cos((x+y)2)*cos((x-y)2)
cosx- cosy=-2sin((x+y)2)*sin((x-y)2)
利用变角思想.

A=(A+B)2+(A-B)2 B=(A+B)2-(A-B)2

sinA +sinB=sin[(A+B)2+(A-B)2]+sin[(A+B)2-(A-B)2]
= sin[(A+B)2]*cos[(A-B)2]+cos[(A+B)2]*sin[(A-B)2]+si n[(A+B)2]*cos[(A-B)2]-cos[(A+B)2]*sin[(A-B)2]
=2sin[(A+B)2]*cos[(A-B)2]

其它的同理可得
回答：2008-09-21 15:32
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8




SBB55
[学长]
sin(a+b)=sinacosb+cosasinb
sin(a-b)=sinacosb-cosasinb两式求和得
sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb此式从右往左即为积化和差
令a+b=x.a-b=y,则a=(x+y)2,b=(x-y)2得
sinx+siny=12*[sin(x+y)2cos(x-y)2]这就是和差化积
仿此可得其余6个公式
三角函数相关公式大全
关键词：
三角公式

三角函数

最近复习微积分,几个三角函数的转换弄得我晕头转向,本来高中的时候就没记熟,现在又得记一遍了= .=
好郁闷,进度太慢了...

9

1 三角函数的定义
1.1 三角形中的定义
图1 在直角三角形中定义三角函数的示意图
在直角三角形ABC，如下定义六个三角函数：
?
正弦函数




10

?
余弦函数
?
正切函数



11

?
余切函数
?
正割函数



12

?
余割函数
1.2 直角坐标系中的定义



图2 在直角坐标系中定义三角函数示意图
在直角坐标系中，如下定义六个三角函数：



13

?
正弦函数
?
余弦函数



14

?
正切函数
?
余切函数



15

?
正割函数
?
余割函数
2 转化关系
2.1 倒数关系



16





17

2.2 平方关系



18

2 和角公式




19





20

3 倍角公式、半角公式
3.1 倍角公式



21





22

3.2 半角公式



23

3.3 万能公式

24



4 积化和差、和差化积
4.1 积化和差公式

25







26

4.2 和差化积公式

27







28












三角函数公式大全
三角函数
1. ①与
?
（0°≤
?
＜360°）终边相同 的角的集合（角
?
与角
?
的终边重合）：
?
?
|< br>?
?k?360
?
?
?
,k?Z

?
▲
y
2
sinx
1
cosx
cosx
②终边在x 轴上的角的集合：
?
|
?
?k?180
?
,k?Z

③终 边在y轴上的角的集合：
?
|
?
?k?180?90,k?Z

④终边在坐标轴上的角的集合：
?
|
?
?k?90,k?Z

⑤终边在y=x轴上的角的集合：
?
|
?
?k?180
?< br>?45
?
,k?Z

⑥终边在
y??x
轴上的角的 集合：
?
|
?
?k?180
?
?45
?
, k?Z


??
3
sinx
4
?
???
cosx
cosx
1
sinx
2
sinx
3
x
?
?
?
4
??
SINCOS
三角函数值 大小关系图
1、2、3、4表示第一、二、三、
四象限一半所在区域
??
29

⑦若角
?
与角
?
的终边关于x轴对称，则角
?< br>与角
?
的关系：
?
?360
?
k?
?

⑧若角
?
与角
?
的终边关于y轴对称，则角
?
与角
?
的关系：
?
?360
?
k?180
?
?
?

⑨若角
?
与角
?
的终边在一条直线上，则 角
?
与角
?
的关系：
?
?180
?
k?< br>?

⑩角
?
与角
?
的终边互相垂直，则角
?
与角
?
的关系：
?
?360
?
k?
??90
?

2. 角度与弧度的互换关系：360°=2
?
180°=
?
1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.
、弧度与角度互换公式： 1rad＝
180
°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝
?
≈0.01745（rad）
?
180
3、弧长公式：
l?|
?
|?r
. 扇形面积公式：
s
扇形
?lr?|
?
|?r
2
< br>y
a
的终边
P（x,y)
r
1
2
1
2
4、三角函数：设
?
是一个任意角，在
?
的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r，则
sin
?
?
y
；
r
y
x
cos
?
?
；
tan
?
?
x
r
；
cot
?
?
x
；
sec
?
?
r
；.
csc
?
?
r
.
y
x
y
ox
5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）
+
+
o
x
-
-
正弦、余割
y
-+
o
-+
x
余弦、正割
y
-
+
o
x
+-
正切、余切
O
y
y
P
T
M
A
x

6、三角函数线
正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.

7. 三角函数的定义域：
三角函数
f(x)?
sinx
f(x)?
cosx
f(x)?
tanx
f(x)?
cotx
f(x)?
secx
f(x)?
cscx
定义域
?
x|x?R
?

?
x|x?R
?
1
??
?
x|x?R且x?k
?
?
?
,k?Z
?

2
??
?
x|x?R且x?k
?
,k ?Z
?

1
??
?
x|x?R且x?k
?
?
?
,k?Z
?

2
??
?
x|x?R且 x?k
?
,k?Z
?

cos
?
cos
?
?cot
?
sin
?
8、同角三角函数的基本关系式：
si n
?
?tan
?

16. 几个重要结论
:
(1)
y
tan
?
?cot
?
?1

csc??sin??1

sec??cos??1

sin
2
?
?cos
2
?
?1

sec
2
?
?tan
2
?
?1

csc
2
?
?cot
2
?
?1

(2)
y
|sinx|>|cosx|
sinx>cosx
O
x|cosx|>|sinx|
O
|cosx|>|sinx|
x

cosx>sinx
?
(3) 若 o2
30
|sinx|>|cosx|

9、诱导公式：
把
k
?
2
?
?
的三角函 数化为
?
的三角函数，概括为：

“奇变偶不变，符号看象限”



三角函数的公式：（一）基本关系


公式组一


sin
x
·
csc
x
=1tan
x=
sinx
sin
2
x
+cos
2
x

cosx
=1

cos
x
·
sec
x=1
x
=
cosx
sinx
1+tan
2
x< br>=sec
2
x

tan
x
·
cot
x
=1 1+cot
2
x
=csc
2
x

公式组二
sin(2k
?
?x)?sinx
cos(2k
?
?x)? cosx
tan(2k
?
?x)?tanx

cot(2k
?
?x)?cotx

公式组三
sin(? x)??sinx
cos(?x)?cosx
tan(?x)??tanx

cot(?x)??cotx


公式组四
sin(
?
?x)??sinx
cos(
?
?x)??co sx
tan(
?
?x)?tanx

cot(
?
?x)?cotx
公式组五
sin(2
??x)??sinx
cos(2
?
?x)?cosx
tan(2
?
?x)??tanx

cot(2
?
?x)??cotx
公式组六

31




sin(
?
? x)?sinx
cos(
?
?x)??cosx
tan(
?
?x)??tanx
cot(
?
?x)??cotx




（二）角与角之间的互换
公式组一 公式组二
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos< br>?
?sin
?
sin
?

sin2
?
?2sin
?
cos
?

co s(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?si n
?
sin
?

cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1? 1?2sin
2
?

sin(
?
?
?
)? sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

tan2
?
?
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

sin
2tan
?
1?tan
2
?

?
2
??
1?cos
?

2
tan(?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
?< br>1?cos
?

cos??

1 ?tan
?
tan
?
22
tan
?
?tan
?

tan

?
??
1?cos< br>?
?
sin
?
?
1?cos
?
1?tan< br>?
tan
?
21?cos
?
1?cos
?
s in
?
tan(
?
?
?
)?
公式组三 公式组四 公式组五
1
1
?
sin
?
cos
?
?
?
si n
?
?
?
?
?
?sin
?
?
?< br>?
?
?
cos(
?
?
?
)?sin
?
2tan
2
2
2
sin
?
?

1
2
?
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
?
?
?
?
?
cos
?
sin
?
?
1
1?tan
sin(
?
?
?
)?cos
?
2
2
2
1
cos
?
cos
?
?
?
cos
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?
?
?
?
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?
?
?
?
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1< br>2
2
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tan(
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)?cot
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1?tan
2
1
2

cos
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sin
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sin
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cos
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?
?
?
?
?cos
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?
?
?
?
?
?
2
1
1?tan
2
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?
??
?
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cos(
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)??sin
?2
sin
?
?sin
?
?2sincos
2
2 2
?
?
??
?
?
1
?
sin
?< br>?sin
?
?2cossin
tan(
?
?
?
)??cot
?
2tan
22
2
2

tan
?
?
?
?
??
?
?
cos
?
?cos
?
?2coscos
?
1
22
1?ta n
2
sin(
?
?
?
)?cos
?
2?
?
??
?
?
2
cos
?
?cos< br>?
??2sinsin
22
6?2
, ,
tan15
?
?cot75
?
?2?3
,.
tan75
?
?cot15
?
?2?3

sin1 5
?
?cos75
?
?
4
sin75
?
? cos15
?
?
6?2

4


10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：

定义域

y?sinx< br>y?cosx
y?tanx
y?cotx
y?Asin
?
?< br>x?
?
?

（A、
?
＞0）
R
32
R R
1
??
?
x|x?R且x?k
?< br>?
?
,k?Z
?
2
??
?
x|x?R且x? k
?
,k?Z
?

值域
周期性
奇偶性






单调性
[?1,?1]

[?1,?1]

R
?

R
?

?
?A,A
?

2
?

2
?

奇函数
2
?

偶函数
[
?
2k?1
?
?
,
2k
?
]
奇函数
?
?
?
?
?k
?
,?k
?
?
2
?
2
?奇函数
?
当
?
?0,
非奇非偶
当
?
?0,
奇函数
?
?
2k
?
?
?
?
?
2k
?
?
?
?
?
2
(A),
?
?
?
?
1
?
?
?
?
?
2
(?A)
?
?
?
??
?< br>
[?
?
2
?2k
?
,
；
?
?
?
k
?
,
?
k?1
?
?
?< br>上为减函
数（
k?Z
）
?
?
2
?2k?
]
上为增函
数；
[
上为增函
数
[2k
?
,

?
2k?1
?
?
]
上为减函
数
（
k?Z
）

上为增函数
（
k?Z
）
?
2
3
?
?2k
?
]
2
?2k< br>?
,
上为增函数；
?
?
?
2k
?
??
?
上为减函
数（
k?Z
）
?
?
2< br>(A),
??
?
??
??
3
?
2k
?
?
2
?
?
?
?
(?A)
??
?
??
上为减函数
（
k?Z
）

注意：①
y??sinx
与
y?sinx
的单调性正好相反；
y??cosx
与
y?cosx
的单调性也同样相
反.一般地，若
y?f(x)
在< br>[a,b]
上递增（减），则
y??f(x)
在
[a,b]
上 递减（增）.
▲
②
y?sinx
与
y?cosx
的周期是
?
.
③
y?sin(
?
x?
?
)
或
y?cos(
?
x?
?
)
（
?
?0< br>）的周期
T?
y?tan
y
2
?
?
. O
x
x
的周期为2
?
（
?
T??T?2
?
，如图，翻折无效）.
2
?
④
y?sin(
?x?
?
)
的对称轴方程是
x?k
?
?
?
2
（
k?Z
），对称中心（
k
?
,0
）；
y?cos(
?
x?
?
)
的
对称轴方程是
x?k
?
（
k?Z
），对称中心（
k
?
?
1?
,0
）；
y?tan(
?
x?
?
)
的对称中心（
2
k
?
.
,0
）
2
y?c os2x?
原点对称
????y??cos(?2x)??cos2x

⑤当
tan
?
·
tan
?
?1,
?
?
?
?k
?
?
?
2
(k?Z)
；
tan?
·
tan
?
??1,
?
?
?
?k< br>?
?
?
2
(k?Z)
.
?
?
⑥< br>y?cosx
与
y?sin
?
?
x??2k
?
?
是同一函数,而
y?(
?
x?
?
)
是偶函数， 则
2
??
1
y?(
?
x?
?
)?sin (
?
x?k
?
?
?
)??cos(
?
x)
.
2
⑦函数
y?tanx
在
R
上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，
y?tanx
为增函数，同样也是错误的].
⑧定义域关于原点对 称是
f(x)
具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定

33

义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：
f (?x)?f(x)
，奇函数：
f(?x)??f(x)
）
奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：
y?tanx
是奇函数，
y?tan( x?
1
?
)
是非奇非偶.（定
3
义域不关于原点对称） < br>奇函数特有性质：若
0?x
的定义域，则
f(x)
一定有
f( 0)?0
.（
0?x
的定义域，则无此性
质）
▲
⑨
y?sinx
不是周期函数；
y?sinx
为周期函数（
T?
?< br>）；
；
y?cosx
为周期函数（
T?
?
）； < br>y?cosx
是周期函数（如图）
y
▲
y
x
12x
y=cos|x|图象
1
，并非所有周期函数都有最小正周期，例如： y?cos2x?
的周期为
?
（如图）
2
y=|cos2x+1 2|图象
y?f(x)?5?f(x?k),k?R
.
⑩
y?acos?
?bsin
?
?a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)?cos
?
?

三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．
函数y＝Asin（ωx＋φ）的 振幅|A|，周期
T?
2
?
，频率
f?
1
?
|
?
|
，相位
?
x?
?
;
初相
?
|
?
|
b
有
a
2
?b
2
?y
.
a
T2
?
（即当x＝0时的相位）．（当A＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），
由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A |＞1）或缩短（当0＜|A|
＜1）到原来的|A|倍，得到y＝Asinx的图象，叫做振幅变换或 叫沿y轴的伸缩变换．（用yA
替换y）
由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横 坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）
到原来的
|
1
|
倍，得到y＝sinω x的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换．(用ωx
?
替换x)
由y＝si nx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，
得到y＝sin（ x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移．(用x＋φ替换x)
由y＝sinx的图象 上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0）平行移动｜b｜个单位，
得到y＝sinx＋b的图象 叫做沿y轴方向的平移．（用y+(-b)替换y）
由y＝sinx的图象利用图象变换作函数y＝A sin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的
图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后 顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区
别。




高中数学三角函数常见习题类型及解法
1.三角函数恒等变形的基本策略。
（1） 常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos
2
θ+sin
2
θ

34

=tanx·cotx=tan45°等。
（2）项的分拆与角的 配凑。如分拆项：
?
?
?
sin
2
x+2cos
2
x=(sin
2
x+cos
2
x)+cos
2
x= 1+cos
2
x；配凑角：α=（α+β）－β，β=
2
?
?
?
－等。
2
（3）降次与升次。（4）化弦（切）法。
（4）引入辅助 角。asinθ+bcosθ=
a
2
?b
2
sin(θ+
?
)，这里辅助角
?
所
b
在象限由a、b的符号确定，
?角的值由tan
?
=确定。
a
2.证明三角等式的思路和方法。
（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化
为同一形式。
（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
3.证明三角不 等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的
单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用 单位圆三角函数线及判别法等。
4.解答三角高考题的策略。
（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。
（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。
（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。
四、例题分析
cos
?
?sin
?
例1．已知
tan
?
?2
，求（1 ）；（2）
sin
2
?
?sin
?
.cos
??2cos
2
?
cos
?
?sin
?
的值.
sin
?
1?
cos
?
?sin
?
cos
?
?
1?tan
?
?
1?2
??3?22
；
?
解：（1）
sin
?
1?tan
?
1?2< br>cos
?
?sin
?
1?
cos
?
sin< br>2
??sin?cos??2cos
2
?
22
(2)
sin??sin?cos??2cos??

22
sin??c os?
2
sin?sin?
??2
2
2?2?24?2
??

?
cos?
2
cos?
.
s in?
2?13
?1
cos
2
?
说明：利用齐次式的结构特 点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行
弦、切互化，就会使解题过程简化。
例2．求 函数
y?1?sinx?cosx?(sinx?cosx)
2
的值域。
π
解：设
t?sinx?cosx?2sin(x?)?[?2，2]
，则原函数可化为
4
13
y?t
2
?t?1?(t?)
2
?
，因为
t?[?2，2]
，所以
24

35

13
当
t?2
时，
y
max
?3?2
，当
t??
时，
y
min
?
，
24
3
所以，函数的值域为
y?[，3?2]
。
4
例3．已知函数
f(x)?4sin
2
x?2sin2x?2，x?R
。
（1）求
f(x)
的最小正周期、
f(x)
的最大值及此时x的集合 ；
（2）证明：函数
f(x)
的图像关于直线
x??
π
对称。
8
解：
f(x)?4sin
2
x?2sin2x?2?2sinx? 2(1?2sin
2
x)

π

?2sin2x?2cos2x?22sin(2x?)

4
(1)所以f(x)
的最小正周期
T?π
，因为
x?R
，
ππ< br>3
π
?2kπ?
，即
x?kπ?
时，
f(x)
最大值为
22
；
428
π
(2)证明：欲证明函数
f( x)
的图像关于直线
x??
对称，只要证明对任意
x?R
，
8
ππ
有
f(??x)?f(??x)
成立，
88
πππ π
因为
f(??x)?22sin[2(??x)?]?22sin(??2x)??22co s2x
，
8842
ππππ
f(??x)?22sin[2(??x)?] ?22sin(??2x)??22cos2x
，
8842
πππ
所以f(??x)?f(??x)
成立，从而函数
f(x)
的图像关于直线
x ??
对称。
8
88
3
1
例4． 已知函数y=cos
2
x+sinx·cosx+1 （x∈R）,
2
2
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得
到？
33
111
解：（1）y=cos
2
x+sinx·cosx+1= (2cos
2
x－1)+ +（2sinx·cosx）
2
244
4
+1
3
151< br>??
5
=cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+
4
4424
66
1
?
5
=sin(2x+)+
24
6
???
所以y取最大值时，只需2x+=+2kπ,（k∈Z），即 x=+kπ,（k∈Z）。
626
?
所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z}
6
所以，当
2x?

36

（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：
?
?
（i）把函数y=si nx的图像向左平移，得到函数y=sin(x+)的图像；
66
1
（ii）把得到 的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到
2
?
函数y=sin(2x +)的图像；
6
1
（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不 变），得到
2
1
?
函数y=sin(2x+)的图像；
2
6
51
?
5
（iv）把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=si n(2x+)+
424
6
的图像。
3
1
综上得到y=cos
2
x+sinxcosx+1的图像。 < br>2
2
说明：本题是2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数
的图像和性质。这类题一般有两种解法：一是化成关于sinx,cosx的齐次式，降
幂后最终化成 y=
a
2
?b
2
sin (ωx+
?
)+k的形式 ，二是化成某一个三角函数的
二次三项式。本题（1）还可以解法如下：当cosx=0时，y=1；当 cosx≠0时，
1313
cos
2
x?sinxcosx?tanx
2222
y=+1=+1
222
sinx?cosx1?tanx
2化简得：2(y－1)tanx－
3
tanx+2y－3=0
37
∵tanx∈R，∴△=3－8(y－1)(2y－3) ≥0,解之得：≤y≤
44
7
?
∴y
max
=，此时对应自变量x的值集为{x|x=k π+,k∈Z}
4
6
xxx
例5．已知函数
f(x)?sinco s?3cos
2
.

333
（Ⅰ）将
f(x)
写成
Asin(
?
x?
?
)
的形式，并求其图象对称中心 的横坐标；
（Ⅱ）如果△ABC的三边a、b、c满足b
2
=ac，且边b所 对的角为x，试求x
的范围及此时函数
f(x)
的值域.
解：
f( x)?
1
sin
2x
?
3
(1?cos
2x
)?
1
sin
2x
?
3
cos
2x
?< br>3
?sin(
2x
?
?
)?
3

232323232332
2x
?
2x
?
3k?1
?)=0即
??k
?
(k?z)得x?
?
33332
3k? 1
即对称中心的横坐标为
?
，k?z

2
2
（Ⅱ）由已知b=
a
c
（Ⅰ）由
sin(k?z


37

a
2
?c
2
?b
2
a
2
?c
2
?a c2ac?ac1
cosx????，
2ac2ac2ac2
1
??
2x
?
5
?
??cosx?1，0?x?，???
233339??
5
???
2x
?
?|?|?|?|，?sin?sin(? )?1，
3292333
3
]
. 即
f(x)
的值域为
(3,1?
2
?3?sin(
2x
?
3
?)?1? ，
332
3
?
]
. 综上所述，
x?(0,]
，
f(x)
值域为
(3,1?
2
3
说 明：本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数
形结合的思想来解决函数值 域的问题，有利于培养学生的运算能力，对知识进行
整合的能力。
cosC3a?c
例6．在
VABC
中，a
、
b
、
c分别是角A
、< br>B
、
C的对边，且，
?
cosBb
(1)求
sinB
的值；
(2)若
b?42
，且a=c，求
VABC
的面积。
解：(1)由正弦定理及
cosC3a?ccosC3sinA?sinC
，有， < br>??
cosBbcosBsinB
即
sinBcosC?3sinAcosB? sinCcosB
，所以
sin(B?C)?3sinAcosB
，
又因为
A?B?C?π
，
sin(B?C)?sinA
，所以
sinA?3 sinAcosB
，因为
sinA?0
，
22
1
所以
cosB?
，又
0?B?π
，所以
sinB?1?cos
2
B?
。
3
3
2
(2)在
VABC
中，由余弦定 理可得
a
2
?c
2
?ac?32
，又
a?c
，
3
4
所以有
a
2
?32，即a
2
? 24
，所以
VABC
的面积为
3
11
S?acsinB?a
2
sinB?82
。
22












38

三角函数
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在 （ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
kππkπ
2．集合M＝{x|x＝ ± ，k∈Z}与N＝{x|x＝ ，k∈Z}之间的关系是 （ ）
244
C.M＝N D.M∩N＝
?

3．若将分针拨慢十分钟，则分针所转过的角度是 （ ）
A.60° B.－60° C.30° D.－30°
4．已知下列各角（1）787°，(2)－957°，(3)－289°，(4) 1711°，其中在第一象限的
角是
( )
A.（1）（2） B.（2）（3） C.（1）（3） D.（2）（4）
5．设a＜0，角α的终边经过点P（－3a，4a），那么sinα＋2cosα的值等于 （ ）
2
A.
5

21
B.－ C.
55

1
D.－
5
13
6．若cos(π＋α)＝－ ， π＜α＜2π，则sin(2π－α)等于 （ ）
22
A.－
3

2
B.
31
C.
22
D.±
3

2
7．若α是第四象限角，则π－α是 （ ）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
8．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ）
A.2 B.
2
C.2sin1
sin1
2
1
9．如果sinx＋cosx＝ ，且0＜x＜π，那么cotx的值是 （ ）
5
4
A.－
3

433
B.－ 或－ C.－
344

43
D. 或－
34
10．若实数x满足log
2
x＝2＋sin θ，则|x＋1|＋|x－10|的值等于 （ ）
A.2x－9 B.9－2x C.11 D.9
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
11．tan300°＋cot765°的值是_____________.
sinα＋cosα
12．若 ＝2，则sinαcosα的值是_____________.
sinα－cosα13．不等式（lg20)
2cos
x
＞1，(x∈(0，π))的解集为___ __________.
1
14．若θ满足cosθ＞－ ，则角θ的取值集合是_____________.
2
15．若cos130°＝a，则tan50°＝_____________. －
16．已知f(x)＝


39
1－x
π
，若α∈( ，π)，则f(cosα)＋f(－cosα)可化简为___________.
2
1＋x

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17 ．（本小题满分12分）设一扇形的周长为C(C＞0)，当扇形中心角为多大时，它有最大面
积？最大 面积是多少？




18．(本小题满分14分）设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P（x，5 )，且cosα＝
2
x，求sinα与tanα的值.
4



m－34－2m
π
19．(本小题满分14分)已知 ≤θ≤π，sinθ＝ ，cosθ＝ ，求m的值.
2
m＋5m＋5





20．(本小题满分15分)已知0°＜α＜45°，且lg(tan α)－lg(sinα)＝lg(cosα)－lg(cotα)＋2lg3
3
－ lg2，求cos
3
α－sin
3
α的值.
2




7
21．(本小题满分15分)已知sin(5π－α)＝2 cos( π＋β)和3 cos(－α)＝－2 cos(π＋β)，
2
且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值.















40

三角函数
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是 （ ）
A.y＝sin2x
C.y＝sin2x＋cos2x








x
B.y＝cos
2
1－tan
2
x
D.y＝
1＋tan
2
x
2．设函数y＝cos(sinx)，则 （ ）
A.它的定义域是［－1，1］ B.它是偶函数
C.它的值域是［－cos1，cos1］ D.它不是周期函数
3．把函数y＝cosx的图象上的所有点的横坐标缩小到 原来的一半，纵坐标扩大到原来的两
π
倍，然后把图象向左平移 个单位.则所得图象表示的函数的解析式为
4
（ ）
A.y＝2sin2x









B.y＝－2sin2x
x
π
D.y＝2cos( ＋ )
24
π
C.y＝2cos(2x＋ )
4
π
4．函数y＝2sin(3x－ )图象的两条相邻对称轴之间的距离是 （ ）
4
π
A.
3
B.
2π
C.π
3
D.
4π

3
5．若sinα＋cosα＝m，且－2 ≤m＜－1，则α角所在象限是 （ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3π
6．函数y＝|cotx|·sinx（0＜x≤ 且x≠π）的图象是 （ ）
2
cos
2
x
7．设y＝ ，则下列结论中正确的是 （ ）
1＋sinx
A.y有最大值也有最小值 B.y有最大值但无最小值
C.y有最小值但无最大值 D.y既无最大值又无最小值
π
8．函数y＝sin（ －2x)的单调增区间是 （ ）
4
3π
ππ
5π
A.［kπ－ ，kπ＋ ］(k∈Z) B.［kπ＋ ，kπ＋ ］(k∈Z)
8888
π
3π3π7π
C.［kπ－ ，kπ＋ ］(k∈Z) D.［kπ＋ ，kπ＋ ］(k∈Z)
8888

41

1
9．已知0≤x≤π，且－ ＜a＜0，那么函数f(x)＝cos
2
x－2asinx－1的最小值是 （ ）
2
A.2a＋1 B.2a－1 C.－2a－1 D.2a
π
10．求使函数y＝sin(2x＋θ)＋3 cos(2x＋θ)为奇函数，且在［0， ］上是增函数的θ的一
4
个
（ ）
A.
5π

3
B.
值
4π2π
C.
33
为
π
D.
3
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
cosx
11．函数y＝ 的值域是_____________.
1＋2cosx
cosx
12．函数y＝ 的定义域是_____________.
lg（1＋tanx）
13．如果x，y∈［0， π］，且满足|sinx|＝2cosy－2，则x＝___________，y＝___________.
14．已知函数y＝2cosx，x∈［0，2π］和y＝2，则它们的图象所围成的一个封闭的平面图
形的面积是_____________
15．函数y＝sinx＋cosx＋sin2x的值域是_____________.
π
16．关于函数f(x)＝4sin(2x＋ )(x∈R)有下列命题：
3①由f(x
1
)＝f(x
2
)＝0可得x
1
－x
2
必是π的整数倍；
π
②y＝f(x)的表达式可改为y＝4cos(2x－ )；
6
π
③y＝f(x)的图象关于点（－ ，0)对称；
6
π
④y＝f(x)的图象关于直线x＝－ 对称.
6
其中正确的命题的序号是_____________.
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17 ．（本小题满分12分）如图为函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的一部分，试求该函数的一个解析式.








18．（本小题满分14分）已知函数y＝(sinx＋cosx)
2
＋2 cos
2
x.(x∈R)
(1)当y取得最大值时，求自变量x的取值集合.
(2)该函数图象可由y＝sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？



42

19．（本小题满分14分）已知函数f(x)＝log
1
(sinx－cosx)
2
（1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调减区间；
（3）判断它的奇偶性；（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的一个周期.





20．（本小题满分15分）某村欲修建一横断面为等腰梯 形的水渠（如图），为降低成本，必
须尽量减少水与水渠壁的接触面.若水渠横断面面积设计为定值 m，渠深3米，则水渠侧
壁的倾斜角α应为多少时，方能使修建的成本最低？









21． (本小题满分1 5分）已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函数，其
3π
π
图象关于点M（ ，0)对称，且在区间［0， ］上是单调函数，求φ和ω的值.
42




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