乘以的公式三角函数公式的推导

诱导公式

目录·诱导公式
·诱导公式记忆口诀
·同角三角函数基本关系
·同角三角函数关系六角形记忆法
·两角和差公式
·倍角公式
·半角公式
·万能公式
·万能公式推导
·三倍角公式
·三倍角公式推导
·三倍角公式联想记忆
·和差化积公式
·积化和差公式
·和差化积公式推导

诱导公式

★诱导公式★
常用的诱导公式有以下几组：

公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα

公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα

公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα

公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα

公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα

公式六：
π2±α及3π2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π2＋α）＝cosα
cos（π2＋α）＝－sinα
tan（π2＋α）＝－cotα
cot（π2＋α）＝－tanα

sin（π2－α）＝cosα
cos（π2－α）＝sinα
tan（π2－α）＝cotα
cot（π2－α）＝tanα

sin（3π2＋α）＝－cosα
cos（3π2＋α）＝sinα
tan（3π2＋α）＝－cotα
cot（3π2＋α）＝－tanα

sin（3π2－α）＝－cosα
cos（3π2－α）＝－sinα
tan（3π2－α）＝cotα
cot（3π2－α）＝tanα

(以上k∈z)
诱导公式记忆口诀

※规律总结※
上面这些诱导公式可以概括为：
对于k·π2±α(k∈z)的个三角函数值，
①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；
②当k是奇数时，得到α相应的余 函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.
（奇变偶不变）
然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
（符号看象限）

例如：
sin(2π－α)＝sin(4·π2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。
当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符号为“－”。
所以sin(2π－α)＝－sinα

上述的记忆口诀是：
奇变偶不变，符号看象限。
公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α（k∈z ），-α、180°±α，360°-α所在象
限的原三角函数值的符号可记忆
水平诱导名不变；符号看象限。
各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦”．
这十二字口诀的意思就是说：
第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；
第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；
第三象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”；
第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”．



其他三角函数知识：
同角三角函数基本关系

⒈同角三角函数的基本关系式
倒数关系:
tanα ·cotα＝1
sinα ·cscα＝1
cosα ·secα＝1
商的关系：
sinαcosα＝tanα＝secαcscα
cosαsinα＝cotα＝cscαsecα
平方关系：
sin^2(α)＋cos^2(α)＝1
1＋tan^2(α)＝sec^2(α)
1＋cot^2(α)＝csc^2(α)
同角三角函数关系六角形记忆法

六角形记忆法：（参看图片或参考资料链接）
构造以上弦、中切、下割；左正、右余、中间1的正六边形为模型。
（1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；
（2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数 值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是
两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可得 商数关系式。
（3）平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于 下面顶点上
的三角函数值的平方。
两角和差公式

⒉两角和与差的三角函数公式
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosα
si n（α－β）＝sinαcosβ－cosα
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinα
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinα


tan（α＋β）＝——————



tan（α－β）＝——————

sinβ
sinβ
sinβ
sinβ




tanα＋tanβ
1－tanα ·tanβ
tanα－tanβ
1＋tanα ·tanβ
倍角公式

⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）
sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2c os^2(α)－1＝1－2sin^2(α)

2tanα
tan2α＝—————
1－tan^2(α)
半角公式

⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）

1－cosα
sin^2(α2)＝—————
2

1＋cosα
cos^2(α2)＝—————
2

1－cosα
tan^2(α2)＝—————
1＋cosα
万能公式

⒌万能公式
2tan(α2)
sinα＝——————
1＋tan^2(α2)

1－tan^2(α2)
cosα＝——————
1＋tan^2(α2)

2tan(α2)
tanα＝——————
1－tan^2(α2)
万能公式推导

附推导：
sin2α=2si nαcosα=2sinαcosα(cos^2(α)+sin^2(α))......*，
（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）
再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α＝tan2α(1＋tan^2(α))
然后用α2代替α即可。
同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。
三倍角公式

⒍三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin3α＝3sinα－4sin^3(α)
cos3α＝4cos^3(α)－3cosα

3tanα－tan^3(α)
tan3α＝——————
1－3tan^2(α)
三倍角公式推导

附推导：
tan3α＝sin3αcos3α
＝(sin2αcosα＋cos2αsinα)(cos2αcosα-sin2αsinα) ＝(2sinαcos^2(α)＋cos^2(α)sinα－sin^3(α))(cos^3(α)－ cosαsin^2(α)－
2sin^2(α)cosα)
上下同除以cos^3(α)，得：
tan3α＝(3tanα－tan^3(α))(1-3tan^2(α))

sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα
＝2sinαcos^2(α)＋(1－2sin^2(α))sinα
＝2sinα－2sin^3(α)＋sinα－2sin^2(α)
＝3sinα－4sin^3(α)

cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα
＝(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α)
＝2cos^3(α)－cosα＋(2cosα－2cos^3(α))
＝4cos^3(α)－3cosα
即
sin3α＝3sinα－4sin^3(α)
cos3α＝4cos^3(α)－3cosα
三倍角公式联想记忆

记忆方法：谐音、联想
正弦三倍角：3元 减 4元3角（欠债了(被减成负数)，所以要“挣钱”(音似“正弦”)）
余弦三倍角：4元3角 减 3元（减完之后还有“余”）
☆☆注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。
和差化积公式

⒎三角函数的和差化积公式

α＋β α－β
sinα＋sinβ＝2sin—----·cos—---
2 2

α＋β α－β
sinα－sinβ＝2cos—----·sin—----
2 2

α＋β α－β
cosα＋cosβ＝2cos—-----·cos—-----
2 2

α＋β α－β
cosα－cosβ＝－2sin—-----·sin—-----
2
积化和差公式

⒏三角函数的积化和差公式
2



sinα
cosα
cosα
sinα
·cosβ
·sinβ
·cosβ
·sinβ
＝0.5[sin（α＋β）＋sin（α－β）]
＝0.5[sin（α＋β）－sin（α－β）]
＝0.5[cos（α＋β）＋cos（α－β）]
＝－ 0.5[cos（α＋β）－cos（α－β）]
和差化积公式推导

附推导：
首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=s ina*cosb-cosa*sinb
我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb
所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))2
同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))2
同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb- sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb
所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb
所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))2
同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))2
这样,我们就得到了积化和差的四个公式:
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))2
好,有了积化和差的四 个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.我们把上述
四个公式中的a+b设为 x,a-b设为y,那么a=(x+y)2,b=(x-y)2
把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:
sinx+siny=2sin((x+y)2)*cos((x-y)2)
sinx- siny=2cos((x+y)2)*sin((x-y)2)
cosx+cosy=2cos((x+y)2)*cos((x-y)2)
cosx- cosy=-2sin((x+y)2)*sin((x-y)2)
利用变角思想.

A=(A+B)2+(A-B)2 B=(A+B)2-(A-B)2

sinA +sinB=sin[(A+B)2+(A-B)2]+sin[(A+B)2-(A-B)2]
= sin[(A+B)2]*cos[(A-B)2]+cos[(A+B)2]*sin[(A-B)2]+si n[(A+B)2]*cos[(A-B)2]-cos[(A+B)2]*sin[(A-B)2]
=2sin[(A+B)2]*cos[(A-B)2]

其它的同理可得
回答：2008-09-21 15:32
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SBB55
[学长]
sin(a+b)=sinacosb+cosasinb
sin(a-b)=sinacosb-cosasinb两式求和得
sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb此式从右往左即为积化和差
令a+b=x.a-b=y,则a=(x+y)2,b=(x-y)2得
sinx+siny=12*[sin(x+y)2cos(x-y)2]这就是和差化积
仿此可得其余6个公式
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关键词：
三角公式

三角函数

最近复习微积分,几个三角函数的转换弄得我晕头转向,本来高中的时候就没记熟,现在又得记一遍了= .=
好郁闷,进度太慢了...
1 三角函数的定义
1.1 三角形中的定义

图1 在直角三角形中定义三角函数的示意图
在直角三角形ABC，如下定义六个三角函数：
?
正弦函数

?
余弦函数

?
正切函数

?
余切函数

?
正割函数

?
余割函数

1.2 直角坐标系中的定义




图2 在直角坐标系中定义三角函数示意图
在直角坐标系中，如下定义六个三角函数：
?
正弦函数

?
余弦函数

?
正切函数

?
余切函数

?
正割函数

?
余割函数

2 转化关系
2.1 倒数关系



2.2 平方关系



2 和角公式




3 倍角公式、半角公式
3.1 倍角公式





3.2 半角公式



3.3 万能公式



4 积化和差、和差化积
4.1 积化和差公式




4.2 和差化积公式