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如何计算利息公式三角函数大全

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-12 23:11
tags:倍角公式

老罗零基础英语培训-周记格式


三角函数大全










































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2

三角函数大全
三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函 数。它们的本
质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角
函数是在平面 直角坐标系中定义的。其定义城为整个实数域。另一种
定义是在直角三角形中,但并不完全。现代数学把 它们描述成无穷数
列的极限和微分方程的解,将其定义扩展到复数系。
目录
公式分类
三角关系
一个特殊公式
坡度公式
锐角三角函数
一般公式
二倍角公式
三倍角公式
三倍角公式
半角公式
万能公式
其他
四倍角公式
五倍角公式
六倍角公式

3

七倍角公式
八倍角公式
九倍角公式
十倍角公式
N倍角公式
半角公式
两角和公式
三角和公式
和差化积
积化和差
双曲函数
诱导公式
万能公式
其它公式
内容规律
一些重要的定理
正弦定理
余弦定理
展开
公式分类
三角关系
一个特殊公式

4

坡度公式
锐角三角函数
一般公式
二倍角公式
三倍角公式
三倍角公式
半角公式
万能公式
其他
四倍角公式
五倍角公式
六倍角公式
七倍角公式
八倍角公式
九倍角公式
十倍角公式
N倍角公式
半角公式
两角和公式
三角和公式
和差化积
积化和差

5

双曲函数
诱导公式
万能公式
其它公式
内容规律
一些重要的定理
正弦定理
余弦定理
展开
编辑本段公式分类
三角关系
倒数关系:
tanα ·cotα=1
sinα ·cscα=1
cosα·secα=1
商的关系:
sinαcosα=tanα=secαcscα
平方关系:



6



一个特殊公式
(sina+sinθ)*(sina-sinθ)=sin(a+θ)*sin(a-θ)
证明:(sina+sinθ)*(sina-sinθ)=2 sin[(θ+a)2] cos[(a-θ)2] *2
cos[(θ+a)2] sin[(a-θ)2]
=sin(a+θ)*sin(a-θ)[1]
坡度公式
我们通常把坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度(也叫坡
比), 用字母i表示,
即i=h l,坡度的一般形式写成l : m形式,如i=1:5.如果把坡面与水
平面的夹角记作
a(叫做坡角),那么i=hl=tan a.
锐角三角函数
正弦:sinα=∠α的对边∠α 的斜边
余弦:cosα=∠α的邻边∠α的斜边
正切:tanα=∠α的对边∠α的邻边
余切:cotα=∠α的邻边∠α的对边
一般公式
sin30°=二分之一


7

sin45°=二分之根号二

sin60°=二分之根号三
cos30°=二分之根号三
cos45°=二分之根号二

cos60°=二分之一
tan30°=三分之根号三

tan45°=1

tan60°=根号三[2]
二倍角公式
正弦
sin2A=2sinA·cosA
余弦



8



正切
tan2A=(2tanA)(1-tan^2(A))
三倍角公式

三倍角公式
sin3α=4sinα·sin(π3+α)sin(π3-α)
cos3α=4cosα·cos(π3+α)cos(π3-α)
tan3a = tan a · tan(π3+a)· tan(π3-a)
三倍角公式推导
sin(3a)
=sin(a+2a)
=sin2acosa+cos2asina
=2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina
=3sina-4sin^3a
cos3a
=cos(2a+a)

9

=cos2acosa-sin2asina
=(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^2a)cosa
=4cos^3a-3cosa
sin3a=3sina-4sin^3a
=4sina(34-sin^2a)
=4sina[(√32)-sina][(√32)+sina]
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)
=4sina*2s in[(60+a)2]cos[(60°-a)2]*2sin[(60°-a)2]cos[(60°+a) 2]
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)
cos3a=4cos^3a-3cosa
=4cosa(cos^2a-34)
=4cosa[cos^2a-(√32)^2]
=4cosa(cosa- cos30°)(cosa+cos30°)
=4cosa*2cos[(a+30°)2]cos[ (a-30°)2]*{-2sin[(a+30°)2]sin[(a-30°)
2]}

=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)
上述两式相比可得
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)

10

现列出公式如下:
sin2α=2sinαcosα tan2α=2tanα(1-tan^2(α)) cos2α=cos^2(α)
-sin^2( α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
可别轻视这些字符,它们在数学学习中会起到重要作用,包括在一些
图像问题和函数问题中
三倍角公式
sin3α=3sinα-4sin^3 α=4sinα·sin(π3+α)sin(π3-α)
cos3α=4cos^3 α-3cosα=4cosα·cos(π3+α)cos(π3-α)
tan3α=tan(α)*(-3+tan(α)^2)(-1+3*tan(α)^2)=tan a · tan
(π3+a)· tan(π3-a)
半角公式
sin^2(α2)=(1-cosα)2
cos^2(α2)=(1+cosα)2
tan^2(α2)=(1-cosα)(1+cosα)
tan(α2)=sinα(1+cosα)=(1-cosα)sinα
万能公式
sinα=2tan(α2)[1+tan^2(α2)]
cosα=[1-tan^2(α2)][1+tan^2(α2)]
tanα=2tan(α2)[1-tan^2(α2)]
其他
sinα+sin (α+2πn)+sin(α+2π*2n)+sin
(α+2π*3n)+……+sin[α+2π* (n-1)n]=0

11

cosα+cos(α+2πn)+cos(α+2π*2n)+cos(α+2π*3n)+……+cos[α+2π*(n-1)n]=0 以及
sin^2(α)+sin^2(α-2π3)+sin^2(α+2π3)=32
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
四倍角公式
sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))
cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)
tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)(1-6*tanA^2+tanA^4)
五倍角公式
sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA
cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA
tan5A=tanA *(5-10*tanA^2+tanA^4)(1-10*tanA^2+5*tanA^4)
六倍角公式
sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sin A-1)*(-3+4*sinA^2))
cos6A=((-1+2*cosA)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))
tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5
(-1+15*ta nA-15*tanA^4+tanA^6)
七倍角公式
sin7A=-(sinA*(5 6*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))
cos7A=(cosA* (56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))
tan7A=tanA *(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6
(-1+21*tanA^2-3 5*tanA^4+7*tanA^6)



12

八倍角公式
sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*s inA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))
cos8A=1+(16 0*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)
ta n8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6
(1-28* tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8)
九倍角公式
s in9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*s inA^2-3))
cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2
(64*co sA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))
tan9A=tanA*(9-8 4*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)
(1-36*tan A^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)
十倍角公式
sin10A = 2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*s inA^2-2*sinA-1)
*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4))
cos10A = ((-1+2*cosA^2)*
)*

(256*co sA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1))
tan10A

=
5-60*tanA^2+126*tanA^4-6 0*tanA^6+5*tanA^8
-2*tanA*

(-1+45*tanA^ 2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)
N倍角公式
根据棣美弗定理,(cosθ+ i sinθ)^n = cos(nθ)+ i sin(nθ)
为方便描述,令sinθ=s,cosθ=c

13

考虑n为正整数的情形:
cos(nθ)+ i sin(nθ) = (c+ i s)^n = C(n,0)*c^n + C(n,2)*c^(n-2)*(i
s)^2 + C(n,4)*c^(n- 4)*(i s)^4 + ... …+C(n,1)*c^(n-1)*(i s)^1 +
C(n,3)*c^(n-3)*(i s)^3 + C(n,5)*c^(n-5)*(i s)^5 + ... …=>;比较
两边的实部与虚部
实部:cos(nθ)=C(n,0)*c^n + C(n,2)*c^(n-2)*(i s)^2 + C(n,4)*c^(n-4)
*(i s)^4 + ... …i*
虚部:i*sin(nθ)=C(n,1)*c^(n-1)*(i s)^1 + C(n,3)*c^(n-3)*(i s)^3
+ C(n,5)*c^(n-5)*(i s)^5 + ... …
对所有的自然数n:
⒈cos(nθ):
公式中 出现的s都是偶次方,而s^2=1-c^2(平方关系),因此全部都
可以改成以c(也就是cosθ )表示。
⒉sin(nθ):
⑴当n是奇数时:公式中出现的c都是偶次方,而c^2= 1-s^2(平方
关系),因此全部都可以改成以s(也 就是sinθ)表示。
⑵当n是 偶数时:公式中出现的c都是奇次方,而c^2=1-s^2(平方
关系),因此即使再怎么换成s,都 至少会剩c(也就是 cosθ)的一
次方无法消掉。
例. c^3=c*c^2=c*(1-s^2),c^5=c*(c^2)^2=c*(1-s^2)^2)
半角公式
tan(A2)=(1-cosA)sinA=sinA(1+cosA)

14

sin^2(A2)=[1-cos(A)]2
cos^2(A2)=[1+cos(A)]2

半角公式
两角和公式

两角和公式
cos(α+β)=cosαcosβ- sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)(1-tanαtanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)(1+tanαtanβ)
cot(A+B) = (cotAcotB-1)(cotB+cotA)
cot(A-B) = (cotAcotB+1)(cotB-cotA)
三角和公式
sin(α+β+γ)

15

=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ- sinα·sinβ·sinγ
cos(α+β+γ)
=cosα·cosβ·cosγ- cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ- tanα·tanβ·tanγ)
(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ- tanγ·tanα)
和差化积
sinθ+sinφ =2sin[(θ+φ)2] cos[(θ-φ)2]

和差化积公式
sinθ- sinφ=2cos[(θ+[3]φ)2] sin[(θ-φ)2]
cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)2]cos[(θ-φ)2]
cosθ- cosφ= -2sin[(θ+φ)2]sin[(θ-φ)2]
tanA+tanB=sin(A +B)cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)
tanA- tanB=sin(A-B)cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)
积化和差
sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)] 2
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]2
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]2
cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]2
双曲函数

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sh a = [e^a-e^(-a)]2
ch a = [e^a+e^(-a)]2
th a = sin h(a)cos h(a)
公式一:
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:
sin(2kπ+α)= sinα
cos(2kπ+α)= cosα
tan(2kπ+α)= tanα
cot(2kπ+α)= cotα
公式二:
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:
sin(π+α)= -sinα
cos(π+α)= -cosα
tan(π+α)= tanα
cot(π+α)= cotα
公式三:
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系:
sin(-α)= -sinα
cos(-α)= cosα
tan(-α)= -tanα
cot(-α)= -cotα
公式四:

17

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:
sin(π-α)= sinα
cos(π-α)= -cosα
tan(π-α)= -tanα
cot(π-α)= -cotα
公式五:
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:
sin(2π-α)= -sinα
cos(2π-α)= cosα
tan(2π-α)= -tanα
cot(2π-α)= -cotα
公式六:
π2±α及3π2±α与α的三角函数值之间的关系:
sin(π2+α)= cosα
cos(π2+α)= -sinα
tan(π2+α)= -cotα
cot(π2+α)= -tanα
sin(π2-α)= cosα
cos(π2-α)= sinα
tan(π2-α)= cotα
cot(π2-α)= tanα
sin(3π2+α)= -cosα

18

cos(3π2+α)= sinα
tan(3π2+α)= -cotα
cot(3π2+α)= -tanα
sin(3π2-α)= -cosα
cos(3π2-α)= -sinα
tan(3π2-α)= cotα
cot(3π2-α)= tanα
(以上k∈Z)
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) =
√{(A+2ABcos(θ-φ)} · sin{ωt + arcsin[ (A·sinθ+B·sinφ) √{A^2
+B^2 +2ABcos(θ-φ)}}
√表示根号,包括{……}中的内容
编辑本段诱导公式
三角函数的诱导公式(六公式)
公式一:
sin(-α) = -sinα
cos(-α) = cosα
tan (-α)=-tanα
公式二:
sin(π2-α) = cosα
cos(π2-α) = sinα
公式三:

19

sin(π2+α) = cosα
cos(π2+α) = -sinα
公式四:
sin(π-α) = sinα
cos(π-α) = -cosα
公式五:
sin(π+α) = -sinα
cos(π+α) = -cosα
公式六:
tanA= sinAcosA
tan(π2+α)=-cotα
tan(π2-α)=cotα
tan(π-α)=-tanα
tan(π+α)=tanα
诱导公式 记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限
记背诀窍:奇变偶不变,符号看象限
万能公式

万能公式
sinα=2tan(α2)[1+(tan(α2))^2]

20

cosα=[1-(tan(α2))^2][1+(tan(α2))^2]
tanα=2tan(α2)[1-(tan(α2))^2]
其它公式

三角函数其它公式
⑴(sinα)^2+(cosα)^2=1(平方和公式)
⑵1+(tanα)^2=(secα)^2
⑶1+(cotα)^2=(cscα)^2
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)
^2即可
⑷对于任意非直角三角形,总有
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
证:
A+B=π-C
tan(A+B)=tan(π-C)
(tanA+tanB)(1-tanAtanB)=(tanπ- tanC)(1+tanπtanC)
整理可得
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
得证
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立
由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论

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⑸cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1
⑹cot(A2)+cot(B2)+cot(C2)=cot(A2)cot(B2)cot(C2)
⑺(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC
⑻(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC
其他非重点三角函数
csc(a) = 1sin(a)
sec(a) = 1cos(a)
(seca)^2+(csca)^2=(seca)^2(csca)^2
幂级数展开式
sin x = x-x^33!+x^55!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))(2k-1)!+……
x∈ R
cos x = 1-x^22!+x^44!-……+(-1)k*(x^(2k))(2k)!+…… x∈ R
arcsin x = x + 12*x^33 + 1*3(2*4)*x^55 + ……(|x|<1)
arccos x = π - (x + 12*x^33 + 1*3(2*4)*x^55 + ……) (|x|<1)
arctan x = x - x^33 + x^55 -…… (x≤1)
无限公式
sinx=x(1-x^2π^2)(1-x^24π^2)(1-x^29π^2)……
cosx=(1-4x^2π^2)(1-4x^29π^2)(1-4x^225π^2)…… tanx=8x[1(π^2-4x^2)+1(9π^2-4x^2)+1(25π^2-4x^2)+… …]
secx=4π[1(π^2-4x^2)-1(9π^2-4x^2)+1(25π^2-4x ^2)-+……]
(sinx)x=cosx2cosx4cosx8……
(14)tanπ4+(18)tanπ8+(116)tanπ16+……=1π

22

arctan x = x - x^33 + x^55 -…… (x≤1)
和自变量数列求和有关的公式
sinx+sin2x+sin3x+……+si nnx=[sin(nx2)sin((n+1)x2)]sin(x2)
cosx+cos2x+c os3x+……+cosnx=[cos((n+1)x2)sin(nx2)]sin(x2)
ta n((n+1)x2)
=(sinx+sin2x+sin3x+……+sinnx)(cosx+co s2x+cos3x+……+cosnx)
sinx+sin3x+sin5x+……+sin(2n-1)x=(sinnx)^2sinx
cosx+cos3x+cos5x+……+cos(2n-1)x=sin(2nx)(2sinx)
编辑本段内容规律
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规
律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的
内部规律及本质也是学好三角函数 的关键所在。
三角函数本质:

根据三角函数定义推导公式
根据右图,有
sinθ=y r; cosθ=xr; tanθ=yx; cotθ=xy
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出
来,比如以推导

23

sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例:
推导:
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD
为α, BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。
A(cosα,sinα),B(co sβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β))
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0)
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα- cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)2与
(a-b)2)
单位圆定义
单位圆
六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。 单位
圆定义在实际计算上没有大的价值;实际上对多数角它都依赖于直角
三角形。但是单位圆定 义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都
有定义,而不只是对于在 0 和 π2弧度之间的角。它 也提供了一个
图象,把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理,单位圆的等
式是: 图象中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正
角,而顺时针的度量是负角。设一 个过原点的线,同x轴正半部分得
到一个角θ,并与单位圆相交。这个交点的x和y坐标分别等于 cosθ
和 sinθ。图象中的三角形确保了这个公式;半径等于斜边且长度为1,
所以有 sinθ=y1 和 cosθ=x1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和

24

对边的长度,但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式。
编辑本段一些重要的定理
正弦定理
正弦定理:在△ABC中,a sin A = b sin B = c sin C = 2R
其中,R为△ABC的外接圆的半径。
余弦定理
余弦定理:在△ABC中,b^2 = a^2 + c^2 - 2ac·cos θ。
其中,θ为边a与边c的夹角。


参考资料
1. 解读三角函数公式 .读书 [引用日期2013-03-18] .
2. 三角函数的一般公式 .百度 [引用日期2013-03-3] .
3. 和差化积公式 .百度文库 [引用日期2013-03-30] .

25

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