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加权求和公式n倍角三角函数公式的推导及应用

作者:高考题库网
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2020-09-12 23:13
tags:倍角公式

高三数学二轮复习计划-荀子


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n倍角三角函数公式的推导及应用

作者:许元龙

来源:《试题与研究·教学论坛》2015年第17期

三角函数是数学中一种常见的关于角度的函数,而倍角公式(包括二倍角、三倍角等) 是
三角函数中常用的一组公式,通过角A的三角函数值的一些变换关系来表示其二倍角2A的三
角函数值,二倍角公式包括正弦二倍角公式、余弦二倍角公式以及正切二倍角公式。二倍角公
式均可通过 和角公式推出。在现行的数学教材中,也推导了三倍角的正弦函数和余弦函数公
式,进而可以求得三倍角 的正切函数公式。那么对于任意n倍角三角函数公式该如何推导,它
们有怎样的普遍规律和变形公式呢? 下面将逐步推导并介绍它们的应用。
一、利用和角公式推导
sin2A=sin(A+A)=sinAcosA+cosAsinA=2sinAcosA
cos2A=cos(A+A)=cosAcosA-sinAsinA=cos2A-sin2A
sin3A=sin(2A+A)=sin2AcosA+cos2AsinA=3sinAcos2A-sin 3A=3sinA-4sin3A
cos3A=cos(2A+A)=cos2AcosA- sin2AsinA=cos3A-3sin2AcosA=4cos3A-3cosA
这样的推导过程简单明了,便于记忆,尤其是二倍角公式在解题过程中应用较多,那么对
于任意的n倍角 其三角函数公式都可以由和角公式推导,这里不再赘述。
n倍角三角函数公式在降次化简中具有重要用途,以三倍角公式为例。
三、利用欧拉公式推导
事实上,对于任意n倍角三角函数公式还可以由欧拉公式推导:
cosnA+isinnA=einA=e(iA)n=(cosA+isinA)n
分别由左右两边实部和虚部相等,可以推导出n倍角余弦和正弦三角函数公式。以三倍角
余弦公式为例, cos3A=C(30)cos3A-C(32)sin2AcosA=cos3A-3sin2AcosA=4 cos3A-3cosA
其余的任意n倍角三角函数公式(包括正弦、余弦、正切) 则都可以由二项式定理相应地
写出来,不再赘述。

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