加权求和公式n倍角三角函数公式的推导及应用

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n倍角三角函数公式的推导及应用

作者：许元龙

来源：《试题与研究·教学论坛》2015年第17期

三角函数是数学中一种常见的关于角度的函数，而倍角公式（包括二倍角、三倍角等） 是
三角函数中常用的一组公式，通过角A的三角函数值的一些变换关系来表示其二倍角2A的三
角函数值，二倍角公式包括正弦二倍角公式、余弦二倍角公式以及正切二倍角公式。二倍角公
式均可通过 和角公式推出。在现行的数学教材中，也推导了三倍角的正弦函数和余弦函数公
式，进而可以求得三倍角 的正切函数公式。那么对于任意n倍角三角函数公式该如何推导，它
们有怎样的普遍规律和变形公式呢？ 下面将逐步推导并介绍它们的应用。
一、利用和角公式推导
sin2A=sin（A+A）=sinAcosA+cosAsinA=2sinAcosA
cos2A=cos（A+A）=cosAcosA-sinAsinA=cos2A-sin2A
sin3A=sin（2A+A）=sin2AcosA+cos2AsinA=3sinAcos2A-sin 3A=3sinA-4sin3A
cos3A=cos（2A+A）=cos2AcosA- sin2AsinA=cos3A-3sin2AcosA=4cos3A-3cosA
这样的推导过程简单明了，便于记忆，尤其是二倍角公式在解题过程中应用较多，那么对
于任意的n倍角 其三角函数公式都可以由和角公式推导，这里不再赘述。
n倍角三角函数公式在降次化简中具有重要用途，以三倍角公式为例。
三、利用欧拉公式推导
事实上，对于任意n倍角三角函数公式还可以由欧拉公式推导：
cosnA+isinnA=einA=e（iA）n=（cosA+isinA）n
分别由左右两边实部和虚部相等，可以推导出n倍角余弦和正弦三角函数公式。以三倍角
余弦公式为例， cos3A=C（30）cos3A-C（32）sin2AcosA=cos3A-3sin2AcosA=4 cos3A-3cosA
其余的任意n倍角三角函数公式（包括正弦、余弦、正切） 则都可以由二项式定理相应地
写出来，不再赘述。