焊缝长度计算公式(完整word版)三角函数公式的推导及公式大全,推荐文档

.
诱导公式

目录·诱导公式
·诱导公式记忆口诀
·同角三角函数基本关系
·同角三角函数关系六角形记忆法
·两角和差公式
·倍角公式
·半角公式
·万能公式
·万能公式推导
·三倍角公式
·三倍角公式推导
·三倍角公式联想记忆
·和差化积公式
·积化和差公式
·和差化积公式推导

诱导公式

★诱导公式★
常用的诱导公式有以下几组：
.
.

公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα

公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα

公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα

.
.
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα

公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα

公式六：
π2±α及3π2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π2＋α）＝cosα
cos（π2＋α）＝－sinα
tan（π2＋α）＝－cotα
cot（π2＋α）＝－tanα

sin（π2－α）＝cosα
.
.
cos（π2－α）＝sinα
tan（π2－α）＝cotα
cot（π2－α）＝tanα

sin（3π2＋α）＝－cosα
cos（3π2＋α）＝sinα
tan（3π2＋α）＝－cotα
cot（3π2＋α）＝－tanα

sin（3π2－α）＝－cosα
cos（3π2－α）＝－sinα
tan（3π2－α）＝cotα
cot（3π2－α）＝tanα

(以上k∈z)
诱导公式记忆口诀

※规律总结※
上面这些诱导公式可以概括为：
对于k·π2±α(k∈z)的个三角函数值，
①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；
②当k是奇数时，得到α相应的余 函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.
.
.
（奇变偶不变）
然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。
（符号看象限）

例如：
sin(2π－α)＝sin(4·π2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。
当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符号为“－”。
所以sin(2π－α)＝－sinα

上述的记忆口诀是：
奇变偶不变，符号看象限。
公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α（k∈z ），-α、180°±α，360°-α所在
象限的原三角函数值的符号可记忆
水平诱导名不变；符号看象限。
各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦”．
这十二字口诀的意思就是说：
第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；
第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；
第三象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”；
第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”．


.
.

其他三角函数知识：
同角三角函数基本关系

⒈同角三角函数的基本关系式
倒数关系:
tanα ·cotα＝1
sinα ·cscα＝1
cosα ·secα＝1
商的关系：
sinαcosα＝tanα＝secαcscα
cosαsinα＝cotα＝cscαsecα
平方关系：
sin^2(α)＋cos^2(α)＝1
1＋tan^2(α)＝sec^2(α)
1＋cot^2(α)＝csc^2(α)
同角三角函数关系六角形记忆法

六角形记忆法：（参看图片或参考资料链接）
构造以上弦、中切、下割；左正、右余、中间1的正六边形为模型。
（1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；
.
.
（2）商数关系： 六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是
两条虚线两端的三角函 数值的乘积）。由此，可得商数关系式。
（3）平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上 的三角函数值的平方和等于下面顶点上
的三角函数值的平方。
两角和差公式

⒉两角和与差的三角函数公式
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tanα＋tanβ
tan（α＋β）＝——————
1－tanα ·tanβ

tanα－tanβ
tan（α－β）＝——————
1＋tanα ·tanβ
倍角公式

.
.
⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）
sin2α＝2sinαcosα cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)

2tanα
tan2α＝—————
1－tan^2(α)
半角公式

⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）

1－cosα
sin^2(α2)＝—————
2

1＋cosα
cos^2(α2)＝—————
2

1－cosα
tan^2(α2)＝—————
1＋cosα
.
.
万能公式

⒌万能公式
2tan(α2)
sinα＝——————
1＋tan^2(α2)

1－tan^2(α2)
cosα＝——————
1＋tan^2(α2)

2tan(α2)
tanα＝——————
1－tan^2(α2)
万能公式推导

附推导：
sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα(cos^2( α)+sin^2(α))......*，
（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）
再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α＝tan2α(1＋tan^2(α))
然后用α2代替α即可。
同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。
.
.
三倍角公式

⒍三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin3α＝3sinα－4sin^3(α)
cos3α＝4cos^3(α)－3cosα

3tanα－tan^3(α)
tan3α＝——————
1－3tan^2(α)
三倍角公式推导

附推导：
tan3α＝sin3αcos3α
＝(sin2αcosα＋cos2αsinα)(cos2αcosα-sin2αsinα) ＝(2sinαcos^2(α)＋cos^2(α)sinα－sin^3(α))(cos^3(α)－ cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα)
上下同除以cos^3(α)，得：
tan3α＝(3tanα－tan^3(α))(1-3tan^2(α))

sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα
＝2sinαcos^2(α)＋(1－2sin^2(α))sinα
＝2sinα－2sin^3(α)＋sinα－2sin^2(α)
＝3sinα－4sin^3(α)
.
.

cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα
＝(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α)
＝2cos^3(α)－cosα＋(2cosα－2cos^3(α))
＝4cos^3(α)－3cosα
即
sin3α＝3sinα－4sin^3(α)
cos3α＝4cos^3(α)－3cosα
三倍角公式联想记忆

记忆方法：谐音、联想
正弦三倍角：3元 减 4元3角（欠债了(被减成负数)，所以要“挣钱”(音似“正弦”)）
余弦三倍角：4元3角 减 3元（减完之后还有“余”）
☆☆注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。
和差化积公式

⒎三角函数的和差化积公式

α＋β α－β
sinα＋sinβ＝2sin—----·cos—---
2 2

.
.
α＋β α－β
sinα－sinβ＝2cos—----·sin—----
2 2

α＋β α－β
cosα＋cosβ＝2cos—-----·cos—-----
2 2

α＋β α－β
cosα－cosβ＝－2sin—-----·sin—-----
2 2
积化和差公式

⒏三角函数的积化和差公式
sinα ·cosβ＝0.5[sin（α＋β）＋sin（α－β）]
cosα ·sinβ＝0.5[sin（α＋β）－sin（α－β）]
cosα ·cosβ＝0.5[cos（α＋β）＋cos（α－β）]
sinα ·sinβ＝－ 0.5[cos（α＋β）－cos（α－β）]
和差化积公式推导

附推导：
首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=s ina*cosb-cosa*sinb
.
.
我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb
所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))2
同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))2
同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb- sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb
所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb
所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))2
同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))2
这样,我们就得到了积化和差的四个公式:
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))2
好,有了积化和差的四 个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.我们把上述四
个公式中的a+b设为 x,a-b设为y,那么a=(x+y)2,b=(x-y)2
把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:
sinx+siny=2sin((x+y)2)*cos((x-y)2)
sinx- siny=2cos((x+y)2)*sin((x-y)2)
cosx+cosy=2cos((x+y)2)*cos((x-y)2)
cosx- cosy=-2sin((x+y)2)*sin((x-y)2)
利用变角思想.

A=(A+B)2+(A-B)2 B=(A+B)2-(A-B)2

sinA +sinB=sin[(A+B)2+(A-B)2]+sin[(A+B)2-(A-B)2]
= sin[(A+B)2]*cos[(A-B)2]+cos[(A+B)2]*sin[(A-B)2]+si n[(A+B)2]*cos[(A-B)2]-cos[(A+B)2]*sin[(A-B)2]
.
.
=2sin[(A+B)2]*cos[(A-B)2]

其它的同理可得
回答：2008-09-21 15:32
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SBB55
[学长]
sin(a+b)=sinacosb+cosasinb
sin(a-b)=sinacosb-cosasinb两式求和得
sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb此式从右往左即为积化和差
令a+b=x.a-b=y,则a=(x+y)2,b=(x-y)2得
sinx+siny=12*[sin(x+y)2cos(x-y)2]这就是和差化积
仿此可得其余6个公式
三角函数相关公式大全
关键词：
三角公式

三角函数

最近复习微积分,几个三角函数的转换弄得我晕头转向,本来高中的时候就没记熟,现在又得记一遍了= .=
好郁闷,进度太慢了...
1 三角函数的定义
1.1 三角形中的定义

图1 在直角三角形中定义三角函数的示意图
.
.
在直角三角形ABC，如下定义六个三角函数：
?
正弦函数

?
余弦函数

?
正切函数

?
余切函数

?
正割函数

?
余割函数

1.2 直角坐标系中的定义

.
.



图2 在直角坐标系中定义三角函数示意图
在直角坐标系中，如下定义六个三角函数：
?
正弦函数

?
余弦函数

?
正切函数

?
余切函数

.
.
?
正割函数

?
余割函数

2 转化关系
2.1 倒数关系



2.2 平方关系



2 和角公式


.
.


3 倍角公式、半角公式
3.1 倍角公式





3.2 半角公式



.
.
3.3 万能公式



4 积化和差、和差化积
4.1 积化和差公式




.
.
4.2 和差化积公式















三角函数公式大全
三角函数
1. ①与
?
（0°≤< br>?
＜360°）终边相同的角的集合（角
?
与角
?
的终边重合 ）：
?
?
|
?
?k?360
?
?
?
,k?Z

?
▲
y
2
sinx
1
cos x
cosx
②终边在
x
轴上的角的集合：
?
|
?
?k?180
?
,k?Z

??
3
sinx
4
cosx
cosx
x
.
1
sinx
2
sinx
3
4
SINCOS
三角函数值大小关系图
.
③终边在
y
轴上的角的集合：
?
|
?
?k?180
?
?90
?
,k?Z

④终边在坐标轴上的角的集合：
?
|
?
?k?90
?
,k? Z

⑤终边在
y
=
x
轴上的角的集合：
?
|
?
?k?180
?
?45
?
,k?Z
⑥终边在
y??x
轴上的角的集合：
?
|
?
?k?18 0
?
?45
?
,k?Z

⑦若角
?
与角< br>?
的终边关于
x
轴对称，则角
?
与角
?
的关 系：
?
?
360
?
k?
?

⑧若角
?
与角
?
的终边关于
y
轴对称，则角
?
与角?
的关系：
?
?
360
?
k
?
180
?
?
?

⑨若角
?
与角
?
的终边 在一条直线上，则角
?
与角
?
的关系：
?
?
180
?
k?
?

⑩角
?
与角
?
的终边 互相垂直，则角
?
与角
?
的关系：
?
?360
?< br>k?
?
?90
?

2. 角度与弧度的互换关系：360°=2
?
180°=
?
1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.
、弧度与角度互换公式： 1rad＝
180
°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝
?
≈0.01745（rad）
?
180
??
??
??
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3、弧长公式：
l?|
?
|?r
. 扇形面积公式：
s
扇形
?lr?|
?
|?r
2
< br>y
a
的终边
P（x,y)
r
1
2
1
2
4、三角函数：设
?
是一个任意角，在
?
的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r，则
sin
?
?
y
；
r
y
x
cos
?
?
；
tan
?
?
x
r
；
cot
?
?
x
；
sec
?
?
r
；.
csc
?
?
r
.
y
x
y
ox
5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）
+
+
o
x
-
-
正弦、余割
y
-+
o
-+
x
余弦、正割
y
-
+
o
x
+-
正切、余切
O
y
y
P
T
M
A
x

6、三角函数线
正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.

7. 三角函数的定义域：
三角函数
f(x)?
sin
x

f(x)?
cos
x

f(x)?
tan
x

f(x)?
cot
x

.
定义域
?
x|x?R
?

?
x|x?R
?

1
??
?
x|x?R且 x?k
?
?
?
,k?Z
?

2
??
?
x|x?R且x?k
?
,k?Z
?

.
f(x)?
sec
x

f(x)?
csc
x

1
??
?
x|x? R且x?k
?
?
?
,k?Z
?

2
??< br>?
x|x?R且x?k
?
,k?Z
?

cos
?
cos
?
?cot
?
sin
?
8、同角三角函 数的基本关系式：
sin
?
?tan
?

16. 几个重要结论
:
(1)
y
tan
?
?cot
??1

csc??sin??1

sec??cos??1

sin
2
?
?cos
2
?
?1

sec
2
?
?tan
2
?
?1

csc
2
?
?cot
2
?
?1

(2)
y
9、诱导公式：
把
k
?
2
?< br>?
的三角函数化为
?
的三角函数，概括为：

“奇变偶不变，符号看象限”



三角函数的公式：（一）基本关系


公式组一


sin
x
·
csc
x
=1tan
x=
sinx
sin
2
x
+cos
2
x
=1

cosx

cos
x
·
sec
x< br>=1
x
=
cosx
sinx
1+tan
2
x
=sec
2
x

tan
x
·
cot
x
=1 1+cot
2
x
=csc
2
x

公式组二
sin(2k
?
?x)?sinx
cos(2k
?
?x)? cosx
tan(2k
?
?x)?tanx

cot(2k
?
?x)?cotx

公式组三
sin(? x)??sinx
cos(?x)?cosx
tan(?x)??tanx

cot(?x)??cotx


公式组四
sin(
?
?x)??sinx
cos(
?
?x)??co sx
tan(
?
?x)?tanx

cot(
?
?x)?cotx
公式组五
.
|sinx| >|cosx|
sinx>cosx
O
|cosx|>|sinx|
|cos x|>|sinx|
x
O
x
cosx>sinx
|sinx|>|c osx|
(3) 若 o?
2
,则sinx.
sin(2
?
?x)??sinx
cos(2
?
?x)?c osx
tan(2
?
?x)??tanx
cot(2
?
?x )??cotx

公式组六
sin(
?
?x)?sinx
cos(
?
?x)??cosx

tan(
?
?x)??tanx
cot(
?
?x)??co tx



（二）角与角之间的互换
公式组一 公式组二
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos< br>?
?sin
?
sin
?

sin2
?
?2sin
?
cos
?

co s(
?
?
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)?cos
?
cos
?
?si n
?
sin
?

cos2
?
?cos
2
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?sin
2
?
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2
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?1? 1?2sin
2
?

sin(
?
?
?
)? sin
?
cos
?
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sin
?

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cos
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sin
?

sin
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2
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2
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2
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?
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tan
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?tan
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cos??

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tan
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22
tan
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sin
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1?tan< br>?
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21?cos
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1?cos
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公式组三 公式组四 公式组五
1
1
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sin
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cos
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?
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2
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2
sin
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2
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2
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?
?cos< br>?
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22
6?2
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?
?cot75
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,.
tan75
?
?cot15
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??sin15?cos75?
4
sin75
?
?cos15
??
6?2

4

.
.

10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：

定义域
值域
周期性
奇偶性






单调性

y?sinx

y?cosx
R
[?1,?1]


y?tanx
1
?

?
?
x|x?R且 x?k
?
?
?
,k?Z
?
2
??

y?cotx
y?Asin
?
?
x?
?
?

（A、
?
＞0）
R R
[?1,?1]


?
x|x?R且x?k
?
,k?Z
?
R
?

R
?

?
?A,A
?


?
当
?
?0,
非奇非偶
当
?
?0,
奇函数
?
?
2k
?
?
?
?
?
2k
?
?
?
?
?
2
(A),
?
?
?
?
1
?
?
?
?
?
2
(?A)
?
?
?
??
?< br>
2
?

奇函数
2
?

2
?
偶函数
[
?
2k?1
?
?
,
2k
?
]
奇函数
?
?
?
?
? k
?
,?k
?
?
2
?
2
?
奇函数
[?
?
2
?2k
?
,
；
?
??
k
?
,
?
k?1
?
?
?
上 为减函
数（
k?Z
）
?
?
2
?2k
?< br>]
上为增函
数；
[?2k
?
,
2
3
?
?2k
?
]
2
上为增函
数
[2k
?,

?
2k?1
?
?
]
上为减函
数
（
k?Z
）

上为增函数
（
k?Z
）
?
上为增函数；
?
?
2k
?
?
?
?
?
2k
?
?
?
?
?
2
(A) ,
?
?
?
?
3
?
?
?
?
?
2
(?A)
?
?
?
??
?
?
上 为减函
数（
k?Z
）
上为减函数
（
k?Z
）

注意：①
y??sinx
与
y?sinx
的单调性正好相 反；
y??cosx
与
y?cosx
的单调性也同样相
反.一般地， 若
y?f(x)
在
[a,b]
上递增（减），则
y??f(x)在
[a,b]
上递减（增）.
▲
②
y?sinx
与< br>y?cosx
的周期是
?
.
③
y?sin(
?x?
?
)
或
y?cos(
?
x?
?
)
（
?
?0
）的周期
T?
2
?
y
?
.
O
x
x
y?tan
的周期为2
?
（< br>T?
?
?T?2
?
，如图，翻折无效）.
2
?< br>④
y?sin(
?
x?
?
)
的对称轴方程是
x?k
?
?
?
2
（
k?Z
），对称中心（
k
?
,0
）；
y?cos(
?
x?
?
)< br>的
对称轴方程是
x?k
?
（
k?Z
），对称中心（< br>k
?
?
1
?
,0
）；
y?tan(
?
x?
?
)
的对称中心（
2
k
?
. ,0
）
2
y?cos2x?????y??cos(?2x)??cos2x
原点对称
⑤当
tan
?
·
tan
?
?1,
?
?
?
?k
?
?
?
2
(< br>k?Z
)
；
tan
?
·
tan
?
? ?1,
?
?
?
?k
?
?
?
2
(k ?Z)
.
?
?
⑥
y?cosx
与
y?sin?
?
x??2k
?
?
是同一函数,而
y?(
?
x?
?
)
是偶函数，则
2
??
.
.
1
y?(
?
x?
?
)?sin(
?
x?k
?
?
?
)??cos(
?
x)
.
2
⑦函数
y?tanx
在
R
上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，
y?tanx
为增函数，同样也是错误的].
⑧定义域关于原点对 称是
f(x)
具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定
义域关于原 点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：
f(?x)?f(x)
，奇函数：
f(?x)??f(x)
）
奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：
y?tanx< br>是奇函数，
y?tan(x?
1
?
)
是非奇非偶.（定
3
义域不关于原点对称）
奇函数特有性质：若
0?x
的定义域，则
f(x)
一定有
f(0)?0
.（
0?x
的定义域，则无此性质）
▲
⑨
y?sinx
不是周期函数；
y?sinx
为周期函数（
T?
?
）；
；
y?cosx
为周期函数（
T?
?
）；
y?c osx
是周期函数（如图）
y
▲
y
x
12
x
y=cos|x|图象
1
，并非所有周期函数都有最小正周期，例如：
y?co s2x?
的周期为
?
（如图）
2
y=|cos2x+12|图象y?f(x)?5?f(x?k),k?R
.
⑩
y?acos
?
?bsin
?
?a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)?cos
?
?

三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．
函数y＝Asin（ωx＋φ）的 振幅|A|，周期
T?
2
?
，频率
f?
1
?
|
?
|
，相位
?
x?
?
;
初相
?
|
?
|
b
有
a
2
?b
2
?y
.
a
T2
?
（即当x＝0时的相位）．（当A＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），
由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A |＞1）或缩短（当0＜|A|
＜1）到原来的|A|倍，得到y＝Asinx的图象，叫做振幅变换或 叫沿y轴的伸缩变换．（用yA
替换y）
由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横 坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）
到原来的
|
1
|
倍，得到y＝sinω x的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换．(用ωx
?
替换x)
由y＝si nx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，
得到y＝sin（ x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移．(用x＋φ替换x)
由y＝sinx的图象 上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0）平行移动｜b｜个单位，
得到y＝sinx＋b的图象 叫做沿y轴方向的平移．（用y+(-b)替换y）
由y＝sinx的图象利用图象变换作函数y＝A sin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的图
象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后 顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。


.
.


高中数学三角函数常见习题类型及解法
1.三角函数恒等变形的基本策略。 （1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos
2
θ+sin
2
θ=tanx·cotx=tan45°
等。
（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：
?
?
?
sin
2
x+2cos
2
x=(sin< br>2
x+cos
2
x)+cos
2
x=1+cos
2< br>x；配凑角：α=（α+β）－β，β=－
2
?
?
?
等。
2
（3）降次与升次。（4）化弦（切）法。
（4）引入辅助角。asinθ+bc osθ=
a
2
?b
2
sin(θ+
?
)，这里辅助 角
?
所在象
b
限由a、b的符号确定，
?
角的值由tan< br>?
=确定。
a
2.证明三角等式的思路和方法。
（1）思路：利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化
为同一形式。
（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
3.证明三角不 等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数的
单调性，利用正、余弦函数的有界性，利用 单位圆三角函数线及判别法等。
4.解答三角高考题的策略。
（1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。
（2）寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。
（3）合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。
四、例题分析
cos
?
?sin
?
例1．已知
tan
?
?2
，求（1 ）；（2）
sin
2
?
?sin
?
.cos
??2cos
2
?
cos
?
?sin
?
的值.
sin
?
1?
cos
?
?sin
?
cos
?
?
1?tan
?
?
1?2
??
3
?
22
；
?
解：（1）
sin
?
1?tan< br>?
1?2
cos
?
?sin
?
1?
cos< br>?
sin
2
??sin?cos??2cos
2
?
2 2
(2)
sin??sin?cos??2cos??

si n
2
??cos
2
?
sin
2
?sin?
??2
2
2?2?24?2
??

?
cos?
2
cos?
.
sin?
2?13?1
cos
2
?
说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的 办法得到），进行
.
.
弦、切互化，就会使解题过程简化。
例2．求函 数
y?1?sinx?cosx?(sinx?cosx)
2
的值域。
π< br>解：设
t?
sin
x?
cos
x?
2sin(
x?
)
?
[
?
2
，
2]
，则原函数可化 为
4
13
y?t
2
?t?1?(t?)
2
?，因为
t?[?2，2]
，所以
24
13
当
t?2< br>时，
y
max
?3?2
，当
t??
时，
y< br>min
?
，
24
3
所以，函数的值域为
y?[，3?2]
。
4
例3．已知函数
f(x)?4sin
2
x?2sin2x?2，x?R
。
（1）求
f(x)
的最小正周期、
f(x)
的最大值及此时
x
的集合；
（2）证明：函数
f(x)
的图像关于直线
x??
π
对称。
8
解：
f(x)?4sin
2
x?2sin2x?2?2sinx? 2(1?2sin
2
x)

π

?
2sin2
x?
2cos2
x?
22sin(2
x?
)< br>
4
(1)所以
f(x)
的最小正周期
T?π
，因为
x?R
，
ππ
3
π
?
2
kπ?
，即
x?kπ?
时，
f(x)
最大值为
22
；
4 28
π
(2)证明：欲证明函数
f(x)
的图像关于直线
x??对称，只要证明对任意
x?R
，
8
ππ
有
f
(
??x
)
?f
(
??x
)
成立，
88< br>ππππ
因为
f
(
??x
)
?
22sin[ 2(
??x
)
?
]
?
22sin(
??
2
x
)
??
22cos2
x
，
8842
π πππ
f(??x)?22sin[2(??x)?]?22sin(??2x)??22cos2x< br>，
8842
πππ
所以
f
(
??x
)?f
(
??x
)
成立，从而函数
f(x)
的图像关于直 线
x??
对称。
8
88
3
1
例4． 已知函数y=cos
2
x+sinx·cosx+1 （x∈R）,
2
2
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得
到？ < br>所以，当
2
x?
33
111
解：（1）y=cos
2
x+sinx·cosx+1= (2cos
2
x－1)+ +（2sinx·cosx）
24
244
+1
.
.
3
151
?
?
5
cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+ sin2x·cos)+
4
4424
66
1
?
5
=sin(2x+)+ < br>24
6
??
?
所以y取最大值时，只需2x+=+2kπ,（k∈Z） ，即 x=+kπ,（k∈Z）。
626
?
所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z}
6
（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：
??
（i）把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin(x+)的图像； 66
1
（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函
2
?
数y=sin(2x+)的图像；
6
1
（iii）把得到的 图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到
2
1
?
函数y=si n(2x+)的图像；
2
6
51
?
5
（iv）把得到的 图像向上平移个单位长度，得到函数y=sin(2x+)+的
424
6
图像。
=
3
1
cos
2
x+sinxcosx+1的图像。 2
2
说明：本题是2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数
的图像和性质。这类题一般有两种解法：一是化成关于sinx,cosx的齐次式，降
综上得到y=< br>幂后最终化成y=
a
2
?b
2
sin (ωx+
?< br>)+k的形式，二是化成某一个三角函数的二
次三项式。本题（1）还可以解法如下：当cosx =0时，y=1；当cosx≠0时，
1313
cos
2
x?sinxcos x?tanx
2
y=
2
+1=
22
2
+1
22
sinx?cosx1?tanx
化简得：2(y－1)tan
2
x－
3
tanx+2y－3=0
∵tanx∈R，∴△=3－8(y－1)(2y－3) ≥0,解之得：
∴y
max
=
37
≤y≤
44
7
?
，此时对应自变量x的值集为{x|x=kπ+,k∈Z}
4
6
xxx
例5．已知函数
f(x)?sincos?3cos
2
.

333
（Ⅰ）将
f(x)
写成
Asin (
?
x?
?
)
的形式，并求其图象对称中心的横坐标；
（Ⅱ）如果△ABC的三边a、b、c满足b
2
=ac，且边b所对的角为x，试求x
的范围及此时函数
f(x)
的值域.
解：
f(x)?
1
s in
2x
?
3
(1?cos
2x
)?
1
s in
2x
?
3
cos
2x
?
3
?sin(
2x
?
?
)?
3

232323232332
.
.
2x
?
2x
?
3k?1
?
)
=0即
??k
?
(k?z)得x?< br>?
33332
3k?1
即对称中心的横坐标为
?
，
k
?
z

2
2
（Ⅱ）由已知b=
a
c a
2
?c
2
?b
2
a
2
?c
2
?ac2ac?ac1
cosx????，
2ac2ac2ac2
1
??
2x
?
5
?
??cosx?1，0?x?，???
2 33339
（Ⅰ）由
sin(
k
?
z

?|
?
3
?
?
2
|?|
5
??
?|，
92
?sin
3
]
.
2
?
3
?sin (
2x
?
?)?1，
33
?3?sin(
2x
?< br>3
?)?1?，
332
即
f(x)
的值域为
(3,1?
3
?
]
.
综上所述，
x?(0,
]
，
f(x)
值域为
(3,1?
2
3
说明：本题综合运用了三角函数、余弦定理、 基本不等式等知识，还需要利用数
形结合的思想来解决函数值域的问题，有利于培养学生的运算能力，对 知识进行
整合的能力。
cosC3a?c
例6．在
VABC
中，< br>a、b、c
分别是角
A、B、C
的对边，且
，
?
cosBb
(1)求
sinB
的值；
(2)若
b?42
，且
a=c
，求
VABC
的面积。
解：(1)由正弦定理及
cosC3a?ccosC3sinA?sinC
，有， < br>??
cosBbcosBsinB
即
sinBcosC?3sinAcosB? sinCcosB
，所以
sin(B?C)?3sinAcosB
，
又因为
A?B?C?π
，
sin(B?C)?sinA
，所以
sinA?3 sinAcosB
，因为
sinA?0
，
22
1
所以
cosB?
，又
0?B?π
，所以
sinB?1?cos
2
B?
。
3
3
2
(2)在
VABC
中，由余弦定 理可得
a
2
?c
2
?ac?32
，又
a?c
，
3
4
所以有
a
2
?32，即a
2
? 24
，所以
VABC
的面积为
3
11
S?acsinB?a
2
sinB?82
。
22




.
.







三角函数
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．已知点
P
（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在 （ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
k
π
π
k
π
2．集合
M
＝{
x
|
x
＝ ± ，
k
∈Z}与
N
＝{
x
|
x
＝ ，
k
∈Z}之间的关系是 （ ）
244
A.
MN
B.
NM
C.
M
＝
N
D.
M
∩
N
＝
?

3．若将分针拨慢十分钟，则分针所转过的角度是 （ ）
A.60° B.－60° C.30° D.－30°
4．已知下列各角（1）787°，(2)－957°，(3)－289°，(4) 1711°，其中在第一象限的
角是
( )
A.（1）（2） B.（2）（3） C.（1）（3） D.（2）（4）
5．设
a
＜0，角α的终边经过点
P
（－3
a
，4
a
），那么sinα＋2cosα的值等于 （ ）
2
A.
5

21
B.－ C.
55

1
D.－
5
13
6．若cos(π＋α)＝－ ， π＜α＜2π，则sin(2π－α)等于 （ ）
22
A.－
3

2
B.
31
C.
22
D.±
3

2
7．若α是第四象限角，则π－α是 （ ）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
8．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ）
2
A.2 B. C.2sin1 2
sin1
1
9．如果sin
x
＋cos
x
＝ ，且0＜
x
＜π，那么cot
x
的值是 （ ）
5
4
A.－
3

433
B.－ 或－ C.－
344

43
D. 或－
34
10．若实数
x
满足log
2
x
＝2＋sinθ，则|
x
＋1|＋|
x
－10|的值等于 （ ）
A.2
x
－9 B.9－2
x
C.11 D.9
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
11．tan300°＋cot765°的值是_____________.
.
.
sinα＋cosα
12．若 ＝2，则sinαcosα的值是_____________.
sinα－cosα13．不等式（lg20)
2cos
x
＞1，(
x
∈(0，π) )的解集为_____________.
1
14．若θ满足cosθ＞－ ，则角θ的取值集合是_____________.
2
15．若cos130°＝
a
，则tan50°＝_____________. －
16．已知
f
(
x
)＝
1－
x
π
，若α∈( ，π)，则
f
(cosα)＋
f
(－cosα)可化简为___ ________.
1＋
x
2

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17 ．（本小题满分12分）设一扇形的周长为
C
(
C
＞0)，当扇形中心角为多 大时，它有最大面
积？最大面积是多少？




18． (本小题满分14分）设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为
P
（
x
，5 )，且cosα＝
2
x
，求sinα与tanα的值.
4



m
－34－2
m
π
19．(本小题满分14分)已知 ≤θ≤π，sinθ＝ ，cosθ＝ ，求
m
的值.
2
m
＋5
m
＋5





20．(本小题满分15分)已知0°＜α＜45°，且lg(tanα)－lg(sinα )＝lg(cosα)－lg(cotα)＋2lg3
3
33
－ lg2，求cos
α－sinα的值.
2




7
21．(本小题满分15分)已知sin(5π－α)＝2 cos( π＋β)和3 cos(－α)＝－2 cos(π＋β)，
2
且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值.


.
.












三角函数
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．下列函数中，最小正周期为π的偶函数是 （ ）
A.
y
＝sin2
x

C.
y
＝sin2
x
＋cos2
x
B.
y
＝cos
2
1－tan
x
D.
y
＝
2

1＋tan
x
2
x

2．设函数
y
＝cos(sin
x
)，则 （ ）
A.它的定义域是［－1，1］ B.它是偶函数
C.它的值域是［－cos1，cos1］ D.它不是周期函数
3．把函数
y
＝cos
x
的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的两
π
倍，然后把图象向左 平移 个单位.则所得图象表示的函数的解析式为
4
（ ）
A.
y
＝2sin2
x









B.
y
＝－2sin2
x

π
C.
y
＝2cos(2
x
＋ )
4
x
π
D.
y
＝2cos( ＋ )
24
π
4．函数
y
＝2sin(3
x
－ )图象的两条相邻对称轴之间的距离是 （ ）
4
π
A.
3
B.
2π
C.π

3

D.
4π

3
5．若sinα＋cosα＝
m
，且－2 ≤
m
＜－1，则α角所在象限是 （ ）
A.第一象限
C.第三象限














B.第二象限
D.第四象限
3π
6 ．函数
y
＝|cot
x
|·sin
x
（0＜
x≤ 且
x
≠π）的图象是 （ ）
2
.
.
cos
x
7．设
y
＝ ，则下列结论中正确的是 （ ）
1＋sin
x
A.
y
有最大值也有最小值 B.
y
有最大值但无最小值
C.
y
有最小值但无最大值 D.
y
既无最大值又无最小值
π
8．函数
y
＝sin（ －2
x
)的单调增区间是 （ ）
4
3π5π
ππ
A.［
k
π－ ，
k
π＋ ］(
k
∈Z) B.［
k
π＋ ，
k
π＋ ］(
k
∈Z)
8888
3π3π7π
π
C.［
k
π－ ，
k
π＋ ］(
k
∈Z) D.［
k
π＋ ，
k
π＋ ］(
k
∈Z)
8888
1
2
9．已知0≤
x
≤π，且－ ＜
a< br>＜0，那么函数
f
(
x
)＝cos
x
－2
a
sin
x
－1的最小值是 （ ）
2
A.2
a
＋1 B.2
a
－1 C.－2
a
－1 D.2
a

π
10．求使函数
y
＝sin(2
x
＋θ)＋3 cos(2
x
＋θ)为奇函数，且在［0， ］上是增函数的θ的一
4
个
（ ）
5π
A.

3
值
4π2π
C.
33
2
为
π
D.
3

B.
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
cos
x
11．函数
y
＝ 的值域是_____________.
1＋2cos
x
cos
x

12．函数
y
＝ 的定义域是_____________.
lg（1＋t an
x
）
13．如果
x
，
y
∈［0，π］，且满足 |sin
x
|＝2cos
y
－2，则
x
＝________ ___，
y
＝___________.
14．已知函数
y
＝2c os
x
，
x
∈［0，2π］和
y
＝2，则它们的图象所围成 的一个封闭的平面图
形的面积是_____________
15．函数
y
＝sin
x
＋cos
x
＋sin2
x
的值域是__ ___________.
π
16．关于函数
f
(
x
)＝4sin(2
x
＋ )(
x
∈R)有下列命题：
3
① 由
f
(
x
1
)＝
f
(
x
2
)＝0可得
x
1
－
x
2
必是π的整数倍；
π< br>②
y
＝
f
(
x
)的表达式可改为
y
＝4cos(2
x
－ )；
6
π
③
y
＝
f
(
x
)的图象关于点（－ ，0)对称；
6
π
④
y
＝
f
(
x
)的图象关于直线
x
＝－ 对称.
6
.
.
其中正确的命题的序号是_____________.
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17 ．（本小题满分12分）如图为函数
y
＝
A
sin(ω
x
＋ φ)(
A
＞0，ω＞0)的图象的一部分，试求该
函数的一个解析式.








22
18．（本 小题满分14分）已知函数
y
＝(sin
x
＋cos
x
)＋ 2cos
x
.(
x
∈R)
(1)当
y
取得最大值时，求自变量
x
的取值集合.
(2 )该函数图象可由
y
＝sin
x
(
x
∈R)的图象经过怎样 的平移和伸缩变换得到？


19．（本小题满分14分）已知函数
f(
x
)＝
log
1
(sin
x
－cos
x
)
2
（1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调减区间；
（3）判断它的奇偶性；（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的一个周期.





20．（本小题满分15分）某村欲修建一横断面为等腰梯 形的水渠（如图），为降低成本，必
须尽量减少水与水渠壁的接触面.若水渠横断面面积设计为定值
m
，渠深3米，则水渠
侧壁的倾斜角α应为多少时，方能使修建的成本最低？









21． (本小题满分15分）已知函数
f
(
x
)＝sin(ωx
＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图
3π
π
象关于点
M
（ ，0)对称，且在区间［0， ］上是单调函数，求φ和ω的值.
42


.
.

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