面积公式换算实现面向人人的数学

实现面向人人的数学
——两类数学和四种方法

摘要：本 文把中学数学的学习水平和学习目的分为“问题解决”的数学和“解决
问题”的数学两个大类，以三倍角 公式记忆的四种方法为例，阐述了对于两类学
生的学习建议和不同的学习要求。力求在新课标背景下，实 现面向人人的数学教
学：人人学有价值的数学； 人人都能获得必需的数学； 不同的人在数学上得到
不同的发展。
关键词：面向人人的数学 三倍角 公式记忆 问题解决 解决问题

一． 两类数学
首先有必要指出：本文中的数学一类和数学二类，包含 了对学生数学水平
的被动区分，但更重要的是，这也是学生对自身数学学习方向和学习目的所做的
主动划分。数学一类面向更加爱好数学的同学，他们数学水平相对较高，将来的
工作指向更多偏向理论 性研究工作；他们对数学学习的处理侧重于“问题解决”
的层次，侧重于“解决”，也就是问题的全面数 学解决，包括问题的数学思想，
数学导出，数学应用等等，而不仅仅限于解决问题本身。与之相应，数学 二类则
指学习目的侧重于“解决问题”，侧重于“问题”，首要的任务在于应用所学的数
学知识 解决面临的实际问题。第一类，又可称为更加数学化的数学，或者推导性、
证明性的数学；第二类，则被 称为理解性应用性的数学，或者公式化验证式的数
学。在面向全体学生的数学教育中，两类同学同时参加 学习有价值的数学，获得
必需的数学知识；而又能在老师层次化目标化的引导下，比如本文所论及对四种
公式记忆方法要求上侧重的不同，从而在数学上得到不同的发展，而且这种发展
做为学生自知自 觉自动的选择，使人人都能获得对他自身而言的必要的数学。
二．四种方法
学习数学，离不 开数学公式。下面以三倍角公式为例，谈谈记忆公式的四
种相互联系的方法：推导法、形式法、验证法和 应用法。同时可以看到，数学教
学要面向每一个学生，但因为两类学生（“问题解决”的数学和“解决问 题”的
数学）的数学水平素养、数学的学习目的是有差别的，因此这四种记忆公式的方
法对于两 类学生的针对性也存在明显的不同。
三角函数的三倍角公式是指：
…………
○
1
…………
○
2
1． 用推导法记忆三倍角公式。

同理，


可以看到，在进行三倍 角公式的推导时，需要综合运用正弦、余弦的二倍
角公式，特别是需要有选择性地运用的两种不同表达形 式。这种推导，
对于熟练掌握二倍角公式及其应用是大有裨益的。我们知道，如果不是公理的话，
所有的公式都是推导来的。“问渠哪得清如许，为有源头活水来”。对于数学一类
来说，不仅是推导的 结论本身，推导过程中体现的思想和方法也很重要，在不少
时候甚至比结论本身更具有一般性的意义。比 如推导等比数列求和公式中体现的
错位相减法就是处理等差比数列（指等差数列和等比数列对应项相乘得 到的积数
数列）而不仅仅是等比数列求和的方法。推导，应做为一类学生记忆公式的第一
方法。 推多了，推熟了，公式就自然记住了，而且在推导过程同时理解了公式体
系的脉络。那么，对于数学二类 的学生呢？他们应该能够读懂他人的推导，理解
推导的关键之处，并以此作为帮助理解公式本身的重要途 径之一。比如三倍角公
式有一个重要的特点，那就是三倍角正弦的表达式中只含有单角的正弦，余弦公< br>式只含有单角的余弦。这个特点体现在推导中的关键，即正确地选择应用余弦二
倍角的两种表达形 式。理解了这个推导关键，就理解了三倍角公式这个最重要的
形式特点。
2．形式化方法记忆公式
对于已经推导出来的公式，用“形式主义”认真加以琢磨，给公式赋 予个
性化的有关记忆途径的联系。这样有助于公式的牢固记忆。比如记忆公式
○
1，先
看等式
等，所以需要加上
，形式简单、自然，易于记忆。但这个关系式明显不
的修正项。，前后两
项，一正一负，前正后负，系数的绝对值分别是“勾3股4”，而且可以看到，绝< br>对值较小的系数对应于较小的正弦次数。在形式分析了公式
○
1以后，再来记忆公
式
○
2。数学的精妙之处往往在于“转化”。类比公式
○
1，我们得出公式
，然后只需在前后两项上分别加上一横一竖，
也就是两项同时变号，就得到我们需要的公式。
当然，此类形式化方法从根本上来说不是数学知识的内容，但究其注重比较、注
重联系、注重转 化的思想要素，反而体现了数学思想的真谛。显然，无论对于哪
一类学生，一类还是二类，记忆公式本身 作为直接目的是不可或缺的，从而利用
比较、想象、联系和转化的形式化方法记忆公式对于两者同样重要 。

3．验证法记忆公式
运用形式法记忆公式，总有记不确实的时候。比如
，还是
应用特殊值进行检验。令，则
？怎么办？
，而
，
项的符号 是负的才能满足等式。所以
，显然公式中第二
。然后，再令
，左边＝－１，右边＝３－ ４＝－１，原式成立。对于公式
○
2，同样可
以取单角值为０度、３０度和９０度，进 行相应的计算和验证。
用验证法记忆公式，对于数学二类的学生具有特别的意义。通常我们不要
求二类的学生进行公式推导，那么对于公式正确与否的信心，从哪里来？这种信
心是进行数学应用的前 提和基础。最好的方法之一就是在反复的、多侧面的验证
中去熟悉公式，确认结论，体会结构，然后树立 数学的信心。他们并不需要确切
掌握公式的源头，更重要是找到正确的公式，然后学会应用。对于数学一 类的学
生而言，验证法记忆公式则是一种数学素养的表现。它作为推导法的一种重要补
充，帮助 一类学生养成“辨正”的思维习惯，帮助一类学生培养严密的、严谨的
逻辑思维。

４．应用法记忆公式
数学学习，学习公式，归根究底是为了学以致用。在使用中巩固和体会所
学公式，对于记忆公式是最有帮助的方式。这种工作，将所学公式融入了大脑中
已有的知识体系 和网络，在知识结构中建立起多方面的广泛联系。这样记忆的公
式，可以印象深刻， 历久常新。应用法 记忆公式，请注意这样一个关键。一定
要先记后用，不管是采取前三种方法的哪一种，你必须要先记住公 式本身然后再
付诸应用。否则，一做题就找课本查公式，或者把公式用错了，不仅起不到记忆
公 式的任何作用，而且还会适得其反。
例1：已知锐角满足
例2：1）求证
2）不查表求
，求。
；
的值（精确到0．01）
提示：利用第一问的公式。

以上两个例题，第一题是对第二类学生的典型要求，要 求学生能够记忆公
式（这里举例用的三倍角公式不要求学生记忆），并且能够在典型情境下直接应
用。在并非考试的日常应用中，第二类学生记不住公式的话，也应该对学过的公
式相当熟悉，知道在数 学的某某部分有这样一个公式可以这样应用，可以解决当
前的这个问题。从而可以通过迅速地查书，解决 实际的应用问题。这就是对第二
类学生的要求，关键是通过理解推导，形式辨析，特例验证和实际应用， 对需要
掌握的公式达到高度熟悉和深入理解的程度，并能在需要使用的时候产生条件反
射的联系 。
除了应用三倍角公式，例１还有一种方法。据某杂志报导，某机构用例１
同时考察中美的优 秀中学生，结果在不提示三倍角公式的情况下，不少中国学生
一筹莫展。而美国学生几乎全部在五分钟之 内交卷。是不是美国学生都知道三倍
角公式呢？不是。是美国学生直接用计算器算出了锐角，然后计算此 角的三倍，
然后再计算。而中国优秀生在长期的考试中已经知道，这样的题目是不
能求近似值的 ，否则考试就会失分。但这里有一个问题。实际的具体应用中，比
如建房、修路，或者在物理学的数学应 用中，究竟是求近似值的时候多呢？或者
说可以用近似值代替精确值的时候多呢，还是要求准确值的时候 多呢？当然是使
用近似值的时候更多了。所以，美国中学生在这里所体现的是一种解决问题的智
慧，面对问题以解决为中心，这和本文论及的第二类数学有相同意义。
然后来看例２，这是一个港澳台 大学近年入学考试常用的题型。先给出一
个新的知识点让你学习，或者一个新的公式让你证明。然后让你 应用刚刚证明的
公式，“现场地”去解决一些问题。这里的第二问是对本文所论的第一类学生的
典型要求。它要求学生不仅能正用三倍角公式（像第二类学生那样），而且要求
学生能够逆用公式，转（ 换）用公式。这里应该联系
后运用三倍角公式，用解方程的思想求出
的事实，然
值。这 里是一个三次方程，新
课标以前的高中毕业生都不会解，好在现在的新课标强调了应用性，强调了和计< br>算机等现代计算技术的结合。所以现在的高一学生就可以用二分法解方程
求出的近似值。这不能不 说是新课程改革带来的一个
巨大的进步。注意，例２揭示的规律有普遍的意义，只要是特殊角的三分角， 借
助三倍角公式我们都可以看做是可以不查表求三角函数值的特殊角。
三．总结
总 之，对于第一类“问题解决”的学生，建议用推导法来记忆公式，形式
法来巩固公式，验证法来检验公式 ，然后用应用法再次巩固公式。而对于第二类
“解决问题”的学生，建议用形式法来记忆公式，用推导法 来帮助理解，用验证
法来确认公式，然后用应用法来再次巩固公式。
总之，运用两类数学及对 应学生和四种方法的界定，我们可以实现在公式
记忆和应用问题上“面向人人”的数学。
另外 ，在对两类学生的数学教育实践中，除了需要坚持进行日常作业的分
层，更需要进行考试分类或者更广泛 的评价分类。只有这样，才能坚持数学的面
向人人，才能坚持面向人人的数学。
参考书籍：
1．《全日制义务教育数学课程标准（试验稿）》
2．《普通高中数学课程标准（试验）》